Lighedstegnet og ligningsløsningen

Tæt knyttet til elevernes algebraiske kompetencer er deres forståelse af lighedstegnet, der til tider bliver udfordringen ift. elevernes algebraiske evner. I de tidlige skoleår består udfordringer med lighedstegnet primært af at opbygge en relationel forståelse frem for en operationel forståelse af lighedstegnet. Et eksempel på de to forståelser kan man læse mere om under Kendte Overgangsproblemer. I udskolingen og i gymnasiet kan de fleste elever navigere i både den operationelle og relationelle forståelse, mens forskellige aspekter af den relationelle forståelse dog stadig driller (Kilde 1).

For at præcisere vores sprogbrug om lighedstegnet kan de forskellige forståelser inddeles i: instruks, ækvivalens, ligning og tildeling. De er alle uddybet i Lighedstegnet og de mange betydninger. Her dækker instruks over den operationelle forståelse. Ækvivalensbetydningen kan dog specificeres yderligere, da lighedstegnets ækvivalens både dækker over ”symmetrisk aritmetisk identitet” og ”formel ækvivalens” (Kilde 1). Symmetrisk aritmetisk identitet kendetegnes ved ligningsudtryk, der udelukkende indeholder tal, såsom $10^2-9^2=19$, mens formel ækvivalens er, når lighedstegnet optræder i ligninger, der gælder for vilkårlige variable. Det bemærkes, at særligt arbejdet med formel ækvivalens volder problemer for nogle elever (Kilde 1). Et andet vigtigt aspekt er, når lighedstegnet optræder som en ’kontekstuel identitet ved en formel’ som fx Pythagoras sætning, $a^2+b^2=c^2$, der kun gælder i en særlig sammenhæng eller for særlige 3-tupler. Når eleverne møder udtryk som $a^2+b^2=c^2$ og $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ skal de intuitivt kunne adskille de to udtryk, blandt andet ved at genkende, hvilke betingelser de hver især gælder under. Lighedstegnet bør derfor behandles eksplicit i undervisningen, således eleverne oparbejder et ordforråd for hvilke relationer, der gælder hvornår.

 Nogle af vanskelighederne med algebra i gymnasiet kan knyttes til en sammenblanding af elevers (og nogle gange læreres) brug af lighedstegnet eller syn på formler. Nedenfor præsenteres en sådan sammenblanding i brug af lighedstegnet.

Det kan være fristende at konkludere, at det er tydeligt, hvad der menes med lighedstegnet i eksemplet fra lærebogen. Det kan også være, at den løse og ukorrekte brug slet ikke bliver opdaget, fordi det ikke er lighedstegnet, der er i fokus, men snarere besvarelsen af opgaven. Lignende løs brug af lighedstegnet er kendt fra grundskolen, hvor lighedstegnet markerer en proces i mellemregninger i stedet for en ligevægt mellem to udsagn. Det kan blandt andet være i udregning af en besparelse på 20% på en telefon til 5699kr og en computer til 7799kr, som udregnes på følgende vis:

$7799+5699=\frac{13498}{100}⋅20=2699,60$

$13498-2699,6=10798,40 kr$

Tankegangen bag udregningerne kan argumenteres for at være korrekt, mens den forkerte brug af lighedstegnet er misvisende, idet $7799+5699\neq 2699,60$ (Kilde 4). Særligt det at løse ligninger, herunder betydningen af lighedstegnet, kræver en helt særlig opmærksomhed (Kilde 2). En måde at arbejde med dette kan være opgaven nedenfor, hvor eleverne eksplicit bliver bedt om at forholde sig til andres brug af lighedstegnet.

Ikke alene lighedstegnet og dets brug kan skabe vanskeligheder for eleverne, men også ufleksible prototyper af opfattelser af formler, kan hindre elevers algebraiske manipulationer med formler.

De forskellige betydninger nævnes ikke nødvendigvis eksplicit for eleven, men det er en forudsætning, at eleven intuitivt kan navigere frem og tilbage mellem dem for at løse opgaver korrekt. Nogle gymnasielærere erfarer, at deres elever helt udelader lighedstegnet i forbindelse med brug af formler eller besvarelser af opgaver. Dette kan fx være i forbindelse med beregning af hældningen for den rette linje, hvor $a=$ udelades, og det blot er brøken, som optræder i udregningen eller angivelsen af en forskrift som $x^2+4x$ uden $f(x)=$. Så selvom læreren måske kan se, at flere af lighedstegnets betydninger relaterer til hinanden eller har overlap, er det ikke nødvendigvis elevens perspektiv. Som lærer er det derfor vigtigt at sørge for, at eleverne får erfaring med alle prototyper af formler gennem deres gymnasietid. Ikke som et selvstændigt forløb, men som en generel fleksibilitet der opbygges og vedligeholdes gennem hele matematikforløbet.

Ved at italesætte lighedstegnet eksplicit som en ligevægt mellem to udsagn og ikke bare som en del af opskrivningen af en opgavebesvarelse, øges elevernes autonomi ift. algebraiske manipulationer. På tilsvarende vis kan aktiviteter, der understøtter de 7 prototyper af formler, øge dette som et mål for gymnasiets matematikundervisning (Kilde 3).