Opgave: Regnmåleren

Eleverne i en gymnasieklasse har i en periode arbejdet med rumlige figurer og integralregning. Opgaven ovenfor er en del af et modelleringsforløb, hvor de skal beskrive en regnmåler. Efter at have lagt sig fast på, at regnmåleren har form som en keglestub, får de opstillet en formel for dens rumfang.

I den konstruerede episode forsøger tre gymnasieelever, Kaja, Viktor og Anders, at skabe mening i deres løsning ved hjælp af digitale værktøjer.

Anders: "Vi skal finde ud af hvor højt vandet skal stå i regnmåleren, når den er halvt fyldt. Bare vi dog havde en i virkeligheden, så var det nemt nok!"

Kaja: "Vi må kunne bruge formlen for rumfang af en keglestub. Jeg finder den lige – se her:"
$V = {\frac{1}{3}}$ ⋅ π ⋅ $h$ ⋅ $(r^2 + R^2 + r ⋅ R)$

Viktor: "Det er selvfølgelig fint nok, men nu har vi lige arbejdet med integralregning og omdrejningslegemer. Tror I ikke, det er det, vi skal bruge?"

Kaja: "Nå, ja. Det er det nok. Hvordan finder vi så rumfanget?"

Viktor: "Hvis vi drejer den her rette linje om xaksen får vi en keglestub."
[Viktor skitserer en ret linje, der går gennem $(0,r)$ og $(h,R)$ ]. "Hjælp mig lige med at finde forskriften."

Anders: "Den skærer i $r$, så det må være $b$."

Kaja: "Og så går man $h$ ud og $(R - r)$ op, så hældningen er ${\frac{R - r}{h}}$

Viktor: "Okay. Forskriften er $f(x) = (R - r) ⋅ h ⋅ x +r$. "Den sætter jeg ind i integralformlen, og så giver Maple os løsningen": 

Kaja: "HVAD??? Det er overhovedet ikke det samme som den formel, jeg fandt."

Anders: "Det er da lige meget. Nu ved vi, hvordan vi skal regne rumfanget ud. Så kan vi også finde femtedelen, og hvis vi isolerer $h$, kan vi finde højden. Og så er vi færdige!"

Kaja: "Jeg synes nu det er mærkeligt, at det ikke er den samme formel? Kan vi ikke tjekke?"

Viktor: "Det er helt sikkert det samme!"

Anders: "Men hvordan vil du vise det? Skal vi sætte nogle tal ind?"

Viktor: "Det kan vi selvfølgelig godt, men så viser vi det jo ikke for ALLE tal!?"

Kaja: "Man kan da i al fald sætte noget uden for parentes. Se, π er det allerede, og både $3$ og $h$ er i begge brøker!

Viktor: "Ja, og $(R-r)$. Så er der faktisk kun $R^3$ og $r^3$ tilbage."

Kaja: "Jeg skriver det rigtigt op": $V = {\frac{π ⋅ h}{3  ⋅  (R - r)}} ⋅ R^3 - r^3$. "Hvis vi sammenligner, kan vi se at … øh."

Victor: "Det ligner altså lidt en kvadratsætning. Kan I huske den med $(R - r) ⋅ (R + r) = R^2 -  r^2$? Nu er det bare i tredje."

Anders: "Det ved jeg, hvordan man gør i Maple! Det hedder 'factor'. Viktor, skriv lige $R^3 - r^3$ og tryk på 'factor', så skriver den det som et produkt."

Viktor:  "Okay" (skriver):

Kaja: "Wauw. Og det passer. Se $(R - r)$ går ud med $(R - r)$ og så har vi præcis min formel! Men … hvordan kunne man vide, at det kunne skrives sådan med 'factor'?"

Viktor: "Det ved jeg ikke, men vi kan i hvert fald gange parenteserne sammen, og se om det passer. Og det er jo lige så godt."

Fællesgørelse

Læreren kan her vælge at bringe de tre elevers overvejelser og diskussion omkring anvendelsen af mulige formler til deres løsningsforslag til fælles diskussion i klassen på den fælles skærm. Hvad er det fælles ved de forskellige udtryk?