Hvorfor algebra i gymnasiet?
De gymnasiale læreplaner afspejler tydeligt algebras essentielle rolle i matematikundervisningen. På alle retninger (HTX, HHX, STX, EUX og HF) og niveauer er, at det er en del af mindstekravene, at eleven skal kunne ”udøve basal algebraisk manipulation” (Kilde 1). Elevernes algebraiske kunnen er afgørende for deres arbejde inden for de fleste emner af gymnasiematematikken. Det gælder fx ved brug af tretrinsreglen i differentialregning, og når algebrabegrebet udvides til også at omhandle vektorer, hvor regler for både addition og multiplikation får nye betydninger. Generelt er algebra et vigtigt redskab i matematikken, der tillader eleverne at opstille abstrakte udtryk og finde generelle løsninger (Kilde 2). Nedenfor udfoldes eksemplerne med differentialregning og vektoralgebra. I vid udstrækning forventes eleverne at beherske elementær algebra ved starten på gymnasiets undervisning, og algebra undervises derfor ikke nødvendigvis som et selvstændigt emne. Elevernes algebraiske færdigheder og forståelse bliver ofte tænkt til at udvikles og styrkes gennem brugen af algebra i andre matematiske emner. Resultater fra screeningstest i grundforløbet viser imidlertid, at mange elever har alvorlige udfordringer med elementær algebra, når de begynder (Kilde 3). Erfaringerne og resultater fra matematikvejlederes arbejde viser ydermere, at op mod en tredjedel af eleverne fortsat har udfordringer med algebra ved afslutningen af deres gymnasiale uddannelse (Kilde 4, 5 og 6). Derfor er det vigtigt, at man som matematiklærer er opmærksom på, hvornår og hvordan algebra indgår som forudsætning for elevernes læring, hvilke forskellige forståelsesmæssige udfordringer, der kan ligge bag elevernes vanskeligheder, og hvad der kan gøres i den daglige undervisning for at afdække og afhjælpe disse udfordringer. Sigtet med dette tema er at belyse problemfeltet ud fra matematikdidaktisk forskning på en måde, der kan give grundlag for udvikling af undervisningspraksis.
Algebra i differentialregning
En vidt udbredt fremgangsmåde, når der laves beviser for givne differentialkvotienter, er tretrinsreglen, der skal gøre grænseværdibegrebet mere håndterbart for eleverne, uden at det bliver eksplicit. Tretrinreglen består af de tre trin: 1. bestem differenskvotienten, 2. omskriv udtrykket og 3. bestem differentialkvotienten ved at lade $h\rightarrow 0$. Lad os betragte brugen af tretrinsreglen med eksemplet $f(x)=a \cdot x^2$. I trin 1 opstiller eleven udtrykket for differenskvotienten $a=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ for den givne funktion. Det vil sige
$a=\frac{a\cdot(x+h)^2-a\cdot x^2}{h}$
Problemet for dette udtryk er, at eleven ikke kan lade $h\rightarrow 0$ uden at dividere med 0. Derfor går eleven videre til trin 2, hvor eleven omskriver udtrykket. Dette består først og fremmest i at omskrive med første kvadratsætning, hvor elevens algebraiske færdigheder er afgørende. Ved omskrivning fås følgende udtryk
$a=\frac{a\cdot(x+h)^2-a\cdot x^2}{h}= \frac{a\cdot(x^2+h^2+2xh)- ax^2}{h}=\frac{ax^2+ah^2+2axh-ax^2}{h}=\frac{ah^2+2axh}{h}=ah+2ax$
Nu er eleven klar til trin 3, hvor eleven lader $h\rightarrow 0$ for $ah+2ax$, hvilket giver $2ax$. På baggrund af tretrinsreglen konkluderer eleven, at når $f(x)=ax^2$ så er $f'(x)=2ax$. For polynomier af anden eller højere grad vil der altid fremkomme mindst én kvadratsætning i tretrinsreglen. Det er derfor nødvendigt, at eleven selvstændigt kan håndtere disse. Generelt i arbejdet med tretrinsreglen er det essentielt, at eleven er i stand til at vurdere, hvilke algebraiske manipulationer der er nødvendige for, at h kan fjernes fra nævneren. Desuden vil eleverne have gavn af den distributive lov og dernæst brøkregneregler (se siden om taltricks).
For at motivere og illustrere de algebraiske manipulationer, som er nødvendige for at bestemme differentialkvotienten, kan der inddrages undersøgelser af sekanter via CAS-værktøjer i undervisningen (Kilde 7). Her kan eleven danne sig en intuition om, hvordan kontinuitetsbegrebet har afgørende betydning for, at de algebraiske manipulationer er meningsfulde.
Vektoralgebra
Vektoralgebra er en naturlig del af emnet om vektorer i gymnasiet. Her kan man som gymnasielærer gribe chancen for at dyrke og genbesøge algebraiske regneregler og deres rækkevidde, når man møder dem i undervisningen. Det er vigtigt at italesætte algebra og dens egenskaber, således at de ikke blot er repræsenteret ved en lang række ”træningsopgaver”. Dette bliver særligt væsentligt, når eleverne starter på emnet vektorer. I vektoralgebra nedbrydes velkendte algebraiske strukturer så som multiplikation, hvilket kan frustrere eller forvirre elever. I den forbindelse udvides arbejdet med algebraiske operationer til at afhænge af det objekt, de er tilknyttet, hvilket kan være meningsforstyrrende for nogle elever. Har eleverne ikke et tilstrækkeligt stærkt begrebsapparat på plads, risikerer man, at det bliver vanskeligt at lære. Derfor opstår et naturligt behov for at italesætte algebra og dens egenskaber. Dette kommer også helt konkret til udtryk i elevernes arbejde med længden af vektorer. Et eksempel er, hvordan elever undersøger sig ind på vektorbegrebet (både algebraisk og geometrisk), hvor de erkender, at når
$\overrightarrow{v_{samlet}}=c_1\cdot\overrightarrow{u_1}+c_2\cdot\overrightarrow{u_2}+\dots+c_n\cdot\overrightarrow{u_n}$
så gælder der, at
$\vert\overrightarrow{v_{samlet}}\vert=c_1\cdot\vert\overrightarrow{u_1}\vert+c_2\cdot\vert\overrightarrow{u_2}\vert+\dots+c_n\cdot\vert\overrightarrow{u_n}\vert$
I temaet om undersøgelsesbaseret matematikundervisning kan man finde en alternativ introduktion til vektorer, der lader eleverne opdage, at der følger nye regler med de nye objekter.
Som det ses ovenfor, udvides algebrabegrebet i gymnasiet til blandt andet at omhandle kvadratsætningerne og almindelige regneregler, og dermed er der behov for at udvide og hæve elevernes niveau inden for algebra. En forudsætning for dette kan være at eksplicitere brugen af algebra for eleverne i de sammenhænge, hvor algebraen alligevel forefindes i matematik på gymnasialt niveau, hvilket vil styrke elevernes mulighed for at opfylde mindstekravene. Foruden at eksplicitere brugen af algebra i andre domæner kan man aktivt arbejde med algebraiske manipulationer og argumenter gennem opgaver som taltricks.
Der vil typisk opstå situationer, hvor man som lærer oplever konkrete læringsvanskeligheder hos enkelte eller større grupper af elever, når man beder dem eksplicitere deres brug af algebra. Det kan med fordel tænkes som en invitation til at udvikle undervisningsaktiviteter, der søger at rette op på misforståelsen eller vanskeligheden. Nedenfor gives et konkret eksempel på dette.
Hvordan designer man sig ud af en læringsvanskelighed i algebra?
Forestil dig, at du har givet dine elever en årsprøve i matematik, hvor du har genbrugt tidligere eksamensopgaver. Dine elever har særligt vanskeligt ved opgave 3, som var genbrug af opgaven:
Opgave 2, 2019, stx b.
Reducerer udtrykket $(a+b)^2-b\cdot(2a+b)$
Du erindrer også, at opgaven gav mange problemer det år, den blev stillet til eksamenen. Du vil derfor gerne redesigne opgaven, så eleverne kommer til at forholde sig til brugen af algebraiske teknikker og argumenter. Du vælger derfor at trække på temaet om Teorien om Didaktiske Situationer. Du har ligeledes hørt om taltricks, men kender det ikke, så du spørger en kollega om hjælp. Vedkommende kommer tilbage med følgende aktivitet.
Arbejdet med taltricks
Det primære fokus for opgaven er at skabe en sammenhængende overgang fra at regne med de konkrete tal til abstrakte bogstaver og manipulation med disse. Derfor skal eleverne følge kommandoerne med valg af tal, hvorefter de skal opskrive udtrykket med bogstaver, manipulere disse og dermed komme frem til en generel løsning, der har reduktionen indbygget. I sådan et arbejde vil eleverne støde på, at nogle af de regneteknikker, som virker intuitive at udføre med tal, kræver en præcis notation med bogstaver og bevidsthed om regneregler, der dels aktiveres og dels udvikles. Denne type opgaver kan yderligere bidrage til at lette overgangen mellem grundskolen og gymnasiet. Se en større udfoldning af det konkrete eksempel og taltricks mere generelt her.
til: GYMNASIER
emne: ALGEBRA I GYMNASIET
UDGIVET: 2023
Forfattere
Milla Mandrup Fogt
Stud.Scient
IND og MATH på KU
Britta Eyrich Jessen
Adjunkt
Institut for Naturfagenes Didaktik, KU
Udgiver
Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer
Kilder
- Kilde 1: Læreplan Matematik B. (2017). Børne og Undervisningsministeriet (https://www.uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-laereplaner- 2017/stx/matematik-b-stx-august-2017-ua.pdf)
- Kilde 2: Algebra på tværs. NCUM (https://matematikdidaktik.dk/tema/algebra-paa-tvaers)
- Kilde 3: Jessen, B., & Winsløw, C. (2017). Matematikbroen: brobygning for elever gennem efteruddannelse for lærere. MONA(3), 39-59.
- Kilde 4: Niss, M. & Jankvist, U. T. (red.) (2016). Fra snublesten til byggesten: matematikdidaktiske muligheder. Frydenlund.
- Kilde 5: Niss, M. & Jankvist, U. T. (red.) (2017). Læringsvanskeligheder i matematik - hvordan kan de forstås og afhjælpes? Frydenlund.
- Kilde 6: Niss, M. & Jankvist, U. T. (2020). Matematikvejledning i gymnasiet - anvendelse af teori i praksis. Frydenlund.
- Kilde 7: Pedersen, Mathilde K. (2022): Processes of Mathematical Thinking Competency in Interactions with a Digital Tool (https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-031-10141-0.pdf?pdf=button%20sticky)