Formler - hvad ved vi fra forskningen?

I matematikundervisningen benytter vi os af formler i mange forskellige sammenhænge. Faktisk har vi så mange formler, at vi ligefrem har en formelsamling. Men hvad forstår man egentlig ved en formel? Der findes overraskende lidt matematikdidaktisk forskning, som beskæftiger sig med begrebet formler og de mere generelle udfordringer, som elever oplever i arbejdet med dem.

Når man arbejder med symbolske udtryk, kan der være mange ting på spil. Der er for eksempel stor forskel på følgende to situationer, hvor man ser på udtrykket for arealet af en cirkel $A=\pi\cdot r^2$:

1. Man kender værdien af $r$, som indsættes, hvorefter man beregner $A$
2. Man kender arealet $A$ og skal bestemme hvilken radius $r$ cirklen så må have

Ifølge Janvier (kilde 1) er det i den første situation, at udtrykket for cirklens areal er en formel. Han definerer:

Altså hvor man sætter ind og regner ud.

Bruger man derimod udtrykket $A=\pi\cdot r^2$  som i situation 2), er det i stedet en ligning, for her skal der først foretages en omformning, dvs. man regner på ukendte tal, før radius kan bestemmes ved direkte beregninger – med en anden formel $r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ . I Janviers definition er det altså afgørende, hvad man gør ved det symbolsk udtryk, for at det opfylder kravet til at være en formel.

Som matematiklærer vil man måske undre sig over, hvorfor det giver mening at skelne mellem formler og ligninger. Formler er jo blot ligninger, der er løst, altså hvor den ukendte størrelse er isoleret. Men hvis man lægger mærke til det, opdager man, at det for mange elever er en væsentlig større udfordring at skulle omforme en given formel end at anvende den ved direkte beregning. Når man bruger CAS-programmer i sin undervisning, vil man også opleve elever, der skriver solve($A = \pi\cdot32$), når de skal regne arealet af en cirkel ud. Det er et udtryk for at eleven blander de to processer, og dermed mangler forståelse for dem. (Se afsnittet: Elevernes blik på formler).

Janvier får dermed gjort opmærksom på de to meget forskellige processer, som indgår i de to situationer. Han fortæller samtidig, at det er vigtigt at arbejde med begge processer og at italesætte deres forskelle og sammenhæng, fordi færdigheder i den ene ikke automatisk fører til, at man kan klare den anden, og fordi forståelse netop kræver, at man har forstået sammenhængen.

I den daglige undervisning er det imidlertid ikke nemt først at skulle overveje, hvordan et udtryk skal bruges på et senere tidspunkt, før man beslutter om det skal kaldes for en formel! Et bud på en mere operationel definition findes i (kilde 2), hvor Schou og Bikner-Ahsbahs giver en noget bredere definition af en formel, der tager hensyn til, at formler kan opfattes og behandles på forskellige måder. Denne definition er oprindelig givet for formler, der beskriver rumfang og overfladearealer for rumlige figurer, men den kan generaliseres til andre matematiske områder. Hvis man formulerer den, så man bruger de samme ord som Janvier og lader formlerne beskrive en generel kontekst, lyder definitionen:

Udtrykket for arealet, $A=\pi\cdot r^2$ , er altså både en formel, når $r$ er kendt, og $A$ skal bestemmes, og omvendt hvis $A$ er kendt, og man skal bestemme $r$. Og så slutter det faktisk ikke her, for udtrykket kan benyttes til mere endnu! For eksempel kan man bruge udtrykket til at undersøge, hvordan arealet vokser med voksende radius, altså en form for funktionsforståelse af udtrykket. Også i dette tilfælde kalder man udtrykket en formel.

Med ovenstående definition er det ikke længere, hvordan man bruger udtrykket, der bestemmer om noget er en formel, men derimod at der er en form for kontekst eller alternativ repræsentation. Det betyder, at mange flere af de udtryk, som vi i undervisningen i daglig tale kalder formler, er inkluderet. Til gengæld er det ekstra vigtigt, at man som lærer er opmærksom på, at arbejdet med formler trækker på flere forskellige processer se Elevernes "blik" på formler. Det gør det nødvendigt at tydeliggøre de forskellige måder, man kan arbejde med formler på, så eleverne får mulighed for at anvende dem fleksibelt, når de laver matematik.

Når man åbner en formelsamling, kan man få fornemmelsen af, at alle symbolske udtryk er formler. Lige meget om man bruger den ene eller den anden af de to definitioner, nævnt tidligere, er dette dog ikke tilfældet. Her vil vi se på forskellige udtryk, der findes i mange formelsamlinger, og undersøge om de opfylder definition 2, og dermed er en formel i denne forstand. Når udtrykket ikke er en formel, vil vi kategorisere dem efter de typer, som er beskrevet i afsnittet Symboler og symbolske udtryk.

Man kan gøre mange forskellige ting med en formel, og det er afgørende for, hvordan man opfatter eller ”ser” den. Schou og Bikner-Ahsbahs har undersøgt, hvordan elever ser på formler gennem et undervisningsforløb, hvor eleverne arbejdede med overflade- og rumfangsformler for rumlige figurer som fx kasse, cylinder, kegle m.m. (kilde 2). Eleverne havde 3D-print af figurerne, bøger, computer, digitale visualiseringer m.m. til rådighed, og de blev bedt om at tegne, indføre symboler, opstille, forklare og benytte formlerne. Herfra kunne man identificere 6 forskellige måder eleverne opfattede formlerne på, som man kan kalde deres ”blik” på formlen. Se Eksempel: rumlige figurer. De 6 forskellige blik er beskrevet her:

Når elever arbejder med formler, vil de uvægerligt komme til at se på dem på en bestemt måde. Men samtidig er netop det blik de får på formlen afgørende for hvad de kan gøre med den! 

Når en elev opfatter en formel som en identifikation, kan det give problemer. For hvad kan man gøre med en formel, som blot fungerer som et navn? Ikke ret meget! Formlen ses som et samlet symbol, så man kan ikke omforme den, eller indsætte tal i den. Tag for eksempel en elev, der forstår formlen V=h·G som identisk med en kasse. Møder eleven formlen for volumen af en cylinder, der også kan skrives som $V=h\cdot G$, vil vedkommende fejlagtigt også opfatte cylinderen som et prisme.

Et andet sted, der ofte giver eleverne problemer, er ved omformning af formler. Hvis eleven ser eller måske selv har opstillet en formel for overfladearealet af en cylinder med bund og top, fx $A=2\pi r\cdot h+2\cdot\pi r^2$, kan eleven godt se, at udtrykket er forskelligt fra det i bogen eller formelsamlingen, $A=2\pi r(r+h)$, men uden ligningsblikket, der tillader at en formel kan omformes, har eleven ingen chance for at erkende, at det er den samme formel. For eksempel kan eleven opfatte formlen som en opskrift, hvor man skal indsætte talværdier, og når man ingen tal har, kan eleven slet ikke gøre noget ved formeludtrykket.

Der er mange andre ting, der kan gå galt. I kommunikationen mellem to elever (eller mellem lærer og elev), kan man komme til at tale helt forbi hinanden, fordi det er to forskellige blik, der er på spil. I nogle tilfælde opfatter eleverne i deres samtale slet ikke, at de har forskelligt blik, og at de benytter forskellige strategier for fx at løse en opgave. Eleverne arbejder helt parallelt, og vil ovenikøbet sommetider nå frem til samme resultat på nogenlunde samme tid. Men andre gange kan det give store frustrationer, at den ene elev ser på formlen på en måde, og behandler den derefter, hvor i mod den anden elev slet ikke kan forstå, hvad der sker, fordi vedkommende har et andet blik.

I arbejdet med matematiske formler, for eksempel når eleverne løser problemer eller modellerer, har man næsten altid brug for at kunne forstå en formel på flere måder (se Idéer til undervisning med formler). Lad os se på et simpelt eksempel.

I 1) er formlen en opskrift, hvor man indsætter de kendte værdier på højre side og finder resultatet. I 2) er det nødvendigt for eleven at kunne se formlen som en ligning, hvor man skal isolere $K_0$. I 3) skal man kunne læse mening ind i formlen, fx at man starter med $K_0$ kr. når $n = 0$, efter et år er beløbet steget til $K_0 + K_0\cdot r$ eller $K_0(1+r)$. Denne mening kræver, at man også har med-variationsblikket. Der er jo tale om en trinvis udvikling, hvor saldoen af det indestående beløb vokser med faktoren 1,06 hvert år. I formlen gentages denne proces hvert år $n$ gange. 
Eksemplet viser, at man her faktisk har brug for 4 forskellige blikke. Ofte (og det er nok især i gymnasiet), kan der være endnu flere forskellige blikke inden for samme opgave, og måske endda inden for samme spørgsmål, og så er det ekstra vigtigt, at man fleksibelt kan veksle mellem de forskellige blikke.