Om læringsspor

Et eksempel på en matematisk praksis er at bruge tænkestrategier (som byg 10) til at addere to etcifrede tal. En elev kan fx tænke om stykket $8 + 9$, ”så tager jeg $1$ fra $8$ og giver til $9$, så er det $7$ og $10$, så $17$”. Hvis byg 10 er etableret som en matematisk praksis i en klasse, vil de fleste andre elever forstå denne elevs tænkning, og eleven vil ikke blive afkrævet yderligere forklaringer eller begrundelser. Byg 10 bygger oven på en praksis om at opdele tal. Denne praksis kan fx handle om at finde ud af, hvordan 8 personer kan fordele sig i et dobbeltdækkertog, fx 1 person foroven og 7 forneden, 2 foroven og 6 forneden osv., hvilket kan skrives som $1 + 7 = 8$, $2 + 6 = 8$ osv. Efterhånden som eleverne kan opdele tal, kan de begynde at opdele på smarte måder, når de regner stykker som $8 + 9$. Derfor kan det at opdele ses som en trædesten for at udvikle og bruge tænkestrategier som byg 10.

Man kan læse mere om læringsspor og det teoretiske grundlag for indsatsen i Skott et al. (under review).

Her er en oversigt over de 15 læringsspor, som NCUM har udarbejdet.

Opbygning af læringsspor

Læringssporene er opbygget på stort set samme måde og indeholder disse 6 afsnit:  

1. En introduktion, der kort beskriver læringssporets mål, dets faglige indhold og de klassetrin, det retter sig mod.
2. En udfoldet beskrivelse af målene, herunder hvad elever, der er kommet langt i forhold til målene, forventes at kunne.  
3. En oversigt, der giver et visuelt billede af læringssporet, dvs. af dets faglige udgangspunkt, dets faglige progression og idéer til, hvad en klasse kan arbejde videre med efterfølgende.
4. Tilgang beskriver de faglige og fagdidaktiske idéer, som læringssporet bygger på, og udfolder den faglige progression igennem dets faser.
5. Praksis beskriver læringssporets praktiske rammer og skitserer for hver fase opmærksomhedspunkter for læreren og idéer til, hvordan undervisningen kan gribes an.
6. Grundlag udfolder den forskning læringssporet bygger på.

Når man som lærer eller lærergruppe vil arbejde med et læringsspor, anbefales det først at læse mål, oversigt og tilgang grundigt. Derefter er det en god idé at diskutere læringssporets centrale begreber og bærende idéer med hinanden, da disse er vigtige for at kunne arbejde med dets faglige progression. Man kan eventuelt supplere sin læsning med nogle af de forskningsartikler, der refereres til sidst i læringssporet, hvis man ønsker at vide mere om begreberne og forskningen bag. Oversigt samler et læringsspor i ét visuelt billede. Den kan derfor være en god støtte, når man læser de fem øvrige afsnit. Oversigt findes i en printvenlig version, og det anbefales at printe den som plakat og hænge den op, fx i et fælles lokale for skolens matematiklærere, så den er synlig, når man arbejder med læringssporet. Man kan i første omgang skimme afsnittet praksis, og senere kan man læse beskrivelsen af en bestemt fase grundigt, når man skal planlægge et forløb eller tilrettelægge undervisning. Praksis er tænkt som et billede af og inspiration til, hvordan dele af undervisningen kan gribes af – det er altså ikke et undervisningsforløb. Grundlag og de tilhørende referencer giver som sagt mulighed for at gå i dybden med den forskning, der ligger bag hvert af læringssporene.

Læringssporene til de gymnasiale uddannelser adskiller sig fra de andre læringsspor ved, at tilgangen er mere omfattende. Til gengæld er der ikke et praksis-afsnit.

Klasserum, der støtter og støttes af læringsspor

I realiseringen af læringssporene er elevernes faglige tænkning og deres bidrag til det, der foregår fælles i klassen, helt afgørende. I klasser, hvor elever forklarer og deler deres faglige tænkning og konstruktivt drøfter og sammenligner deres faglige idéer og løsningstilgange, er der større mulighed for at realisere læringssporene. Det er derfor vigtigt, at læreren skaber muligheder for, at eleverne kan deltage i faglige diskussioner både i par, mindre grupper og fælles i klassen, og at de kan arbejde undersøgende med det faglige indhold. Her gives et billede af en sådan klasse, hvor elevernes undersøgende arbejde er organiseret ud fra:

1. iscenesættelse
2. selvstændigt arbejde i mindre grupper
3. fælles faglig samtale.

I praksis kan det give god mening at lave flere runder med denne organisering, så eleverne kan dele og drøfte deres faglige arbejde undervejs.

Iscenesættelse: Læreren iscenesætter det problem, som klassen skal arbejde med, i en fælles seance og i samtale med eleverne. Læringssporene giver eksempler på problemer, der kan arbejdes med, men som lærer eller lærergruppe kan man naturligvis vælge, hvilke problemstillinger der skal være udgangspunktet. Det er under alle omstændigheder vigtigt, at der er en samtale i klassen om problemet, som kan hjælpe eleverne til at forstå problemet og de begreber, der er centrale for at kunne arbejde med det.

Selvstændigt arbejde i mindre grupper: Eleverne arbejder dernæst alene, i par eller i mindre grupper med problemet. Imens opmuntrer og støtter læreren dem uden at fratage dem mulighed for selv at tage vigtige skridt i deres faglige undersøgelse. Det skaber behov og mulighed for at differentiere samspillet med og støtten til forskellige grupper. Undervejs kan der være behov for fælles opsamling, hvor grupperne kan dele deres idéer og tilgange, og hvor læreren har mulighed for at opdage og hjælpe grupper, der er kommet på afveje i deres undersøgelser. Læreren observerer og noterer sig elevernes tænkemåder, udfordringer og resultater. Disse observationer er vigtige som grundlag for den efterfølgende fælles faglige samtale.

Fælles faglig samtale: Læreren udvælger elever til at præsentere deres arbejde ud fra sine observationer. Læreren kan strukturere og fokusere samtalen i forhold til de matematiske praksisser, der er målet for en fase i et læringsspor. For lærere i grundskolen og erhvervsuddannelserne gives der i afsnittet praksis eksempler på, hvordan sådanne samtaler kan forløbe. Det er vigtigt, at formålet med samtalen står klart for klassen – nemlig at nå frem til fælles forståelser af, hvilke måder at ’gøre matematik på’ (dvs. en matematisk praksis eller en praksis som er på vej) klassen som helhed kan blive enige om er hensigtsmæssige ud fra deres arbejde med et eller flere problemer. Det er således i den fælles faglige samtale, at læreren sammen med klassen har mulighed for at udpege, etablere og konsolidere de matematiske praksisser, der er udviklet eller som er på vej, og som er centrale i læringssporet.

For at etablere en sådan undervisning skal klassen arbejde hen imod at udvikle normer, der støtter elevernes aktive deltagelse i klassen. Det kan være normer som, at man skal:

• dele sine idéer med andre
• lytte til og forsøge at forstå andres idéer
• forklare og begrunde sine idéer matematisk
• sammenligne forskellige løsningstilgange til matematiske problemer.

Læreren spiller en vigtig rolle i etableringen af sådanne normer. Når læreren fx udtrykker en forventning om, at eleverne ikke blot leverer et svar på et problem, men også beskriver og forklarer deres tanker og begrunder deres løsningstilgang, bidrager læreren til at udvikle en norm om, at matematiske beskrivelser, forklaringer og begrundelser er vigtige, og at de kræves for at behandle et problem. Denne norm kan udvikles i fælles faglige samtaler, hvor alle elever kan opleve, hvordan den kommer til udtryk. Et andet eksempel er, at læreren kan fremme en norm om, at der er flere tilgange til at løse et problem, og at det har værdi at fremhæve og sammenligne forskellige løsningstilgange. Det kan gøres ved ikke at nøjes med et korrekt svar, men efterspørge, hvordan eleverne har løst problemet, og om andre elever har løst det på andre måder, og ved at invitere klassen til at vurdere de løsninger og metoder, der fremlægges.

Det er bestemt ikke let at udvikle en sådan klassekultur, men det er vigtigt. Læringssporene understøtter denne udvikling, bl.a. ved at give forslag til fokuspunkter for fælles faglige samtaler og eksempler på spørgsmål læreren kan stille.

Sammenhæng mellem læringssporene

Tal og algebra er et stort fagområde, og læringssporene dækker ikke alle emner i området. I grundskolen er emner som negative tal, proportionalitet, potenser og rødder fx ikke dækket. I grundskolen og erhvervsuddannelsen er læringssporenes faglige indhold udvalgt efter tre kriterier, mens der i udvælgelsen af indhold til gymnasiets læringsspor er lagt vægt på det sidste kriterium:

• Det faglige indhold er typisk udfordrende for elever at lære.
• Det faglige indhold er vigtigt på tværs af faglige emner.
• Det faglige indhold er centralt i forhold til at understøtte faglig sammenhæng og progression i tal og algebra i og på tværs af grundskole og ungdomsuddannelser.

Her gives et eksempel på, hvordan læringssporene kan støtte faglig sammenhæng og progression i og på tværs af grundskole og ungdomsuddannelser ud fra funktionsbegrebet. Allerede i 2. klasse kan en klasse arbejde med lineære sammenhænge i læringssporet ”At generalisere lineære sammenhænge” (2.-6. klasse). Her arbejder klassen med problemstillinger, som eleverne via regneudtryk kan generalisere og på sigt formulere som algebraiske udtryk. Det kan fx være et udtryk som $p = 4 \cdot n + 2$, der beskriver, hvor mange personer ($p$) der er plads til ved $n$ antal borde, og hvor $p$ og $n$ er naturlige tal. Klassen kan arbejde videre med lineære sammenhænge i læringssporet ”At sammenligne lineære funktioner” (7.-9. klasse), hvor talmængderne for variablene og parametrene gradvist udvides. Eleverne arbejder med at repræsentere lineære funktioner på forskellige måder og at sammenligne funktioner af det samme fænomen grafisk så vel som algebraisk. Sidst i læringssporet skal klassen med støtte fra læreren generalisere konkrete forskrifter for lineære funktioner til standardformen $f(x) = a \cdot x + b$. I læringssporet ”At forstå og anvende lineære funktioner” (1. g) arbejder en klasse med at opstille lineære og stykvis lineære modeller af forskellige fænomener og med at anvende disse modeller til at undersøge matematiske egenskaber ved lineære funktioner. Samlet set lægger de tre læringsspor op til, at eleverne arbejder med alle aspekter af lineære funktioner, og at de gradvist kan udvikle robuste forståelser af, hvad en (lineær) funktion er.