Aktivitet og forløb: Fibonaccitallene

Et af de emner, der kan fange mange elevers interesse, er Fibonaccitallene. Dette forløb kan både benyttes i udskolingen og gymnasiet og skal derfor tilpasses elevernes forudsætninger. Aktiviteterne viser, hvordan algebra kan bidrage til forståelsen af Fibonaccitallenes mange sjove egenskaber. Tanken er derfor, at aktiviteterne indgår i et samlet forløb om Fibonaccital, som også inddrager helt andre aspekter.

Talrækken blev første gang beskrevet af den italienske matematiker Fibonacci i 1202, men var kendt længe før. Talrækken kan genfindes i mange genstande i naturen, fx solsikker, romanescokål og kogler, den kan benyttes til at beskrive fx vækst i kaninbestande, og så har den en tæt forbindelse til det gyldne snit.

Der er mange indgangsvinkler til at give sig i kast med Fibonaccitallene, og mange måder at inddrage forskellige typer af konkrete materialer, som eleverne kender fra deres dagligdag. En søgning på internettet giver forslag til forløb og opgaver om emnet.

Aktiviteter

(Alle er udviklet på Freudenthal Instituttet i Holland).

Iscenesættelse: I introduktionen til aktiviteterne, kan samtalen drejes ind på, at Fibonaccitallene, ud over de egenskaber, som eleverne allerede har mødt, fx at de genfindes i naturen, også besidder en række helt specielle matematiske egenskaber, som eleverne nu skal undersøge. Eleverne kan undersøge dem ved at bruge konkrete tal fra talrækken og bagefter kan de vise, at disse egenskaber gælder generelt for talrækken (der jo er uendelig lang) ved at bruge forskellige repræsentationer som fx tegnede linjestykker og bogstavsymboler.
Elevernes individuelle arbejde: Eleverne arbejder med en række spørgsmål/aktiviteter i mindre grupper. De skal inddrage forskellige repræsentationer, og der lægges vægt på, at de skal argumentere for deres svar ved hjælp af de repræsentationer, de har valgt.
Undervejs må man som lærer hjælpe eleverne videre, gerne med spørgsmål. Dette gælder også, når der skal indføres ny notation som fx at et ulige tal kan skrives som 2n + 1, n = 0, 1, 2, 3, ...
Fælles samtale: Den afsluttende opsamling kan gøres på mange måder, og læreren spiller her en vigtig rolle som den, der samler op og sætter elevernes resultater ind i en formel matematisk sammenhæng. Her vil det være oplagt, at eleverne får mulighed for at dele de argumenter og ræsonnementer, de har fundet frem til, og at sammenligne dem med andre elevers argumenter. Med lærerens hjælp kan det gøres tydeligt, hvilke argumenter der er acceptable, og hvordan man ræsonnerer i matematik.
Læringsudbytte: I denne aktivitet er fokus på at bemærke, beskrive, benævne og repræsentere og derudfra at udtrykke og opstille symbolske udtryk ved at forbinde repræsentationer. Ved at supplere med et forløb om Fibonaccitallene, der har et fokus som rækker ud over det algebraiske, får eleverne mulighed for at se, at matematikken har mange sider. Nogle er knyttet til den hverdag, vi lever i, mens andre er internt matematiske. Algebraen er en af grundstenene til at kunne udtrykke og vise matematiske egenskaber.

Foto: Tshirt med Fibonaccital. Kilde: Zazzle.com

Spørgsmål

Hvilket mønster er der i tallene på T-shirten?

Kan du finde de næste tal i rækken?
Kan du formulere en regel, hvordan man finder det næste tal ud fra tallene, der kommer før?
Kan du skrive reglen op med symboler?

Lad os skrive tallene op i rækkefølge:

Illustration: Fibonaccitallene i rækkefølge

Hvad kan man sige om de røde og de blå tal?
Hvilket mønster bemærker du?
Forklar, hvorfor de røde og de blå tal nødvendigvis MÅ optræde i dette mønster.
Kan du ved hjælp af algebra bevise mønsteret?

Svar:

De blå tal er ulige, og de røde tal er lige.
Der kommer altid 2 blå og 1 rødt, 2 blå og 1 rødt osv.

Hvis man repræsenterer lige og ulige tal som på figuren nedenfor, er det klart, hvorfor to ulige tal giver et lige tal, og summen af et ulige og et lige tal er ulige. Det forklarer også rækkefølgen af lige og ulige tal, for man får jo altid det næste tal i rækken som summen af de to foregående.

Illustration: Fordeling af røde og blå tal

Man kan også vise mønsteret vha. algebra. Det vil nok kræve noget hjælp at få eleverne til at repræsentere ethvert positivt lige tal som $2·m$, hvor $m = 0, 1, 2, 3, 4, …$ og et ulige tal som $(2·n+1)$, hvor $n = 0, 1, 2, 3, 4, …$

Med dette fås:

Ulige + ulige $= (2·m+1) + (2·n+1) = 2·m + 2·n + 2 = 2·(m + n + 1)$ – et lige tal!
Lige + ulige $= 2·m + (2·n+1) = 2·m + 2·n + 1 = 2·(m + n) + 1$ – et ulige tal!

Talrækken har andre sjove egenskaber!

Spørgsmål:

Hvis vi et eller andet tilfældigt sted i rækken vælger 5 tal i rækkefølge, opdager vi noget:

Illustration: Fibonaccitallenes egenskab at summen af det første og det sidste tal giver 3 gange det midterste tal!

Prøv med fem andre tal i rækkefølge:

Illustration: Flere eksempler på at summen af det første og det sidste tal giver 3 gange det midterste tal.

Hver gang får vi, at summen af det første og det sidste tal giver 3 gange det midterste tal!

Kan vi bevise det?

Prøv først at repræsentere de 5 Fibonaccital som længder af linjestykker:

Svar:

På billedet kan man se, at når man lægger det øverste blå linjestykke i forlængelse af den nederste række, fås præcis den midterste række tre gange.

Det kan også udtrykkes med symboler:

Og man kan finde mange andre sjove egenskaber.

Spørgsmål:

• Tag 9 tilfældige tal i rækkefølge. Der gælder da at summen af det 1. og det 9. tal = ….

• Sammenlign summen af vilkårlig 6 tal i rækkefølge med det 5. tal i rækken…

• Find selv flere sammenhænge – og bevis dem!

TIL OVERVEJELSE I FAGGRUPPEN

Kom med idéer til et samlet forløb om Fibonaccital, som ovenstående aktiviteter vil passe ind i.
Diskutér, hvordan man kan styrke ræsonnementets rolle på det niveau, I underviser på.
Diskutér, hvordan man kan styrke elevernes forståelse for, hvad et godt argument eller ræsonnement er. Hvordan kan ræsonnementet blive meningsfuldt for eleven og ikke blot en påstand der skal læres udenad?