Detektionstest 1 - Begreber og begrebsdannelse i matematik
Al matematik handler om matematiske begreber, deres karakter, egenskaber, indbyrdes relationer, repræsentationer og anvendelse. I videregående matematik indføres nye begreber ved hjælp af definitioner, som på præcis og udtømmende vis specificerer, hvad der skal til, for at et matematisk objekt falder ind under begrebet. Besidder objektet alle de definerende træk, falder det ind under begrebet; ellers ikke. En definition specificerer altså et begreb såvel som dets omfang.
I skolematematik er det imidlertid langtfra alle begreber, der indføres ved hjælp af en definition. I stedet indføres de ofte ved hjælp af en kort sproglig karakteristik, ved et eller flere eksempler, eller ved at pege på nogle handlinger udført på eller ved hjælp af begrebet. Fx er det ikke ualmindeligt at indføre begrebet “ligning” i løs vægt, ved hjælp af et par eksempler ledsaget af en anvisning på en metode til at bestemme “den” ubekendte, derefter måske suppleret af flere eksempler. Meget få – om overhovedet nogen – danske elever har først stiftet bekendtskab med ligningsbegrebet gennem en definition. Andre begreber indføres ved at pege på en genstand og samtidig navngive den, fx en geometrisk figur som en tre- eller firkant, et kvadrat, rektangel, en vinkel, en cirkel osv. Man kunne også nævne talbegrebet, som udelukkende indføres, og siden udvides, ved udpegning og navngivning, eller funktionsbegrebet, som typisk bliver indført ved eksempler (på lineære funktioner, potensfunktioner, eksponential- og logaritmefunktioner, etc.) ledsaget af en kommentar i stil med “læg mærke til, at der til en given $x$-værdi findes én og kun én $y$-værdi”.
Om diverse teoridannelser af relevans for matematisk begrebsdannelse
Hvis begreber, som sædvanen er i skolematematik, indføres uformelt gennem eksempler og erfaringer fra omgangen med dem, bliver den kognitive begrebsdannelse hængt op på de oplevede eksempler og de gjorte erfaringer. Det gælder ikke mindst begrebets egenskaber og omfang. Muntert sagt sker begrebsdannelsen derved gennem en kombination af hypnose og osmose, som vi nu og da kalder “hypnosmose”. Omfanget af et således indført begreb bestemmes først og fremmest af samlingen af eksempler på begrebet, som eleven har mødt. De bidrager på afgørende måde til elevens begrebsbillede.
Tall & Vinner: Begrebsbillede og begrebsdefinition
I gymnasiet indføres visse begreber imidlertid også nu og da ved mere eller mindre udtømmende definitioner. Er der tale om et begreb, som også tidligere er blevet indført ad uformel vej, fx brøkbegrebet, kan der hos en elev let opstå en konflikt mellem det allerede dannede begrebsbillede og den “nye” begrebsdefinition, der jo selv giver anledning til sit eget begrebsbillede. Denne konflikt mellem begrebsdefinition og begrebsbillede (Tall & Vinner, 1981) kan spænde ben for ganske mange aspekter af matematiklæring. Forskningen viser, at det ikke sjældent er begrebsbilledet, der vinder over begrebsdefinitionen, når begrebet er på dagsordenen eller skal bringes i anvendelse. Et markant eksempel på det er tallet $0$ (Jankvist & Niss, i review).
Skemp: Instrumentel- og relationel forståelse
Distinktionen mellem begrebsbillede og begrebsdefinition er imidlertid blot et af flere teoriapparater vedrørende begrebsdannelse. Vi nævner også Skemps (1976, 1979) distinktion (oprindeligt inspireret af den norske matematikdidaktiker Mellin-Olsen) mellem instrumentel og relationel forståelse. Instrumentel forståelse dækker over at vide, hvad man skal gøre i en given situation, hvorimod en elev med relationel forståelse også ved, hvorfor man skal gøre dette, og under hvilke betingelser det er muligt. Fx hvorfor man kan gange med den omvendte, når man skal dividere en brøk med en anden. Eller hvorfor der skiftes fortegn, når man “flytter” et led over på den anden side af lighedstegnet i en ligning. Eller hvorfor $-1$ ganget med $-1$ er $1$.
Sfard: Matematiske processer og matematiske objekter
Hvor Skemp adresserer en mere generel form for (matematisk) forståelse, adresserer Tall og Vinner specifikt matematisk begrebsforståelse. Ligeså gør Sfard (1991), idet hun ser på, hvordan matematisk begrebsdannelse finder sted. En hovedtese for Sfard – og flere andre forskere i matematikdidaktik – er, at matematiske processer og matematiske objekter er to sider af samme sag; man kan ikke tilegne sig kendskab til den ene uden den anden. Eller sagt med andre ord, det operationelle hænger sammen med det strukturelle og omvendt, omend det operationelle ofte går forud for det strukturelle i tilegnelsesprocessen. Fx kunne man historisk set godt regne med komplekse tal ifm. ligningsløsning, selvom man ikke anerkendte dem som egentlige tal. Vejen til matematisk begrebsdannelse går for Sfard gennem et hierarki af tre stadier. Internalisering (at “tage noget til sig”) er det første. Her opbygges en intern repræsentation af en handlingsorienteret beherskelse af en proces. Det bliver muligt for en elev at tænke sig processen udført uden faktisk at gøre det. Kondensering (“fortætning”) er den næste. Den pågældende proces begribes gradvist som et hele. Det bliver muligt og meningsfuldt for eleven at referere til den samlede proces med et navn. Det er i denne fase, at eleven konstruerer et nyt begreb. Endelig er der reifikation (“tingsliggørelse”). Dette er en form for kvantespring i forståelsen af det nye begreb, hvor det pludselig bliver muligt for eleven at sammenfatte processen i et selvstændigt objekt. Dermed kan objektet beskrives ved dets forskellige egenskaber og det kan indgå i nye processer i samspil med andre objekter. Eleven kan derfor danne forbindelser mellem det nye begreb og andre begreber og fænomener. En egentlig reifikation af et begreb finder dog først, ifølge Sfard, sted når det tjener som input i et højereordensbegreb. Fx når talbegrebet kommer i spil som objekt i ligningsløsning eller funktionsbegrebet ifm. afledt funktion eller ved løsning af differentialligninger.
Duval: Matematiske repræsentationer
En indikator for kondensering er for Sfard evnen til at skifte mellem forskellige repræsentationer af et matematisk begreb. Duval (2006) behandler med sit rammeværk matematiske repræsentationer specifikt og påpeger, at disse er altafgørende for matematisk aktivitet, eftersom repræsentationerne er vores eneste adgang til matematiske begreber, hvorfor den egentlige forståelse af begreber sker i arbejdet med deres repræsentationer og skiftene mellem disse. Af særlig relevans for Detektionstest 1 er skiftene mellem tre af de såkaldte “semiotiske registre” som Duvals model behandler: skiftet mellem registret for naturligt sprog og registret for symboler og symbolholdigt sprog (herunder algebra); og skiftet mellem symboler og symbolholdigt sprog til registret for kartesiske grafer. Fx kunne vi have følgende “ligningshistorie” i registret for naturligt sprog: “Aya er $3$ år ældre end sin bror Ali. Tilsammen er de $23$ år. Hvor gamle er de?” Oversættelsen til registret med symboler vil se således ud: $x+(x+3) = 23$, hvor $x$ er Alis alder. Duval skelner mellem to former for transformationer ved skift mellem repræsentationer: såkaldte treatments (“behandlinger”), som finder sted inden for ét og samme register (fx løsning af $x+(x+3)=23$ for at finde $x=10$); og conversions (“omdannelser”), der finder sted imellem to forskellige registre. Sådanne omdannelser kan være kongruente (“overensstemmende”) eller ikke-kongruente. Fx er ligningssituationen ovenfor et eksempel på sidstnævnte, da skiftet fra registret med naturligt sprog giver anledning til én og samme ligning, mens et skift den anden vej kan give anledning til et utal af forskellige ligningshistorier beskrivende vidt forskellige extra-matematiske situationer. Som et andet eksempel, lad os tage Duvals eget. En kongruent omdannelse af forskriften for en lineær funktion til dens tilhørende graf i et koordinatsystem volder stort set ingen problemer for en klasse af 15-16 årige elever. Beder man imidlertid eleverne om at gå den anden vej, altså ud fra en given graf, at opskrive forskriften for den lineære funktion svarende til grafen, så er det i tilfældet $y=2x$ kun $25%$ af eleverne, der kan svare korrekt (Duval, 2006).
Det er klart, at de matematiske kompetencer beskrevet i KOM-rapporten (Niss & Jensen, 2002) også er i spil her. Særligt selvfølgelig kompetencen angående repræsentationer såvel som symbol- og formalismekompetencen. Repræsentationskompetencen omfatter evnen til at forstå og anvende forskellige repræsentationer af matematiske objekter, fænomener og problemer (fx symbolske, visuelle, geometriske, grafiske, tabelmæssige eller konkrete). Den indebærer også at kunne se forbindelser mellem repræsentationerne, forstå deres styrker og svagheder, samt vælge og oversætte mellem dem afhængigt af situation og formål. Dertil kommer en forståelse af potentielle informationstab eller -tilvækster, der kan være ved at skifte mellem forskellige repræsentationer. Af ganske særlig betydning i matematik er selvfølgelig symbolske repræsentationer. Derfor er repræsentationskompetencen tæt knyttet til symbol- og formalismekompetencen. Besiddelse af denne kompetence indebærer evnen til at afkode symbol- og formelsprog, oversætte mellem matematisk symbolisme og naturligt sprog samt arbejde med symbolske udsagn og formler. Derudover omfatter den forståelse af formelle matematiske systemer (i symbolsk form eller ej), såsom aksiomatiske teorier, og deres “spilleregler”. Modsat repræsentationskompetencen er der her særligt fokus på symbolernes karakter, status og betydning såvel som på selve håndteringen af disse, herunder reglerne herfor. Bemærk at matematiske symboler omfatter både avancerede specialsymboler og grundlæggende tegn som tal og symboler for regneoperationer. Symbolbehandling dækker derfor ikke kun bogstavregning, calculus og lignende, men også de formelle aspekter af elementær regning. Endelig er matematisk tankegangskompetence også i spil, når det handler om matematiske begreber og begrebsdannelse. Dette fordi kompetencen bl.a. omfatter: at kende, forstå og håndtere givne matematiske begrebers rækkevidde (og begrænsning) såvel som deres forankring i diverse domæner; at kunne udvide et begreb ved abstraktion af egenskaber i begrebet; i at kunne forstå hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater; og i selv at kunne generalisere sådanne til at omfatte en større klasse af matematiske objekter. (For en diskussion af tankegangskompetencen ift. matematisk ræsonnement, se tema).
Om Detektionstest 1
Detektionstest 1 – “57 spørgsmål fra professoren” (Niss & Jankvist, 2014) – har bl.a. til formål at afdække elevers begrebsbilleder, begrebsdefinitioner og begrebsforståelse over for forskellige matematiske begreber samt omgangen med dem inden for diverse matematiske felter, såvel som elevernes evne ift. repræsentationsskift samt deres greb om matematisk notation. De matematiske begreber der er i spil i Detektionstest 1 omfatter bl.a. talbegrebet (herunder særligt tallet $0$) samt brøkbegrebet, ligningsbegrebet og funktionsbegrebet. Herudover testes for forståelse af procentbegrebet og lighedstegnet, brug og navngivning af variable og ubekendte (kan de fx hedde andet end “$x$”?), samt aspekter af matematiske konventioner. Flere af testspørgsmålene i Detektionstest 1 stammer fra den matematikdidaktiske forskningslitteratur på området (en egentlig optrevling af hvert enkelt spørgsmål vil gå for vidt her).
I det følgende vil vi illustrere elementer af testen gennem eksempler på autentiske elevsvar samlet på matematikvejlederuddannelsen. Mere præcist er 676 elevbesvarelser af udvalgte spørgsmål fra Detektionstest 1 fra uddannelsens første par år (en god blanding af 1.g, 2.g og 3.g fra forskellige gymnasieretninger over hele landet) blevet rettet og kodet (af Morten Elkjær ifm. en specialeafhandling). Af disse er der 405 besvarelser fra 1.g’ere, og det er disse vi tager udgangspunkt i herunder. Link til Detektionstest 1.
Eksempel – Spørgsmål 36 fra Detektionstest 1
Spørgsmål:
(a) Løs ligningen $-6x=24$
(b) Løs ligningen $6x=24$
Løsning:
(a) $x=\frac{24}{-6}=-4$
(b) $x=\frac{24}{6}=4$
Opgaven tester forståelsen af minustegnet og negative tal i ligninger. Elever der svarer “henholdsvis $x = -4$ og $x = 4$” eller noget ækvivalent, udviser ikke forståelsesvanskeligheder i denne sammenhæng. Svares der forkert på det andet spørgsmål, er der grund til at opsøge kilden til fejlsvaret. Svares rigtigt på det andet spørgsmål, men forkert på det første, fx “ingen løsning. fordi venstresiden er negativ og højresiden positiv” eller “$x = 4$”, antydes forveksling af fortegn med negativitet. Her vil det være af interesse at sammenholde med elevens svar på andre spørgsmål i testen (fx spørgsmål 7) med henblik på at lodde dybden af forvekslingen og i sidste instans forståelsen af begrebet negativt tal.
At fortegn og negativitet giver anledning til vanskeligheder, ikke mindst i forbindelse med løsning af simple ligninger, er velkendt fra den matematikdidaktiske forskningslitteratur (fx Vlassis, 2002; 2004). Ud af de 415 1.g’ere svarede 37% ikke korrekt på spørgsmål 36a. Nedenstående figur viser, at man i en sådan population kan finde eksempler på næsten alle tænkelige utilstrækkelige svar og fejlsvar.
Eksempel – Spørgsmål 37 fra Detektionstest 1
Spørgsmål:
For hvilke $x$ gælder: $38x+72=38x$?
Løsning:
Ingen løsning.
Opgaven tester ligningsbegrebet og begrebet løsning til en ligning samt forståelsen af lighedstegnet i en sammenhæng som vil komme bag på de fleste elever, fordi ligningen ingen løsninger har. Svares noget i stil med “der er ingen løsninger, fordi $72$ ikke er $0$”, antydes forståelse af, hvad i hvert fald denne ligning og en eventuel løsning til den går ud på. Svares “$x = 0$”, eventuelt efter at eleven er nået til “$72 = 0$”, bør det undersøges nærmere om eleven har tænkt, at løsningen til ligningen er det, der står tilbage på højresiden af lighedstegnet, når yderligere reduktioner ikke er mulige. Svares “det kan man da ikke” eller “det er umuligt at finde $x$” eller lignende, kan der være brug for yderligere undersøgelser for at nå frem til grundlaget for elevens svar.
Der er således flere ting på færde i denne opgave. At ligninger med $x$ på begge sider af lighedstegnet giver anledning til vanskeligheder er velkendt (Filloy & Rojano, 1989). Dertil kommer selvfølgelig, at danske elever måske sjældent præsenteres for ligninger som ikke har løsninger – eller har alle reelle tal som løsninger for den sags skyld (se fx spørgsmål 25). Fra litteraturen om elevers vanskeligheder med ligninger vides det også, at disse omfatter såvel det at forstå hvad en ligning er, som hvad en løsning til en ligning er (Kieran, 2007) (se fx også spørgsmål 33). Endelig tester vores spørgsmål 37 en grundlæggende ting angående den matematiske konvention, at $x$ står for det samme tal, hvor end det indgår i ligningen. Figur 2 nedenfor illustrerer den potentielle forvirring.
At spørgsmål 37 er et vanskeligt ét af slagsen, bekræftes af at 85% af vores 1.g’ere ikke besvarer det på tilfredsstillende vis.
Eksempel – Spørgsmål 17 fra Detektionstest 1
Spørgsmål:
Findes der nogen vædrier af $a$, således at $a^2=2a$? Ja/Nej
Løsning:
Der er tale om en andengradsligning i $a$, altså $(a-0)(a-2)=0$, som netop har de to løsninger $a=0$ og $a=2$, så præcis i tilfælde hvor $a$ har den ene af disse værdier gælder ligheden.
Opgaven tester begrebs- og konventionsforståelse af forskellen på betydningen af udtrykkene $a^2$ og $2a$ og de værdier de kan antage. Også variabel- og ligningsbegrebet testes. Gives svaret “nej”, er det tænkeligt, at fokuseringen på udtrykkenes form ligger bag. Om det er tilfældet, må undersøges nærmere. I den forbindelse kan man videre spørge, om der findes værdier af $x$, så $x^2=2x$. Svares der korrekt på det, antydes, at eleven får øje på et ligningsspørgsmål, når der opereres med $x$, men ikke når der opereres med $a$, dvs. at konventionerne vedrørende navne for variable, ubekendte og konstanter dominerer over forståelsen af deres rolle.
Svares ”ja” på spørgsmål 17 med uddybningen “hvis $a = 2$” eller “$a = 0$”, er eleven klar over, at de to udtryk kan antage forskellige eller ens værdier afhængigt af $a$’s værdi, mens det ikke er sikkert, at ligningsbegrebet er på banen. Det kan man tillade sig at antage, hvis der svares “ja, netop hvis $a = 2$ eller $a = 0$”. Dette spørgsmål har fejlprocenten 37% i den nævnte population af 1.g’ere.
Nogle afsluttende kommentarer til Detektionstest 1
Detektionstest 1 tilbyder en bred blanding af spørgsmål af forskellige sværhedsgrad, som også illustreret ovenfor. Én af de løbende tilpasninger af testen, mens matematikvejlederuddannelsen til gymnasiet blev udbudt, var nogle tilføjelser af mere basale opgaver. Eksempler herpå er spørgsmål 14 og 15, hhv. “Hvad er $x \cdot 0$?” og “Hvad er $x \cdot 1$?” I vores population svarede hhv. 19% og 18% forkert på disse spørgsmål. Et yderligere eksempel på et basalt spørgsmål, som dog var med fra begyndelsen, går på lighedstegnet – en udbredt snublesten for elever (fx Kieran, 1981) – og er spørgsmål 50: “Hvis $a = b$ er så $b = a$?” 14% svarede forkert på dette. Testen anvendt på populationer kan således i nogen grad være med til at vise, hvor man skal sætte ind overfor mere basale vanskeligheder og eventuelle misforståelser.
Til slut bør det bemærkes, at man ud fra et teoretisk synspunkt måske nok kan synes, at der er en del forskellige teoribygninger (og måske underliggende læringssyn) i spil i den nævnte forskningslitteratur ifm. omtalen af Detektionstest 1. Dette er vi fuldt bevidste om. Og det er med fuldt overlæg, da det vigtige ifm. matematikvejlederuddannelsen til gymnasiet var at tilbyde en bred vifte af fortolkningsmuligheder til de kommende vejledere i deres arbejde med at hjælpe elever med at overkomme de matematikspecifikke vanskeligheder de befandt sig i.
til: GYMNASIER
emne: DETEKTIONSTEST TIL GYMNASIET
UDGIVET: 2025