Eksempel: rumlige figurer
En forudsætning for at blive en kompetent formelbruger er, at man møder de mange forskellige formelforståelser og får mulighed for selv at arbejde med dem i undervisningen. Når man som lærer selv er bevidst om, hvad en formel er, og hvordan den kan have mange forskellige betydninger, bliver det nemmere at planlægge aktiviteter, der hjælper eleverne med at blive dygtige formelbrugere. Både når man, som beskrevet her, arbejder struktureret med formelforståelser, og når man benytter formler i andre sammenhænge, er det vigtigt at italesætte, hvordan man bruger formlerne: ”For at få resultatet, skal vi indsætte de mål, vi har fået opgivet og regne ud, hvad det giver.” Eller ”Se, nu fungerer formlen som en ligning. Vi kender nogle af tallene, som vi kan sætte ind, og så løser vi ligningen for den ubekendte.” Eller: Kan I se, at når vi klipper cylinderen op og folder den ud, så kan vi udtrykke overfladearealet af den krumme del som omkredsen ganget med højden? Og når vi oversætter det til symboler, får vi præcis den formel $A = 2\pi r\cdot h$, som vi kender fra bogen! Her er de ord, som karakteriserer det aktuelle formelblik fremhævet med kursiv.
I det forløb, der er beskrevet her, arbejdes der struktureret med formelforståelserne, så eleverne får mulighed for at arbejde med mange af dem, også inden for samme opgave. Forløbet handler om rumlige figurer, og det kan tilpasses, så det både kan bruges i grundskolen, på gymnasiet og på erhvervsuddannelserne. Eventuelt kan man tage udgangspunkt i den eksamensopgave med en grillstarter fra grundskolen, der er vist i Idéer til undervisning med fokus på formlforståelse.
I mange formelsamlinger kan man finde formler for overfladeareal og rumfang af rumlige figurer som fx kasse, cylinder, kegle og pyramide m.fl. Formlerne er forholdsvis enkle, og flere af dem kan eleverne selv, eller med nogen stilladsering, ræsonnere sig frem til. I formelsamlingen indgår der mange symboler, som henviser til størrelser på en tegning eller på en konkret figur. For at understøtte elevernes forståelse af sammenhængen mellem symbol og det, symbolet står for, er der i forløbet mulighed for, at eleverne selv kan få lov til at indføre symboler eller identificere givne symboler i en anden repræsentation end i formlen.
Flere af aktiviteterne efterfølges af autentiske dialoger med eksempler på de formelblik eller -forståelser, som elever har af formlerne, mens de arbejder med dem (se Formler – hvad ved vi fra forskningen). De enkelte formelforståelser er angivet med fed skrift, for at tydeliggøre deres sammenhæng med det, forskningen beskriver.
Undervisningsforløbet
Dette forløb handler om rumlige figurer, men man kan benytte samme type undervisning med andre emner og selv lave materialer af samme type men med andet indhold. Se Idéer til undervisning med fokus på formelforståelse. Formålet med forløbet er at gøre eleverne fleksible formelbrugere.
Eleverne arbejder i grupper og får udleveret arbejdskort med opgaver, der hører til forskellige rumlige figurer. Herudover opfordres de til at bruge formelsamling, en matematikbog, 3D-printede figurer, visualiseringer fundet på nettet osv. Eleverne skriver logbog for at fastholde deres idéer. Logbogen kan med fordel være på papir, da det gør det nemmere for dem at tegne og skitsere.
Arbejdsarkene er afprøvet i gymnasiet (HTX) se EMU, men kan med nogle ændringer og udeladelser også benyttes i grundskolens ældste klasser og på erhvervsuddannelserne.
Det første arbejdskort, vist på figur 2, handler om prisme og cylinder.
I spørgsmål 2) skal eleverne først finde rumfangsformlerne i formelsamlingen, og herefter afkode forbindelsen mellem de symboler, der indgår i formlen og de tilhørende størrelser i prismet: højde og grundfladearealet.
På arbejdskort 1, se figur 3, bruger eleverne i 4) formlen som en opskrift, hvor de indsætter kendte værdier og beregner et resultat.
I spørgsmål 5) vil nogle elever måske bare lægge klodsen ned, så der kommer en ny højde og en ny grundflade! Det er jo helt oplagt at rumfanget er det samme… Andre vil halvere den ene længde og fordoble den anden. På den måde nærmer de sig formelforståelsen med-variation. Nogle elever vil måske indse, at man i volumenformlen $V=h\cdot G$, der blev bestemt i 4), kan indsætte den kendte værdi for $V$, og at man nu har to variable, $h$ og $G$. Den ene kan eleven selv bestemme værdien af og så kan man finde den anden ved at løse ligningen.
I 6) begynder man at arbejde med forståelsen blueprint, altså hvordan et prisme er opbygget. Uformelt kan man beskrive det som et antal ($h$) tynde skiver, der hver har et areal ($G$). Lægger man alle disse skiver sammen, får man rumfangsformlen.
Efter prismerne, går man videre til cylindre som vist på figur 4.
Man kan opleve elever, der har svært ved at skelne et prisme og en cylinder, fordi rumfangsformlerne ligner hinanden. De ser formlen som en identitet.
Nedenstående dialog viser, hvordan elev 1 ser formlen som en identitet.
Elev 1: Prisme, det er den hvor man kan sige grundfladen gange højden.
Elev 2: Jah, men det kan man jo også ved andre ting.
Elev 1: som hvad?
Elev 2: Sommmm. [tænker længe]. Må jeg lige se, hvordan prismen ser ud? [Kigger på figuren i formelsamlingen.]
Elev 1: Prisme, det er en, det læste jeg i sidste uge, det er en, hvor man kan sige grundfladen gange højden. Hvis du f.eks. ser på den der [peger på billedet af en keglestub], det er ikke en prisme, for der kan du ikke sige grundfladen gange højden.
Elev 3: Det der [peger på en cylinder i formelsamlingen], det er også en prisme.
Elev 2: nå, så det er lige meget hvilken form den har. [Skriver] er vi enige om det?
Elev 3: ja. Det er dem her [peger på de fire figurer øverst på arbejdsark 1]
Elev 1: og prisme er en rumlig figur
For at overkomme dette problem og så småt komme i gang med at læse formler, bliver eleverne i spørgsmål 4 spurgt til ligheder ($V=h·G$) og forskelle ($G$ er arealet af en polygon hhv. en cirkel) på de to rumfangsformler, og det betyder, at de skal begynde at læse mening ind i de enkelte symboler: $G$ betyder ikke helt det samme i de to tilfælde.
Det sidste arbejdskort om prisme og cylinder (figur 5) handler om cylinderrøret, og her får eleverne mulighed for selv at bygge eller opstille en formel ud fra det, de allerede ved.
Først skal eleverne give en sproglig beskrivelse af et cylinderrør, fx ”en stor cylinder, hvor man har fjernet en mindre cylinder inden i”. Derefter kan denne beskrivelse ”oversættes” til en formel, måske først med ord: ”Rumfang af cylinderrør = rumfang af stor cylinder – rumfang af lille cylinder”, og derefter med indførelse af symboler: $V_{cylinderrør}=V_{stor}-V_{lille}$. Her har eleverne brug for blueprintforståelsen. Man vil ofte opleve, at eleverne starter med beregningsudtrykket på venstre side af lighedstegnet og ”navnet” på resultatet på højre side som i elevnoterne på figur 6.
På gymnasieniveau, hvor eleverne har arbejdet meget med symbolske udtryk, vil de måske lægge mærke til, at deres formel ikke ligner den, der er i bogen. For elever med formelforståelsen form, betyder det, at de to formler er forskellige, og nogle elever vil forsøge at omskrive, så de to formler bliver ens. Det kan man se til slut i denne dialog:
Elev 2: En cylinder, hvor der er et tomrum med overflader uden om, fordi noget vil ikke være et rør uden at kunne føre noget igennem det.
Elev 3: [Tager 3D-figuren og vender og drejer den] er det ikke bare den store minus den lille?
Elev 2: Jo, jo.
Elev 3: siger man ikke bare den der, og kalder den der $V_1$’eren? Så det bliver bare $V_1$, hvilket jo så er den store og så $V_2$? [bruger 3D-model til at vise den store cylinder og tomrummet som hhv. $V_1$ og $V_2$].
Elev 3: skal vi skrive det længere ud? [peger på formlen for cylinderrør i formelsamlingen]
Elev 2: så $V=\pi\cdot h\cdot( r_2^2-r_1^2)$?
Elev 1: Hvorfor det?
I dialogen opdager Elev 3, at den formel, de er kommet frem til, IKKE ser ud som den i bogen – den har en anden form. Det er formforståelsen, der får eleverne til at gå videre med udtrykket. Tanken med spørgsmålet er, at eleverne indsætter formlerne for henholdsvis den store og den lille cylinder, som de kender fra tidligere, i udtrykket $V = V_2 – V_1$, og det vil give dem en formel for cylinderrørets rumfang ud fra den store og den lille radius samt højden. I stedet skriver elev 2 bare formlen af fra formelsamlingen, og det er ikke nok for elev 1. Hvis eleverne i stedet havde indsat formlerne $V_1 = \pi hr_1^2$ og $V_2 = \pi hr_2^2$, skulle de stadig kunne se formlen $V = \pi hr_2^2 – \pi hr_1^2$ som en ligning, eller i hvert fald som et udtryk, der kan omformes. Erfaringsmæssigt er dette et stor spring på alle niveauer, for der er ikke mange elever som frivilligt sætter uden for parentes!
For at tydeliggøre hvor kompleks opgaven faktisk er, opsummerer vi her, hvilke trin det kræver for at løse spørgsmål 2) ”Opstil en formel for rumfanget af et cylinderrør” og komme frem til bogens formel: med blikket blueprint opstilles udtrykket $V = V_2 – V_1$. Blikket form fører til, at man indsætter udtrykkene for hver cylinder: $V_1 = \pi hr_1^2$ og $V_2 = \pi hr_2^2$ , og til slut omformer man (med blikket ligning) udtrykket $V = \pi hr_2^2 – \pi hr_1^2$, til formlen fra bogen $V=\pi\cdot h\cdot( r_2^2-r_1^2)$. Hvis eleven mangler et af disse formelblik, kan opgaven ikke løses i alle detaljer.
I spørgsmål 4) vil mange elever bruge 3D-modellen til at argumentere for, at den inderste cylinders placering er ligegyldig. Her er det vigtigt også at inddrage formeludtrykket, og tale om, hvordan man også herfra kan komme frem til resultatet, at placeringen er underordnet.
Man kan fortsætte forløbet med et arbejdsark om overfladearealer af prismer og cylindre (figur 7), hvor eleverne for eksempel bliver bedt om selv lave en cylinder af et A4-ark og beregne overfladearealet.
Her er der fokus på formelblikket blueprint, hvor eleverne selv skal bygge en cylinder, og bruge formlen som beskrivelse af figuren. En figur som denne kan hjælpe eleverne med at indføre symboler og selv opstille formler for overfladearealet.
Som et alternativ til at eleverne selv skal opstille formlen, kan man have fokus på den modsatrettede proces, hvor man tager udgangspunkt i formlen, og skal læse mening ind i den. For eksempel kan man tegne en cirkel, en cylinder, en cylinder med bund osv. og opskrive de tilhørende formler som vist på figur 8. Eleverne skal så parre figur og formel. Man kan eventuelt skrive formlerne på flere måder, så eleverne ser, at der sommetider skal omskrives, før man kan læse mening ind i dem. På denne måde understøttes formblikket og ligningsblikket også.
Forløbet om rumlige figurer kan fortsættes med andre figurer som fx kegle og keglestub, pyramide og pyramidestub samt kuglen. Eksempler på arbejdskort findes her.
I forløbet, der er beskrevet her, er der fokus på de mange forskellige formelblik, og eleverne får anledning til at veksle mellem dem. Som nævnt i begyndelsen kan man følge op i undervisningen ved at gøre eleverne opmærksomme på at: ”nu bruger vi formlen som en opskrift, hvor vi sætter kendte tal ind”, eller ”her må vi behandle formlen som en ligning, for vi skal have isoleret $G$, for at finde grundfladens størrelse”, eller ”nu skal vi selv ’bygge’ eller ’opstille’ en formel, som vi kan bruge til at regne mange forskellige værdier af rumfanget ud med” osv. På denne måde kan eleverne blive mere fleksible formelbrugere.
til: DAGTILBUD, GRUNDSKOLE, GYMNASIUM, ERHVERVSSKOLE
emne: FORMLER OG SYMBOLSKE UDTRYK
UDGIVET: 2025