Hvorfor er algebra så svært?

2. En ubekendt
Symbolet kan også stå for en ubekendt, som skal bestemmes, fx gennem løsning af en ligning.

3. En variabel
Symbolet kan være en variabel, dvs. et symbol, der kan antage forskellige værdier inden for en bestemt talmængde. Vi møder bl.a. variable, når vi arbejder med funktioner, dvs. når vi ser på, hvordan forskellige variable varierer ift. hinanden.

4. Generaliserede tal
Symboler til at beskrive regneregler eller generelle egenskaber med, som fx i $a + b = b + a$.

De kaldes for generaliserede tal, for symbolerne står her for et hvilket som helst tal. I udtrykket for den rette linje $y = a·x + b$ er $a$ og $b$ ligeledes generaliserede tal, der kan antage alle mulige værdier.

5. Symbolet som parameter
Symbolet som parameter er den betydning, som er sværest at forstå, da en parameter kan opfattes som en fast værdi, der kan variere!

Man kan fx spørge: "Hvad kan man sige om linjerne $y = a·x + b$, for et fast $b$?"

Her er betydningen af $b$ anderledes end ovenfor, da $b$ er et fast tal, som samtidig kan antage forskellige værdier. Med det mener man, at $b$ først betragtes som et fast tal (hvis aktuelle værdi vi godt nok ikke er interesserede i), og hvor $a$ kan antage alle mulige værdier. Hernæst ser vi på et nyt $b$, osv.  

Så svaret på spørgsmålet bliver derfor: "For hvert tal $b$, får vi alle de rette linjer, som skærer $y$-aksen i $b$". (Kilde 2 og kilde 3)

Proces-objekt dualiteten

En anden velbeskrevet vanskelighed ved algebra er det, der kaldes proces-objekt dualiteten. (Kilde 4)

Bliver man præsenteret for et algebraisk udtryk som fx $2(x+4)-1$ og spurgt, hvordan det skal forstås, er der flere mulige svar.

Man kan se det som:

1. En beregningsproces, hvor man tager et tal x og lægger 4 til. Resultatet ganges med 2 og til sidst trækker man 1 fra.
2. Et tal, nemlig resultatet af den beregning, vi beskrev ovenfor.
3. En lineær funktion, som afbilder tallet x over i et andet tal. Her repræsenterer udtrykket ikke et fast tal (som kan være ukendt), men en hel mængde af talpar. Disse talpar danner samtidig grafen for den lineære funktion, nemlig en ret linje.
4. Derudover kan udtrykket også blot opfattes som en række symboler, der i sig selv ikke har noget indhold, men som man ikke desto mindre kan omforme efter fastsatte regler, fx gange ind i parentes og samle led:
   $2(x + 4) – 1 = 2x + 8 – 1 = 2x + 7$.

Alene det, at udtrykket kan tolkes på så mange måder, fortæller, hvorfor algebra er svært, men der er mere i det end dette. Hvor b), c) og d) er objekter (et tal, en funktion, en streng af symboler), så er a) en række operationer, altså en proces, der angiver de handlinger, man udfører. At udtrykket kan være begge dele, kalder man for proces-objekt dualiteten.

Et sted, hvor elever tit oplever vanskeligheder pga. proces-objekt dualiteten er ved division og brøker, for er $a:b$ nu et regnestykke eller et tal? Og hvad med $a/b$? Og betyder det overhovedet noget?

Lighedstegnet og de mange betydninger

Betydningen af et lighedstegn giver ofte anledning til problemer for elever i udskolingen og gymnasiet. Begrundelsen er, at lighedstegnet kan betyde mange forskellige ting, og hver af dem signalerer en bestemt type handling eller instruks. Hvis eleven ikke behersker eller kan skifte mellem disse, vil det uvægerligt give anledning til problemer.

Her ser vi på fire forskellige betydninger af lighedstegnet:

1. Instruks: Den første betydning stammer fra aritmetikken, hvor lighedstegnet opfattes som en instruks til beregning. Denne betydning ser man fx i formler, hvor konkrete værdier skal indsættes på de ubekendtes pladser, og resultatet beregnes.
2. Ækvivalens: I den anden betydning, fortæller lighedstegnet, at udtrykkene på hver side er ækvivalente, dvs. de kan erstattes med hinanden. Denne betydning kender vi fra fx kvadratsætningerne, hvor $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2x·y$, hvor de to sider af lighedstegnet altid giver det samme, lige meget hvilke værdier vi sætter ind for $x$ og $y$.
3. Ligning: Lighedstegnet antager en tredje betydning, når to udtryk sættes til at være ens, fx når man vil finde skæringspunktet mellem to rette linjer eller vil bestemme nulpunkter for en funktion $f$ og får ligningen $x^2 + 4 = 0$.
4. Tildeling: I den sidste betydning, fungerer lighedstegnet som et tildelingstegn: 'Man sætter noget til at være', som man ser det ved funktionsforskrifter: $f(x) = x^2 + 4$. (Kilde 1)

Ligningsløsning med forskellige strategier

Både i udskolingen og i gymnasiet fylder ligningsløsning meget – både som selvstændig disciplin og afledt af fx problembehandling og modellering. Den tredje af lighedstegnets betydninger er netop at sætte to udtryk med en ubekendt lig med hinanden for at bestemme værdien af den ubekendte. Ligningsløsning er interessant, fordi både opstilling, fortolkning og løsning af ligninger kan volde eleverne problemer og derfor kræver særlig opmærksomhed.

Et af problemerne ved ligningsløsning er, at en ligning kan opfattes og dermed angribes på forskellige måder. Det er naturligvis ikke et problem i sig selv, men når en løsningsstrategi, der hviler på en bestemt forståelse og fungerer fint for nogle ligninger, bliver meningsløs i forhold til andre ligningstyper, kan det resultere i vanskeligheder. Det kan også give anledning til misforståelser i undervisningen, når elever sammen skal løse en ligning, men bruger forskellige metoder.

Fem måder at løse ligninger

Matematikdidaktikeren Lins beskriver fem måder at løse ligninger på. Hver måde giver eleven forskellige handlemuligheder. (Kilde 5)

Lad os se på følgende simple ligning: $3·x +10 = 100$. den kan løses ved:

1. Gættemetoden, hvor man mere eller mindre systematisk sætter tal ind og prøver efter, indtil ligningen passer.
2. 3 lodder skal sammen med et 10 kg lod veje 100 kg.
3. Tænk på et tal, gang det med 3, læg 10 til og det skal give 100. Gør nu disse operationer i modsat rækkefølge.
4. 3 dele af et ukendt tal skal sammen med en del, der har værdien 10, og give det hele, som er 100.
5. Træk 10 fra på begge sider så alt med x er samlet på den ene side, og konstanterne på den anden, dividér med 3 på begge sider for at finde værdien af et enkelt x. Det skal ende med, at man har x = tal.

Men hvad bygger de forskellige løsningsstrategier på? Og hvilke handlingsmuligheder har eleverne, når de har valgt strategi?

1. I gættemetoden har vi en betingelse, der skal opfyldes, og det eneste, man kan gøre, er at sætte ind og tjekke efter. Metoden fungerer bedst, hvis løsningen er et (ikke for stort) helt tal.
2. I den anden metode har vi en ligevægt, og her kan man gøre flere ting: tilføje vægte på begge sider, eller fordoble vægten på begge sider. Et problem er, at for fx negative værdier af x, er ligningen svær at oversætte til en virkelig situation.
3. Den tredje kan forstås som en to-do-liste for en funktionsmaskine. Det kan føre til samme problem som i 2), nemlig at ligningen ikke altid giver mening. Hvad med den ækvivalente ligning $4·x + 10 = x + 100$? Hvad er funktionen her? 
4. I den fjerde metode, hvor vi har forholdet mellem det hele og de enkelte dele har man flere muligheder. Man kan fx dele det hele (her 100) op i flere dele og sammenligne med de dele, man har. Det kan være vanskeligt at finde løsninger, som ikke er 'pæne' tal.
5. Den femte svarer til den standardtilgang, man kan finde i enhver matematikbog, og som kræver beherskelse af grundlæggende regneregler. Fordelen ved denne metode er, at den kan bruges for alle typer af ligninger. Men elever kommer ofte til kort, hvis reglerne ikke giver mening for dem.

Det er ikke nødvendigvis ønskeligt, at eleverne lærer alle fem tilgange, men det er vigtigt at eleverne forsøger at løse ligninger på måder, der er meningsfulde for dem. Standardmetoden skal alle elever lære, mens de første fire tilgange kan se som læringsveje til denne.

Som lærer skal man være bevidst om, at der findes forskellige strategier, og hvad de går ud på, så man kan støtte eleverne der, hvor de er.

Nogle regler er mere grundlæggende end andre

Mange elever oplever, at algebra er fyldt med regler. De har svært ved at huske reglerne og finde ud af, hvilke regler man kan eller skal bruge i en given situation. Men egentlig er der ganske få grundlæggende regler, som alle andre regler er udledt fra.

De grundlæggende regler

• De associative love for hhv. addition: $(a + b) + c = a + (b + c)$, og multiplikation: $(a·b)·c = a·(b·c)$.
• De kommutative love for hhv. addition: $a + b = b + a$, og multiplikation: $a·b = b·a$.
• Der findes et identitetselement, $0$, for addition, så $a + 0 = a$, og et identitetselement, 1, for multiplikation, så $a·1 = a$.
• Den distributive lov: $a·(b+c) = a·b + a·c$.
• Der findes en invers, $-a$, for addition, så $a + (– a) = 0$, og en invers, $1/a$, for multiplikation, så $a·(1/a) = 1$.

Disse regler har en særlig status, idet de ikke kan eller skal bevises i skolen eller gymnasiet. Alle andre regneregler kan udledes fra disse, fx kan en af de ligheder, som eleverne i særlig grad har lært udenad, $(-a) ·(-b) = a·b$, udledes fra (1) - (4). Det er vigtigt, at læreren er fortrolig med sådanne udledninger. Og at man arbejder med, hvordan fx brøkregneregler flger af de grundlæggende regler, så man kan hjælpe eleverne med at se mening og sammenhæng, snarere end en urskov af ad hoc-regler, som er umulige at huske (se fx kapitel 8 i Kilde 6).

Se også tema om Lektionsstudier.