Beskrivelsen om modeller og modellering i forbindelse med Detektionstest 3 er ligesom den foregående om ræsonnementer noget mere kortfattet. Også dette skyldes, at modeller og modellering allerede er behandlet i et NCUM-tema til gymnasiet [se tema om Matematisk modellering]. Læseren opfordres derfor til at orientere sig i dette tema som supplement til nedenstående behandling.
Som beskrevet i det pågældende tema, består modellering grundlæggende i at behandle ekstra-matematiske problemstillinger ved at udvælge relevante elementer i et foreliggende ekstra-matematisk domæne og dernæst at oversætte dem til elementer i et matematisk domæne, som antages at være brugbart til formålet. Disse ekstra-matematiske elementer omfatter såvel objekter og deres egenskaber som relationer mellem disse, forudsætninger og antagelser om disse objekter og deres relationer, såvel som en formulering af de ekstra-matematiske spørgsmål, man ønsker svar på. Denne oversættelse sker ved, at man i det matematiske domæne udpeger matematiske objekter til repræsentation af de ekstra-matematiske objekter, der tages i betragtning, såvel som relationer mellem disse. Dette arbejde omfatter således også en opstilling af matematiske forudsætninger og antagelser herom såvel som en oversættelse af de stillede ekstra-matematiske spørgsmål til matematiske spørgsmål.
Matematisk modellering og modeller trækker selvsagt i særdeleshed på modelleringskompetencen, som er beskrevet i større detaljer i ovenfor nævnte tema om Matematisk modellering. Det vigtige at nævne her er, at detektionstesten således både berører aspekter af den analyserende side af kompetencen (dvs. at analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller samt at bedømme deres rækkevidde og holdbarhed, incl. eventuel afmatematisering ifm. modellerne) og den udførende side (dvs. at kunne udføre aktiv modelbygning, herunder at bringe matematik i spil og i anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv). Den udførende side af kompetencen dækker over at kunne gennemføre samtlige af de forskellige processer i den såkaldte modelleringscyklus.
Detektionstest 3 omfatter “13 spørgsmål fra professoren” – altså et noget lavere antal end de to foregående test, hvilket skyldes den mere komplekse natur af modelleringsopgaver og relaterede spørgsmål. Ligesom i Detektionstest 2 er det teknisk-matematiske niveau nedtonet i testen (således er der hverken avancerede begreber, krævende udregninger eller – fx – differentialligninger i spil), hvilket igen skyldes, at formålet er at detektere elever, som har udfordringer med modeller og modellering, ikke med matematikpensum. De 13 spørgsmål er en blanding af opgaver som tester udvalgte dele af modelleringscyklussen (en såkaldt atomistisk tilgang til modellering) eller i enkelte tilfælde hele cyklussen (en såkaldt holistisk tilgang). En håndfuld af spørgsmålene i detektionstesten er frigivne PISA-opgaver, da PISA jo netop tester elementer af matematik i anvendelse, herunder aspekter af matematisk modellering. Vi opremser for god ordens skyld disse sammen med deres unikke PISA-nummerering, således at læsere kan orientere sig i materialer fra PISA – en guldgrube ift. gennemtestede matematikopgaver: Spørgsmål 2 (“Sauce” – PM924Q02); spørgsmål 8 (“Pizza” – M154Q01); spørgsmål 9 (“Selling newspapers” – PM994Q03); spørgsmål 10 (“Swing” – M472Q01); spørgsmål 12 (“Heartbeat” – M537Q01); spørgsmål 13 (“Car drive” – M302Q01). Spørgsmål 5 (“Højde af bygning”) er gennemgået i stor detalje i NCUM temaet om modellering [ref. til tema]. Ydermere foreligger der analyser af 315 elevbesvarelser fra danske gymnasieelever til spørgsmålene 1, 5, 6, 7, 8, 11 (Jankvist & Niss, 2020) såvel som spørgsmål 4 (Jankvist & Niss, 2021), som er en modelleringsversion af det i litteraturen vidt beskrevne såkaldte “student-professor problem”. PISA-opgaven (spørgsmål 8) om “værdi for pengene” af en pizza er imidlertid særligt illustrativ ift., hvad der er på færde. Link til Detektionstest 3.
Spørgsmål:
Et pizzeria serverer to runde frokostpizzaer af samme slags og tykkelse, men i forskellig størrelse. Den mindste har en diameter på $30$ cm og koster $30$ kr. Den største har en diameter på $40$ cm og koster $40$ kr. Hvilken pizza giver mest for pengene? Vis, hvordan du kom frem til dit resultat.
Løsning:
Vi fortolker ordene “samme slags” til at betyde, at toppingen på de to pizzaer er identisk og homogent sammensat og fordelt med samme tykkelse over pizzaoverfladerne. Dette betyder, at “mængden af pizza” i de to tilfælde bestemmes af pizzaernes volumen. Da det siges, at pizzaerne har samme tykkelse, bestemmes mængden faktisk af pizzaernes areal. Med andre ord defineres værdien for pengene for hver pizza som areal/pris. Arealet af den mindre pizza gives ved $\pi \cdot 15^2$ (cm2), og arealet af den større pizza ved $\pi \cdot 20^2$ (cm2), hvor radiusværdierne følger af de angivne værdier for diametrene. Værdien for pengene af de to pizzaer er således henholdsvis $\frac{\pi \cdot 15^2}{30}$ og $\frac{\pi \cdot 20^2}{40}$, med enheden cm²/krone. Da $\frac{\pi \cdot 15^2}{30} = \frac{15}{2} \cdot \pi < 10 \cdot \pi = \frac{\pi \cdot 20^2}{4}$, giver den større pizza mest for pengene.
Men hvor går det så typisk galt for eleverne? I hovedsagen er der tre overordnede fejltyper i elevernes svar til pizza-opgaven.
Type 1 består i, at eleven ikke opfatter ordene “samme slags og tykkelse” som et billede af homogenitet i de to pizzaers masse, eller at eleven ikke har en forståelse af “mest pizza for pengene” som betydende “størst mængde pr. enhedspris” (eller “minimumspris pr. enhedsmængde”), eller giver et svar uden at angive begrundelser, eller fremsætter irrelevante overvejelser.
Type 2 består i, at eleven ikke er i stand til – måske på grund af en påvirkning fra fejl af type 1 – matematisk set at beskrive situationen tilfredsstillende, først i form af forholdet pris/volumen (eller omvendt) – hvor vægt udelades på grund af antaget homogenitet – og derefter i form af pris/areal (eller omvendt) for de to pizzaer, givet at de har samme tykkelse, hvorved mængden kan matematisk repræsenteres ved arealet. Disse elever har en tendens til fejlagtigt at repræsentere mængden af en pizza ved dens diameter (eller omkreds), hvorfra de uden videre konkluderer, at begge pizzaer giver samme mængde pizza for pengene.
Type 3 består i, at eleven i princippet foretager en tilfredsstillende matematisk beskrivelse af situationen, men er ikke i stand til at udføre en tilfredsstillende matematisk behandling, enten fordi han eller hun ikke kender eller ikke kan anvende formlen for arealet af en cirkel, eller laver forkerte beregninger af forholdet areal/pris eller pris/areal, eller drager forkerte konklusioner baseret på sådanne forhold.
I vores forskningsstudie af de 315 danske gymnasieelever (Jankvist & Niss, 2020) identificeres såvel analytisk som empirisk de mest betydningsfulde “snublesten” inden for modellering, med særlig fokus på de læringsvanskeligheder, som populationen oplevede og udviste i forbindelse med at komme i gang med de relativt idealiserede modelleringsopgaver i Detektionstest 3. Resultaterne viste, at et betydeligt antal elever havde svært ved at acceptere eller forstå modelleringsopgaver, der synes at bryde den standardiserede didaktiske kontrakt i dansk gymnasiematematikundervisning. Desuden viste studiet – i højere grad end erkendt i tidligere forskning – at præ-matematisering er en væsentlig snublesten i modellering, hvilket også medvirker til den bedre kendte udfordring, at matematisering i sig selv er en, måske den, kritiske barriere i matematisk modellering. Undersøgelsen viste yderligere, at utilstrækkelig eller manglende såkaldt iværksat foregribelse er en væsentlig faktor bag disse vanskeligheder (iværksat foregribelse består i, at man i et givet stadium af modelleringsprocessen skal foregribe, hvor man bliver bragt hen ved at realisere de ideer man har, jf. Matematisk modellering). Da der imidlertid ikke var nogen indikation af, at eleverne havde alvorlige problemer med deres teknisk-matematiske vidensbase (fx matematiske begreber og formler) i arbejdet med de seks udvalgte opgaver fra Detektionstest 3, må snublestenene ligge i selve det grundlæggende ved at underkaste ekstra-matematiske situationer matematisk modellering.
til: GYMNASIER
emne: DETEKTIONSTEST TIL GYMNASIET
UDGIVET: 2025