Symboler og symbolske udtryk

Symboler er kernen i matematikkens sprog

Ingen andre fag gør brug af symboler i så stor udstrækning som matematikken. Allerede i dagtilbud og i indskolingen indfører vi talsymboler 1, 2, 3 osv. (se 'At tælle'). Senere kommer bogstavsymboler, der enten står for tal, som (1) man allerede kender, (2) man ønsker at finde, eller (3) kan antage forskellige værdier (variable/parametre) hvis præcise talværdi er uinteressant i denne sammenhæng.

På figur 1 står $v$ for størrelsen af en vinkel.

Skitse af vinkel navngivet v — Figur 1 - Symbol, der står for et tal

Skitse af trekant med spidser navngivet A, B og C — Figur 2 - Symboler der fungerer som navne

Symbolerne står ikke altid for tal. De kan også blot være navne for fx punkter, vinkelspidser, linjestykker osv. På figur 2 er A, B og C navne for de tre vinkelspidser i en trekant. Ydermere kan trekanten med disse tre hjørner angives som matematisk objekt ved $\Delta ABC$.

Inden for algebra står bogstavsymbolerne altid for tal. Det kan de imidlertid gøre på mange måder, og det er en af grundene til, at mange elever har så svært ved algebra. Tænk bare på symbolet $x$. Får man ligningen $3x + 8 = 20$, vil man nok gå i gang med at finde det tal, som gør ligningen sand, altså $x = 4$. Ser man derimod ligningen $y = 3x + 8$, vil man sandsynligvis opfatte $x$ som et vilkårligt reelt tal, som er førstekoordinaten for punkterne på den rette linje med hældning 3 og skæring med y-aksen i 8. Vi har her at gøre med to meget forskellige måder at opfatte symbolet $x$ på. (Se 'Algebra på tværs')

Hvordan kan symboler stå for et tal?

Faktisk kan man beskrive fem forskellige måder, som et symbol kan stå for et tal på, (Kilde 1) og (Kilde 2).

1. Pladsholder for et tal

Det nok mest simple er, når symbolet fungerer som en pladsholder for et tal. Her kan symbolet erstattes af en __ eller en tom kasse $\fbox{$\phantom{2}$}$, der blot venter på at blive udfyldt af et tal. Arbejder man med regneark, vil cellenavnet (fx A3) være en pladsholder.

2. En ubekendt

Symbolet kan også stå for en ubekendt, som skal bestemmes, fx gennem løsning af en ligning.

3. En variabel

Symbolet kan stå for en variabel størrelse, dvs. ikke en enkelt ubekendt værdi, men en hel række forskellige værdier – ja, sommetider uendeligt mange! – inden for en bestemt talmængde. Vi møder bl.a. variable, når vi arbejder med funktioner, dvs. når vi ser på, hvordan forskellige variable varierer i forhold til hinanden. Når vi for eksempel ser på udtrykket for arealet af et rektangel $A = h\cdot b$, kan $h$ og $b$ opfattes som variable, der antager forskellige værdier på en særlig måde for forskellige rektangler med samme areal.

4. Generaliserede tal

Når symbolet bruges til at beskrive sætninger, regneregler eller generelle egenskaber, som fx i $a + b = b + a$ kalder man dem for generaliserede tal. Vi er ikke interesserede i hvilke værdier, de har, men ved bare, at de kan stå for alle mulige tal.

5. Symbolet som parameter

Symbolet som parameter er den betydning, som nok er sværest at forstå. En parameter kan opfattes som en fast værdi, der kan variere! Taler man om parablen $y = a\cdot x^2, a \neq 0$, kan $a$ opfattes som en parameter, dvs. et fast tal, men afhængig af den værdi $a$ har, vil parablens grene pege opad eller nedad, og den vil være bred eller smal.

Eksempel på de 5 måder et symbol kan stå for et tal

Koordinatsystem med forskellige rette linjer — Figur 3 - $b$ som parameter

Som et eksempel på, hvordan symbolerne markant ændrer roller i det samme udtryk afhængig af, hvad man arbejder med, ser vi her på udtrykket for den rette linje $y = a\cdot x + b$.

I første omgang lader vi $a$ og $b$ have talværdier, fx $y = 2x + 3$. Hvis vi er interesserede i nogle (tilfældige) punkter på linjen, vil $x$ være en pladsholder. Vi vælger selv nogle værdier og sætter dem på $x$’s plads. Når udregningen er foretaget, har vi 2. koordinaten til et punkt på linjen. Består opgaven i stedet for i at finde det punkt på linjen, hvor 2. koordinaten er 7, er det ligningen $2x + 3 = 7$, der skal løses, og så står $x$ for en ubekendt. Man kan også blive bedt om at beskrive den grafiske repræsentation af udtrykket $y = 2x + 3$. Så er $x$ en variabel, der kan antage værdier indenfor de reelle tal, og vi får en ret linje med hældning 2 og skæring med y-aksen i 3.

Nu ser vi på det generelle udtryk $y = a\cdot x + b$ og symbolerne $a$ og $b$. Hvis man vil formulere sætninger om egenskaber for den rette linje, fx at dens ligning kan skrives på formen $y = a\cdot x + b$, (eller $a\cdot x + b\cdot y + c = 0$), så opfattes $a$ og $b$ (og $c$) som generaliserede tal. Vi er ikke interesserede i hvilke tal, men har bare brug for at vide, at det er tal, der kan antage alle mulige værdier.

Endelig kan man for eksempel spørge: "Hvordan ser graferne ud for alle de rette linjer $y = a\cdot x + b$, hvor $a$ kan antage forskellige værdier, men $b$ er fast?” Her er betydningen af $b$ helt anderledes end ovenfor, da $b$ nu er et fast tal, som dog kan antage alle mulige værdier – den er en parameter. Med det mener man, at $b$ først betragtes som et fast tal fx 3 som på figur 3, men hvor $a$ kan have forskellige værdier. Det giver os de grønne linjer. Hernæst ser vi på et nyt $b$, fx tallet $-1$, som giver de røde linjer. Så svaret på spørgsmålet bliver derfor: "For hvert tal $b$, får vi rette linjer med alle mulige hældninger, som skærer y-aksen i $b$".

Symbolske udtryk

Opgave med brug af massefylde af lod — Figur 4 - Grundskolen: en formel skrevet med ord

Når man sætter symboler sammen, får man symbolske udtryk. I matematik opererer vi med mange forskellige slags symbolske udtryk: ligninger, forskrifter, formler osv. Der er tit en tæt forbindelse mellem den type udtryk, et symbol optræder i, og den rolle symbolet spiller. Som lærer er man måske ikke altid helt stringent med, hvad man kalder de symbolske udtryk, og for nogle elever kan det give anledning til usikkerhed. Deres opfattelse af, hvordan man kan behandle eller omforme et udtryk, afhænger nemlig ofte af, hvad man kalder det.

Her ligger både en faglig og en didaktisk udfordring: den faglige handler om, at eleverne naturligvis skal lære at kende forskel på, hvad for eksempel en ligning og en formel er, men lige så vigtigt er, at de skal have en fleksibel tilgang til, hvad man kan gøre ved de forskellige typer udtryk; hvilke handlemuligheder man har. At man sommetider sætter tal ind i en formel og regner et resultat ud, men at man også kan behandle formlen som en ligning, der skal løses mht. en bestemt størrelse. Det er en didaktisk udfordring, hvordan griber man det an i undervisningen? Se Formler – hvad ved vi fra forskningen? og Eksempel: rumlige figurer.

Ved overgangen mellem grundskole og gymnasie lægger man mærke til, at symbolske udtryk typisk skrives forskelligt op. I grundskolen vil man sommetider bruge bogstaver som generelle symboler for tal, men andre gange bruger man ord eller konkrete tal i stedet for symbolerne, som vist på figur 4 og figur 5 (Kilde 3).

Opgave omkring kurs mellem kroner og udlandske valuta — Figur 5 - Grundskolen: en formel skrevet med tal

I gymnasiet vil man stort set altid bruge generelle symboler (bogstaver). Begge steder vil der være en figur eller illustration, når det er muligt, som viser betydningen af de anvendte symboler (Kilde 4).

Opgave omkring 1. grads polynomium i gymnasiet — Figur 6 - Gymnasiet (STX): en formel skrevet med symboler med tilhørende figur

Som nævnt er det altafgørende, hvilken type symbolsk udtryk eleven ’ser’, når der arbejdes med matematik. Man kan nemlig ikke lave det samme med de forskellige typer. Ser man på de forskellige typer af symbolske udtryk, der forekommer i matematikbøger og formelsamlinger, kan man identificere i hvert fald seks forskellige typer:

Definition

Man bruger ofte symbolske udtryk, når man definerer et matematisk begreb. For eksempel er cosinus til en vinkel defineret som forholdet mellem længderne af den hosliggende katete og hypotenusen i en retvinklet trekant:

$\cos(v)=\frac{modstående\space side}{hypotenusen}$

Et andet eksempel er differentialkvotienten for en funktion f, der også er defineret ved et symbolsk udtryk: $f'(x_0)=\lim\limits _{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

En definition kan man tage til efterretning, men ellers kan man ikke udføre meget med den, uden den skifter type.

Ligning i én variabel

En ligning i én variabel er et symbolsk udtryk med en ubekendt, som vi ofte kalder $x$. Ligningen angiver, at de to sider af lighedstegnet er lige store, og at man ved en omformning, (måske) kan bestemme den værdi af $x$, som gør ligningen sand. I grundskolen arbejder man med lineære ligninger og 2.-gradsligninger og i gymnasiet også med ligninger af højere orden, trigonometriske ligninger samt ligninger, hvor der indgår exponential- eller logaritmefunktioner.

Fx kan ligningen $\frac{1-3x}{x+2}=4$ , $x \neq -2$ løses ved at gange med nævneren på begge sider af lighedstegnet.

At man ikke altid kan løse en ligning ved hjælp af omformninger, er ligningen $e^x=x$ et eksempel på. Her må man tage numeriske metoder til hjælp eller løse den grafisk.

Definitionen af cosinus fra før, kan opfattes som en ligning, og kender man fx vinkel og hypotenuse i en retvinklet trekant, kan man finde den hosliggende katete.

Ligning i to variable

En ligning i to variable, fx $y = 4x + 2$ angiver en samling punkter (en punktmængde), hvor koordinaterne passer ind i ligningen, dvs. gør den sand. Man kan indtegne punkterne i et koordinatsystem, og de vil så ligge på en bestemt måde. I dette tilfælde på en ret linje. Vi kender også cirklens ligning og parablens ligning.

Funktionsforskrift

En forskrift for en funktion $f$ er et symbolsk udtryk, der beskriver, hvordan den afhængige variabel $f(x)$ varierer i forhold til den uafhængige variabel $x$. Forskriften er blot en af de fire repræsentationer for en funktion (hvor de øvrige er tabel, graf og sproglig beskrivelse) (Kilde 5), se Matematiske funktioner. Når man arbejder med funktioner og deres forskrifter, giver det samtidig adgang til hele den matematiske teori, vi har om funktioner, fx for optimering, differential- og integralregning.

Lighed

Ved en lighed eller en identitet forstår man et symbolsk udtryk, hvor de to sider af lighedstegnet angiver den samme værdi, men blot er skrevet op på to forskellige måder, tit ved hjælp af de grundlæggende regneregler. Vi kender ”kvadratsætningerne”, hvor man kan vise, at $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ blot ved at gange parentesen på venstre side med sig selv.
Eller, $1+\tan^2(v)=\frac{1}{\cos^2(v)}$, der kan vises med en omskrivning, ved at benytte at $\tan(v)=\frac{\sin(v)}{\cos(v)}$, efterfulgt af grundrelationen $\sin^2(v)+ \cos^2(v)=1$.

En lighed kan altså bruges til at erstatte ét symbolsk udtryk (den ene side) med et andet udtryk (den anden side).

Formel

En formel er et symbolsk udtryk, som fortæller noget om sammenhængen mellem forskellige størrelser i en given kontekst, fx formlen for arealet af en trekant eller rumfanget af en cylinder. Formler kan man anvende på mange måder, fordi de kan opfattes som flere af de typer, der er nævnt ovenfor, se Formler - Hvad ved vi fra forskning.

Som beskrevet ovenfor kan mange af disse symbolske udtryk behandles på flere måder, der lapper ind over hinanden, fx som når definitionen på cosinus opfattes som en ligning. Det er derfor vigtigt, at man som lærer selv er opmærksom på de forskellige typer symbolske udtryk, og hvordan man kan handle med dem, og samtidig italesætter det for eleverne, så de lærer at arbejde fleksibelt med de mange symbolske udtryk, de møder i undervisningen.

Refleksioner til faggruppen

Kan I genkende de forskellige måder at bruge symboler på?
Har I bemærket, om eleverne har sværere ved nogle af måderne end andre? Hvordan kan I støtte eleverne i undervisningen, så de kan beherske alle fem måder at bruge symbolerne på?
Undersøg jeres undervisningsmaterialer for forskellige typer symbolske udtryk. Kan I finde eksempler på dem alle sammen?
Find eksempler fra jeres egen undervisning, hvor I bruger de forskellige typer: Er der nogle, som I ikke bruger så meget? Mener I, at det kan give mening at tale med eleverne om forskellene?