Idéer til undervisning med fokus på formelforståelse

I den daglige undervisning er der mange muligheder for at observere og bevidst inddrage forskellige forståelser af formler, men det kræver, at man selv er bevidst om dem, se Formler - hvad ved vi fra forskningen?. Hvor man ofte vil anvende formler som en opskrift eller som en ligning, kan det kræve mere opmærksomhed fra underviseren også at få inddraget fx læsning og med-variation. Det er vigtigt, at man italesætter dem i de situationer, hvor de bliver brugt, og det er vigtigt at vise eleverne, hvordan man sommetider er nødt til at veksle mellem forskellige formelblik, selv indenfor den samme opgave.

Her vil vi tage udgangspunkt i nogle tidligere eksamensopgaver fra grundskolen og fra gymnasiet samt et eksempel på et prøveoplæg fra EUD, og vise, hvordan man kan arbejde videre med opgaverne, så eleverne får mulighed for at arbejde med flere forståelser. Afhængigt af hvordan man behandler opgaverne, kan de bruges på tværs af grundskole, gymnasie og erhvervsuddannelse.

I denne opgave får eleverne en formel. Først bruger de den som en opskrift til at beregne $F$, når de kender $C$ (opskriftblik). Dernæst indsættes værdien for $F$, og de bestemmer $C$ ved at løse en ligning (ligningblik). I 4.3 er det sammenhængen mellem $F$ og $C$, det handler om. Hvordan ændrer $F$ sig, når $C$ ændres? Eleverne beregner forskellige $F$-værdier og indtegner punkterne ($C$, $F$), der vil ligge på en ret linje (med-variationsblik). Spørgsmålet kan udvides ved at bede eleverne om at tegne de samme punkter ind igen, men hvor der er byttet om på $F$- og $C$-aksen. Hvad er det for en ret linje, de får denne gang?

I sidste spørgsmål skal eleverne igen løse en ligning, men denne gang med symboler. Igen kan opgaven udvides ved at bede eleverne beregne forskellige $C$-værdier for kendte fahrenheit-temperaturer – hov, det giver den samme linje, som blev tegnet ind før! Hvad betyder det for Magnus’ påstand? Det kan give anledning til at tale om funktioner og omvendte funktioner, som er beskrevet ved hjælp af formlerne. Det er også en god anledning til at tale om, at man har brug for at behandle formlerne på helt forskellige måder.

Igen starter man med et opskriftsblik, når der skal sættes tal ind og resultatet bliver beregnet. I 2.2 skal eleverne benytte formlen for omkredsen til at opstille en ligning, som de kan løse for radius. Og det er igen opskriftsblikket og ligningsblikket, der er fremtrædende i de sidste to spørgsmål.

Opgaven kan nemt udvides til at inddrage flere forståelser. For eksempel kan man som opfølgning på 2.2 arbejde med opstilling af den generelle formel for overfladearealet af en cylinder. I første omgang uden top og bund, og derefter med bund, for der skal grillkullene jo ligge. Her arbejder man med et blueprintblik. Når man har formlen for grillstarterens overfladeareal, kan man tale med eleverne om, hvor man kan genfinde arealet af den cirkulære bund og den krumme overflade i formeludtrykket (læsningsblik). Herefter kan formlen bruges som opskrift til at bestemme den konkrete grillstarters overflade og som ligning, hvis man vil finde højden, når man kender radius og et (nyt) overfladeareal. Man kan også gå videre og finde dimensionerne på forskellige grillstartere, der alle skal have samme krumme overfladeareal (med-variationsblik), og man kan undersøge, hvad der sker med arealet af hele grillstarteren, dvs. med bund, når højde og radius varierer. Man kan også se på et konstant rumfang og undersøge, hvordan højden af grillstarterne og dens radius hænger sammen. Hvad sker der med højden, hvis man gør radius dobbelt så stor? Kan man finde to forskellige grillstartere, der har samme rumfang, men forskellig højde og radius, osv.

Spørgsmål 2.3 er et godt udgangspunkt til at sammenligne udtrykkene for en cylinders og en kasses rumfang – hvad er ens, og hvad er forskelligt? Hvor kan det ses i formlerne?  

Ved brug af mange forskellige formelforståelser, kan grill-starterens udseende undersøges og resultaterne kobles til formlerne for overfladeareal og rumfang.

Først tegnes linjen $l$ (blå) og et punkt $P(6, k)$. Med skyderen kan $P$ bevæges op og ned. Derefter konstrueres en linje, der står vinkelret på $l$ og går gennem $P$. Skæringspunktet mellem linjerne får symbolet $A$. Til sidst måles afstanden mellem $A$ og $P$. Ved at bevæge skyderen, kan man aflæse, hvordan afstanden til linjen ændrer sig.

Det næste skridt er at opstille de ligninger, som skal bruges for at bestemme $y$-værdien i hvert tilfælde. Først ligningen for den grå linje, så skal skæringspunktet $A$ mellem de to linjer findes, og endelig kan afstanden mellem $A$ og $P$ findes fra formlen for afstanden mellem to punkter (Pythagoras). Det er altså andre symbolske udtryk end den færdige afstandsformel fra opgaven, som kommer på banen her. Resultaterne sammenholdes hele tiden med resultaterne i den grafiske repræsentation. Til slut kan man inddrage afstandsformlen ved at bede eleverne finde $P$’s koordinater ved indsættelse i denne formel. I tilfældet 0, vil nogle elever straks gennemskue fra deres tidligere undersøgelser, at så skal punktet ligge på $l$. Andre elever opstiller ligningen og opdager ad den vej, at tælleren i formlen må være 0, hvilket præcis er det samme som at punktets koordinater passer ind i ligningen!

Gennem disse undersøgelser bliver det (forhåbentlig) tydeligt for eleverne, at en formel sommetider kan opfattes og behandles som en ligning.

I denne opgave skal eleverne i a) finde formlen for rumfanget af en cylinder og indsætte værdierne for volumen og radius. De skal altså bruge formlen som en ligning. For nogle elever vil det være en hjælp, hvis de først får lov til at bruge formlen som en opskrift. Man kan derfor udvide opgaven med et spørgsmål, hvor de skal beregne rumfanget af en foam-rulle, hvor radius (eller diameter) og højde er kendt. Måske kan man skaffe en foam-rulle, som eleverne selv skal måle op og beregne rumfang af.

I spørgsmål b) er formlen blevet til en funktion. Inden man introducerer funktionen, kan man se på formlen for overfladearealet af en cylinder:

$A=2\cdot\pi r^2+2\pi r\cdot h$

Bemærk den måde formlen er skrevet op på. Måske kan eleverne genkende nogle af de indgående dele? Sammen kan klassen komme frem til, at der er tale om arealet af to cirkler og arealet af et rektangel med sidelængderne $h$ og $2\pi r$. Især rektanglet kan være svært at genkende, men det kan kombineres med at eleverne selv opfordres til at opstille formlen fra et stykke papir, der laves til en cylinder. For at komme frem til formlen på denne måde, har eleverne både brug for et læseblik og et blueprintblik på formlen.

Formlen kan bruges til at bestemme overfladearealet af foam-rullen, når man kender radius og højde, og igen vil nogle elever have glæde af at beregne værdier for arealet ved indsættelse af nogle $r$- og $h$-værdier (opskriftsblik). Herefter kan man vælge et bestemt areal, og bede eleverne finde forskellige par af værdier for r og h, der giver netop dette areal (med-variation). Det vil give eleverne en forståelse af, at når man ændrer på den ene variabel, må man også ændre på den anden, hvis arealet skal forblive konstant.

Nu er det tid til at introducere funktionen. Ved at sammenligne arealformlen fra før og den funktion, der er givet i opgaven, kan eleverne se at de to udtryk ser forskellige ud (formblik). Der må altså foretages omskrivninger for at man kommer frem til funktionsudtrykket. Det må eleverne selv forsøge at komme frem til med mere eller mindre støtte. Ved at sammenligne formen på forskriften og formlen for arealet kan de komme frem til, at det er den del af arealformlen, der hedder $2\pi r\cdot h$, som skal laves om. Måske vil nogen bemærke at der ikke er noget $h$, men kun et $r$. Kan man skrive $h$ på en anden måde? I a) fandt eleverne $h$, når rumfanget var $V = 7950$ og $r = 7,5$ cm. Men så kan man også finde et udtryk for $h$, når $V = 7950$ og $r$ kan variere. Til sidst kan dette udtryk sættes ind på $h$’s plads i formlen (ligningsblik), og eleverne har nu (mere eller mindre selv) fået opstillet en formel for arealet (blueprintblik). Sidste skridt er at ændre denne formel til en funktion. Igen vil nogle elever finde støtte i at beregne arealværdierne for forskellige radier og måske endda tegne disse værdier ind i et koordinatsystem. Herfra er der ikke langt til at opfatte formlen som en funktion, som man kan gøre noget ved, fx differentiere og finde minimum.

Først ser man på hvordan man finder omkredsen af tværsnittet i det konkrete tilfælde, og herefter kan klassen sammen få skrevet et generelt udtryk op vha. symbolerne. Det kræver et blueprintblik. Eleverne kan bagefter anvende formlen på et lignende badeværelse, men med andre mål (opskriftsblik). Herefter kan eleverne gå videre med at opstille generelle udtryk for en eller flere af opgavens 4 spørgsmål. Eller læreren kan give dem et udtryk fx $(B - b)^2 + (H - h)^2 = a^2$, som eleverne skal læse og oversætte i forhold til figuren. Her er $B - b$ længden af den vandrette katete i den røde trekant på figur 3 mens $H - h$ er længden af den lodrette katete.