Den følgende beskrivelse om ræsonnementer, beviser og bevisførelse i forbindelse med Detektionstest 2 bliver noget mere kortfattet end den foregående om begrebsdannelse og Detektionstest 1. Dette skyldes, at ræsonnementer, beviser og bevisførelse allerede er behandlet i et andet NCUM-tema til gymnasiet [se tema]. Læseren opfordres derfor til at orientere sig i dette tema som supplement til nedenstående behandling.
Som beskrevet i NCUM-temaet til gymnasiet om ræsonnementer i matematik, har et matematisk ræsonnement primært til formål at godtgøre en matematisk påstand af en eller anden art, hvilket finder sted ved hjælp af en kortere eller længere kæde af argumenter, der tilsammen leverer støtte for påstanden. Under særlige omstændigheder kan formålet med et matematisk ræsonnement også være at afkræfte en ugyldig påstand. Fælles for matematiske ræsonnementer er, at de hviler på et sæt af præmisser, som tages for givet. Disse præmisser skal kombineres således, at der kan drages logiske slutninger, som hver skaber et argument på vej til godtgørelsen af den givne matematiske påstand.
Ræsonnementskompetencen er selvsagt i centrum, når det gælder det at ræsonnere matematisk. Som de andre kompetencer i KOM har denne to sider. For det første et udførende (eller produktivt) aspekt, som består i selv at være i stand til at godtgøre (eller afkræfte) matematiske påstande. Dette dækker såvel påstande af almen (teoretisk) art som enkeltstående problemstillinger og matematiske påstande, der optræder i sammenhæng med matematisk modellering. Det handler altså om selvstændigt at udtænke og realisere strategier til gennemførelse af matematiske ræsonnementer rækkende fra uformelle, heuristiske skitser til egentlige beviser. For det andet dækker kompetencen det analytiske aspekt, som består i at kunne forstå, analysere og vurdere allerede foreliggende forslag til matematiske ræsonnementer. Heri indgår evnen til at afklare status for et givet ræsonnement, fx om der er tale om et (korrekt) bevis for en påstand, en løsere form for ræsonnement, eller om hvorvidt et givet ræsonnement er ugyldigt. Fra praksis og fra forskningen ved vi, at selv om både det udførende aspekt og det analytiske aspekt rummer udfordringer for elever, så er udfordringerne ved det udførende aspekt sædvanligvis størst.
Nogle matematiske påstande omhandlende en større klasse af situationer ophøjes til teoremer (sætninger), og disse kræver et mere formelt ræsonnement til godtgørelse af deres gyldighed, et såkaldt bevis. Så selv om matematiske ræsonnementer spænder bredt over mange typer af godtgørelser i mange situationer (fx problemløsning og matematisk modellering), så står beviset stadig centralt i matematikken og opbygningen af denne. Derfor er det også væsentligt for elever at have kendskab til, kunne skelne imellem og gøre brug af forskellige bevistyper og -metoder når dette er påkrævet; herunder direkte beviser, modstridsbeviser (også kaldet indirekte beviser) og induktionsbeviser (se Ræsonnementer i matematik for en mere grundig gennemgang og eksempler). Centralt for matematiske ræsonnementer er også modeksemplets rolle. Ofte har elever svært ved at begribe, at ét modeksempel kan skyde et forslag til en generel matematisk påstand i sænk, når ét eksempel modsat oftest er helt utilstrækkeligt til at godtgøre en (generel) påstands gyldighed, medmindre der er tale om et eksistensudsagn. Endelig kan nævnes, at matematik som disciplin er særegen derved at den også undertiden formulerer og beviser såkaldte “umulighedssætninger” – fx umuligheden af at finde et rationalt tal, hvis kvadrat er $2$ eller en løsning til ligningen $38x + 72 = 38x$ (se Detektionstest 1).
I Detektionstest 2 – “23 spørgsmål fra professoren” – er der bevidst skruet ned for det teknisk-matematiske niveau for bedre at kunne zoome ind på kernen i elevers potentielle vanskeligheder ang. det matematiske ræsonnement. Det er velkendt, at de tekniske sider af matematikken undertiden kan “spænde ben” for elever og studerende i deres arbejde med ræsonnementer og beviser. For eksempel kan det pludselig halte med løsningen af en andengradsligning i et mindre delargument i et længere matematisk bevis for noget helt andet, hvorfor eleven måske går i stå og ikke kan følge beviset til ende. Sådanne situationer har vi så vidt muligt tilstræbt at undgå.
En væsentlig teoribygning for matematisk ræsonnement omhandler de såkaldte overbevisningsskemaer (Harel & Sowder, 2007), dvs. hvad der for en person (eller et fællesskab) skal til, for at man er overbevist om korrektheden af en matematisk påstand. Disse overbevisningsskemaer falder i tre klasser (med underklasser).
Den første består af, hvad Harel og Sowder kalder eksterne overbevisningsskemaer. Disse kan manifestere sig som: et autoritativt overbevisningsskema, fx at noget anses for sandt, fordi læreren, lærebogen eller en anden autoritet siger det; som et ritualiseret bevisskema, fx at et geometrisk bevis i amerikanske lærebøger skal have et særligt to-kolonne format; eller som et ikke-referentielt symbolsk overbevisningsskema, fx at et bevis skal indeholde symboler og symbolske manipulationer.
Den anden klasse består af empiriske overbevisningsskemaer, som enten er induktive overbevisningsskemaer, fx at man bliver overbevist af et eller flere specifikke empiriske eksempler eller af, hvad der opfattes som et “afgørende” generisk eksempel, eller perceptuelle overbevisningsskemaer, fx når en formodning valideres på baggrund af rudimentære mentale billeder, der består af perceptioner og en koordinering af perceptioner, mens man mangler evnen til at transformere eller forudsige resultatet af en transformation.
Endelig består de deduktive overbevisningsskemaer af dem, vi kender fra videnskabsfaget matematik, såsom direkte beviser, herunder aksiomatiske beviser, modstridsbeviser, induktionsbeviser, kombinatoriske beviser osv. – alle styret af logisk deduktion ud fra et lokalt eller globalt sæt af præmisser.
Lad os nu se på et eksempel fra Detektionstest 2 (Link til Detektionstesten).
Spørgsmål:
Aya og Ali betrager tallene $3$ og $11$. De bemærker, at deres sum ($3+11$) er et lige tal, mens deres produkt $(3 \cdot 11)$ er et ulige tal.
Aya siger: "Hvis summen af to heltal er lige, så er deres produkt ulige."
Ali siger: "Hvis produktet af to heltal er ulige, så er deres sum lige."
Er indholdet i Ayas og Alis udsagn det samme?
Løsning:
(1) Man skal opfatte, at Aya og Ali fremsætter to implikationer ("summen af to heltal er lige $\Rightarrow$ produktet af dem er ulige" og "produktet af to heltal er ulige $\Rightarrow$ summen af dem er lige") på baggrund af et konkret eksempel, hvor summen er lige og produktet er ulige. Man skal endvidere opfatte, at man anmodes om at tage stilling til, om de to implikationer udsiger det samme eller ej, ikke om en af dem eller de begge er sande.
(2) Den matematiske substans, her heltalsaritmetik, spiller kun en mindre rolle for spørgsmålet.
(3) Den logiske struktur i løsningsræsonnementet er dels, at de to implikationer er hinandens omvendte og dermed i udgangspunktet forskellige. Alligevel kunne de indgående udsagn godt tænkes at have samme sandhedsværdi. Konkret er dette ikke tilfældet, eftersom den første implikation er falsk (summen af $2$ og $4$ er lige, men deres produkt er lige og altså ikke ulige), mens den anden er sand (hvis et produkt af to heltal er ulige, er begge tallene ulige – var et af dem lige, var også produktet lige – hvorved deres sum er lige).
Det er substansen, der afgør, om to modsatte implikationer har samme sandhedsværdi eller ej. I det konkrete tilfælde falsificeres den første implikation ved hjælp af et modeksempel, mens verificeringen af den omvendte implikation kræver et generelt matematisk argument, à la det ovenstående.
Det typiske fejlsvar ved denne opgave er, at (ret mange af) eleverne svarer, at de to udsagn udsiger det samme. Hovedforklaringen på dette fejlsvar er, at eleverne ikke er opmærksomme på, at den logiske struktur af en sætning er bestemmende for dens indhold og dermed for dens sandhedsværdi. I samtaler siger sådanne elever ofte, at der blot er tale om to forskellige måder at udtrykke det samme på. De forbinder altså de to led i hvert af udsagnene uden at forholde sig til betydningen af ”hvis-så”-relationen.
til: GYMNASIER
emne: DETEKTIONSTEST TIL GYMNASIET
UDGIVET: 2025