Overgangs-problemer med symboler og algebra

Både i grundskolen og i gymnasiet anvender man bogstavsymboler som navne for objekter, fx a for et linjestykke og A for en vinkel. En fremtrædende forskel er, at mens man i langt overvejende grad benytter konkrete tal i grundskolen til at angive størrelsen af disse objekter, fx længden af linjestykket eller størrelsen af vinklen, vil man i gymnasiet også benytte (bogstav)symboler til at angive deres størrelse.

Det giver anledning til to slags problemer:

1. For det første er betydningen af symbolerne ikke længere blot en talværdi, når de på samme tid også fungerer som et navn for fx linjestykket $(a)$ og et navn for vinkelspidsen $(A)$. Eleven skal altså ud fra sammenhængen kunne afkode, om et bogstav står for et tal, man fx kan udføre beregninger med, eller om det blot er en betegnelse, der bruges til at navngive fx en figur med.
2. Det andet problem med bogstavsymboler i matematik er, at vi ikke har bestemte regler for, hvilke symboler man må bruge for en given ting. Vi har uskrevne regler, fx at x er den uafhængige variabel, men rent matematisk kan vi kalde den lige, hvad vi har lyst til. Det, vi ellers kender fra fag som fysik, kemi og biologi, er, at man (stort set) altid bruger de samme symboler for den samme ting. I matematik er det derimod helt legalt at bruge fx $a, b, c,$, eller et fjerde bogstav for stigningstallet for en ret linje, og det giver problemer, hvis man erstatter vores sædvanlige opskrivning af ligningen for en ret linje $y = a·x + b$ med enten $y = b·x + a$ eller $y = p·x + q$, der jo begge er helt korrekte.

Så ved overgangen fra grundskolen til gymnasiet skal eleverne altså vænne sig til at gå fra tal til generelle symboler, med alle de udfordringer, dette fører til.

Når man observerer matematikundervisning i Danmark, kan man se, at der er nogle typiske måder, som tal og symboler bliver benyttet på.

Symboler kan bruges som navne for forskellige størrelser, og i algebra vil symbolerne altid stå for tal. Når man kombinerer tal og symboler til udtryk, bliver der pludselig flere muligheder for, hvad udtrykkene kan bruges til, og hvordan man kan behandle dem. (Kilde 2)

Tre måder at bruge symboler

- der både er matematisk forskellige, og som optræder forskelligt på de to uddannelsestrin.

1. Den første måde er at benytte symboler til at introducere en bestemt notation fx $a^4 = a · a · a · a$ som en mere generel beskrivelse af fx $2^4 = 2 · 2 · 2 · 2$ eller til at definere et matematisk objekt som fx en anden gradsfunktion $f(x) = a · x^2 + b · x + c$. Fælles for udtryk som disse er altså, at de fungerer som en skrivemåde, og at det ikke er meningen, udtrykket skal omformes. Det er værd at bemærke, at mens man i grundskolen kan benytte et udtryk som $2^4 = 2·2·2·2$ som en definition på hvordan man opskriver, det at opløfte i en potens, og hvor der jo blot kan indsættes alle mulige andre tal på 2 eller 4’s plads, vil man i gymnasiet altid benytte notationen $a^n = a·$ ··· $·a$.
2. En anden måde at benytte symbolske udtryk på er som fx regneudtryk, formler eller sætninger, der kan bevises ud fra det bagvedliggende matematiske indhold. Et godt eksempel er Pythagoras sætning, der jo fortæller, at en trekant er retvinklet, hvis og kun hvis kvadratet på hypotenusen er lig summen af kateternes kvadrater. De fleste elever kender sætningen som $a^2 + b^2 = c^2$. I undervisningen møder elever ofte denne type generelle formler og udtryk, men hvor det i grundskolen ofte er helt i orden at tage dem for gode varer, vil der i gymnasiet ofte blive lagt vægt på, at man skal bevise, at formlen eller udtrykket er sandt.
3. Ved den tredje måde optræder symbolerne i omformninger/manipulationer, enten i forbindelse med beregninger eller for at finde andre tilsvarende udtryk. Man ser især omformninger i forbindelse med ligningsløsning. I både grundskolen og gymnasiet løser elever ligninger og omformer udtryk med tal, men rene symbolske manipulationer er langt mest udbredt i gymnasiet. Et eksempel er det centralt fastsatte emne i grundforløbet om lineære sammenhænge og modeller, hvor 1. g ofte begynder med potensregneregler, parentesberegninger, kvadratsætninger m.m. som foregår symbolsk og ofte ligger langt fra hverdagen i en afgangsklasse i grundskolen.

Når man som lærer bliver opmærksom på, at symbolerne kan antage helt forskellige roller, bliver det nemmere at anerkende mange af de problemer, som eleverne oplever ved brugen af symboler.

En af de forandringer, eleverne oplever ved overgangen fra grundskolen til gymnasiet, er undervisningens struktur, dvs. den rækkefølge, de enkelte elementer i undervisningen kommer i. I grundskolen opstiller eleverne ofte selv regneudtryk ud fra en konkret sammenhæng med tal, og de argumenterer for rigtigheden ud fra denne sammenhæng. På denne måde bliver eleverne erfarne i at argumentere, hvorimod de ikke altid får generaliseret resultatet, så det kan tages med videre til andre og lignende sammenhænge.

I gymnasiet derimod har de generelle udtryk, man benytter i udregninger, kun sjældent rod i en konkret situation, som eleverne kan forholde sig til. Her er det langt mere almindeligt, at læreren først præsenterer et generelt udtryk eller en formel på symbolsk form, sommetider bliver den bevist mere eller mindre formelt, og derefter bruger den i en konkret sammenhæng med tal. Disse to modsatrettede tilgange kan medvirke til, at eleverne opfatter faget som meget forskellige på de to trin. Især er det svært for nye gymnasieelever at forstå, hvorfor alting skal bevises, og hvorfor det ikke er nok fortsat blot at bruge en given formel.

Der er altså mange grunde til, at eleverne har svært ved at genkende det matematikfag, de har haft i grundskolen, når de fortsætter i gymnasiet. Den manglende sammenhæng skyldes bl.a., at det fag, vi kalder matematik, i en vis grad er tænkt, fortolket og realiseret forskelligt på de to trin, og at det derfor kan være svært for eleverne at se, hvad der er fælles. Det kan resultere i problemer ved overgangen. (Kilde 6)