Lighedstegnet og ligningsløsningen

Tæt knyttet til elevernes algebraiske kompetencer er deres forståelse af lighedstegnet, der til tider bliver udfordringen ift. elevernes algebraiske evner. I de tidlige skoleår består udfordringer med lighedstegnet primært af at opbygge en relationel forståelse frem for en operationel forståelse af lighedstegnet. Et eksempel på de to forståelser kan man læse mere om under Kendte Overgangsproblemer. I udskolingen og i gymnasiet kan de fleste elever navigere i både den operationelle og relationelle forståelse, mens forskellige aspekter af den relationelle forståelse dog stadig driller (Kilde 1).

For at præcisere vores sprogbrug om lighedstegnet kan de forskellige forståelser inddeles i: instruks, ækvivalens, ligning og tildeling. De er alle uddybet i Lighedstegnet og de mange betydninger. Her dækker instruks over den operationelle forståelse. Ækvivalensbetydningen kan dog specificeres yderligere, da lighedstegnets ækvivalens både dækker over ”symmetrisk aritmetisk identitet” og ”formel ækvivalens” (Kilde 1). Symmetrisk aritmetisk identitet kendetegnes ved ligningsudtryk, der udelukkende indeholder tal, såsom $10^2-9^2=19$, mens formel ækvivalens er, når lighedstegnet optræder i ligninger, der gælder for vilkårlige variable. Det bemærkes, at særligt arbejdet med formel ækvivalens volder problemer for nogle elever (Kilde 1). Et andet vigtigt aspekt er, når lighedstegnet optræder som en ’kontekstuel identitet ved en formel’ som fx Pythagoras sætning, $a^2+b^2=c^2$, der kun gælder i en særlig sammenhæng eller for særlige 3-tupler. Når eleverne møder udtryk som $a^2+b^2=c^2$ og $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ skal de intuitivt kunne adskille de to udtryk, blandt andet ved at genkende, hvilke betingelser de hver især gælder under. Lighedstegnet bør derfor behandles eksplicit i undervisningen, således eleverne oparbejder et ordforråd for hvilke relationer, der gælder hvornår.

 Nogle af vanskelighederne med algebra i gymnasiet kan knyttes til en sammenblanding af elevers (og nogle gange læreres) brug af lighedstegnet eller syn på formler. Nedenfor præsenteres en sådan sammenblanding i brug af lighedstegnet.

Når to betydninger blandes sammen

Blander en elev for eksempel betydningen ”instruks” og ”tildeling” sammen kan det føre til besvarelser som nedenstående:

”Opgave: Magnus tager en taxa med en starttakst på 10 kroner og en kilometerpris på 3 kroner pr. km. Hvor meget koster det Magnus at køre 4 kilometer med taxa?

Besvarelse: Først opskrives en funktionsforskrift for prisen for en køretur med taxaen $f(x)3x+10$. Herefter udregnes prisen for en køretur på 4 kilometer $f(x)=3x+10=3\cdot 4 +10=12+10=22. Det vil sige $f(4)=22$. Det koster Magnus 22 kroner at køre 4 kilometer med taxaen.”

Her har eleven korrekt tildelt funktionen f en forskrift og tilmed kommet frem til det rigtige endelige svar. Ikke desto mindre er det problematisk, at eleven undervejs konkluderer, at $f(x)=22$, hvilket formelt ikke er sandt for alle x.

Notation i lærebøger

Elevernes manglende opmærksomhed på en korrekt notation i besvarelsen af en opgave kan til dels spores tilbage til lærebøgerne. Nedenstående eksempel er taget fra en gymnasiematematikbog:

”Thomas tjener 30000 kr. om måneden og får en lønforhøjelse på 3,2%. Hans nye månedlige løn er derfor $30000+3,2\% =30000\cdot 1,032=30960$”.

(s. 26, Kilde 1)

Men bruger man bogens tidligere definition af %, holder det første lighedstegn ikke, idet

$30000+3,2\%=30000+0,032=30000,032 \neq 30960$

Den erfarne matematiker kan godt abstrahere fra, hvad der menes med $30000+3,2\%=30000⋅1,032$. Men hvis man vil korrigere ovenstående fejlvurderinger som $f(x)=22$ må man som lærer være opmærksom på, at eleverne kan blive forvirrede over lærebogens brug af lighedstegnet. For hvorfor må lærebøgerne indeholde tvivlsom notation, når elevernes besvarelser ikke må?

Det kan være fristende at konkludere, at det er tydeligt, hvad der menes med lighedstegnet i eksemplet fra lærebogen. Det kan også være, at den løse og ukorrekte brug slet ikke bliver opdaget, fordi det ikke er lighedstegnet, der er i fokus, men snarere besvarelsen af opgaven. Lignende løs brug af lighedstegnet er kendt fra grundskolen, hvor lighedstegnet markerer en proces i mellemregninger i stedet for en ligevægt mellem to udsagn. Det kan blandt andet være i udregning af en besparelse på 20% på en telefon til 5699kr og en computer til 7799kr, som udregnes på følgende vis:

$7799+5699=\frac{13498}{100}⋅20=2699,60$

$13498-2699,6=10798,40 kr$

Tankegangen bag udregningerne kan argumenteres for at være korrekt, mens den forkerte brug af lighedstegnet er misvisende, idet $7799+5699\neq 2699,60$ (Kilde 4). Særligt det at løse ligninger, herunder betydningen af lighedstegnet, kræver en helt særlig opmærksomhed (Kilde 2). En måde at arbejde med dette kan være opgaven nedenfor, hvor eleverne eksplicit bliver bedt om at forholde sig til andres brug af lighedstegnet.

Lighedstegnet i fokus

Elever tager ofte lighedstegnet i brug som et værktøj i besvarelsen af en opgave med et helt andet fokus. Det kan derfor være gavnligt at stille spørgsmål målrettet lighedstegnet uden ”støj”, for at eleverne ikke bliver forvirret over formålet med en given opgave. Et eksempel på en opgave med lighedstegnet i fokus kan lyde som følgende:

”En elev har løst følgende ligning

$8x+2=18$

$8x+2-2=18$

$8x=18-2$

$\frac{8x}{8}=16$

$x=\frac{16}{8}=2$

Afgør om udregningen er sand eller falsk”

(s. 110, Kilde 1)

Et elevsvar til sådan en opgave kunne blandt andet være, at udregningen er sand, fordi $x=2$ er løsning til $8x+2=18$. Et opfølgende spørgsmål kunne da være, hvorvidt $x=2$ er sandt for alle ligningerne opskrevet undervejs. Her gives altså mulighed for at italesætte lighedstegnets betydning som en ligevægt, uden at det konkrete svar til opgaven i en given kontekst forstyrrer læringsmålet.

Ikke alene lighedstegnet og dets brug kan skabe vanskeligheder for eleverne, men også ufleksible prototyper af opfattelser af formler, kan hindre elevers algebraiske manipulationer med formler.

Formler som prototyper

Elevers arbejde med formler kan tage flere forskellige former, hvor formlen (særligt i geometri) opfattes som eller har særligt fokus på: identitet, form, opskrift, ligning, ’konstruktion’, læsbar tekst eller co-varians (Kilde 3). Når en formel behandles som en identitet, kommer det fx til udtryk, når volumen af en figur er lig formlen for volumen. Hvis elevens fokus derimod ligger på formlens form, kan formler, der udtrykker det samme, opleves som forskellige. Det ses fx i kapitalfremskrivningsformlen $K_n=K_0\cdot(1+r)^n$, som til tider skrives ud i fire forskellige udgaver, der af elever kan forstås som en formel for hhv. slutkapitalen, startkapitalen, rentesatsen og antal terminer alt efter hvilket led, som er isoleret. Formler kan også opfattes som en opskrift eller kogebog. Fordoblingskonstanten $T_2=\frac{\log(2)}{\log(a)}$ beregnes altså ved at bestemme fremskrivningsfaktoren $a$, og beregne ovenstående forhold. Selvfølgelig kan formler også opfattes som ligninger, der kan manipuleres med, uagtet deres evt. kontekst som fx beregning af trekanters sidelængder vha. Pytagoras’ sætning, der alene holder for retvinklede trekanter. Det kan igen give anledning til fejlslutninger. Når formler opfattes som ’konstruktion’ (tegning eller manual), ses det ved, at elever læser formlen som en beskrivelse af egenskaber som fx overfladearealet for en geometrisk figur, og dermed hvordan figuren er opbygget. Dette ligner en smule, når formlen opfattes som læsbar tekst, hvor formlen kan læses og afkodes med lighedstegnet som en opsummering af en geometrisk figurs egenskaber, men altså ikke giver anledning til en konstruktion eller skitse. Endelig kan formler opfattes som co-varians, hvilket betyder, at fx en ligning beskriver en relation mellem indgående variable, hvor der gælder, at hvis én størrelse vokser, så må andre naturligt følge med. For yderligere detaljer og eksempler se Kilde 3.

De forskellige betydninger nævnes ikke nødvendigvis eksplicit for eleven, men det er en forudsætning, at eleven intuitivt kan navigere frem og tilbage mellem dem for at løse opgaver korrekt. Nogle gymnasielærere erfarer, at deres elever helt udelader lighedstegnet i forbindelse med brug af formler eller besvarelser af opgaver. Dette kan fx være i forbindelse med beregning af hældningen for den rette linje, hvor $a=$ udelades, og det blot er brøken, som optræder i udregningen eller angivelsen af en forskrift som $x^2+4x$ uden $f(x)=$. Så selvom læreren måske kan se, at flere af lighedstegnets betydninger relaterer til hinanden eller har overlap, er det ikke nødvendigvis elevens perspektiv. Som lærer er det derfor vigtigt at sørge for, at eleverne får erfaring med alle prototyper af formler gennem deres gymnasietid. Ikke som et selvstændigt forløb, men som en generel fleksibilitet der opbygges og vedligeholdes gennem hele matematikforløbet.

Ved at italesætte lighedstegnet eksplicit som en ligevægt mellem to udsagn og ikke bare som en del af opskrivningen af en opgavebesvarelse, øges elevernes autonomi ift. algebraiske manipulationer. På tilsvarende vis kan aktiviteter, der understøtter de 7 prototyper af formler, øge dette som et mål for gymnasiets matematikundervisning (Kilde 3).

til: GYMNASIER
emne: ALGEBRA I GYMNASIET

UDGIVET: 2023

Forfattere

Milla Mandrup Fogt

Stud.Scient
IND og MATH på KU

Britta Eyrich Jessen

Adjunkt
Institut for Naturfagenes Didaktik, KU


Udgiver

Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer

Kilder


Del tema Print