Flere undersøgelser viser, at elever på gymnasialt niveau har svært ved at bruge og forstå lærebogen og få nok ud af undervisningen. Det bliver særligt tydeligt i overgangen fra grundskolen til gymnasiet, hvor nogle elever har indtryk af, at undervisningen i gymnasiet ikke bygger ovenpå det, de har lært i grundskolen (Kilde 2). Når eleverne ikke oplever en naturlig progression i matematikfaget, kan det blive en hindring for deres selvstændige læring, hvilket blandt andet resulterer i, at en betydelig del af lærerne opgiver at bede eleverne om at læse lærebogen (Kilde 4). Der er mange årsager til disse udfordringer, men helt centralt er det sproget matematikken behandles i, hvilket på gymnasialt niveau i vid udstrækning er algebra.
Matematikkens sprog
I de fleste sprog anses det talte sprog for at være det primære sprog. Det vil sige, at det er igennem det talte sprog, at ideer produceres, hvorefter de kan formaliseres gennem det skriftlige sprog. For matematik er det omvendt. Her er det primære sprog skriftligt – for hvem vil kaste sig ud i løsningen af tre ligninger med tre ubekendte uden at kunne skrive noget ned? I arbejdet med algebraiske manipulationer er matematikkens symbolholdige sprog særligt frugtbart, idet det giver adgang til en mere præcis viden og udvikling af teknikker (Kilde 1). Det helt simple eksempel nedenfor viser problemet med manglende præcision, hvis ikke vi har vores skriftsprog.
Forstil dig, at du skal kommunikere til en ven, hvordan du har isoleret x i en ligning. Her kan et udsagn som ”et tal minus to gange fire er lig otte” både komme til udtryk som $x-2\cdot 4=8$ eller $(x-2)\cdot 4=8$. Oversættelsen fra det talte sprog til det skriftlige kan have afgørende betydning, idet $x=16$ er løsningen til den første ligning, mens $x=4$ er løsningen til den anden ligning.
Udsagnet kan specificeres ved at tilføje parenteser i det talte udsagn “parentes et tal minus fire parentes slut gange to er lig otte”. Med sådan en modifikation bliver udsagnet blot en opremsning af de skrevne symboler. Udover at vise at matematik er et skriftligt sprog, illustrerer eksemplet ligeledes, at matematiske udsagn kan være svære at formidle mundtligt (Kilde 1).
Symbolernes essentielle rolle i matematisk tænkning og formidling gør, at matematikkens primære repræsentation er skriftlig, hvilket er særligt tydeligt i algebra. Redskaberne fra algebra gør det muligt at udforske sammenhænge på måder, der ellers ikke er muligt (Kilde 3). Et eksempel er binomialformlen nedenfor.
Som en del af undervisningen i sandsynlighedsregning introduceres eleverne for binomialfordelingen, hvor binomialkoefficienten indgår. Binomialkoefficienten opskrives som:
$\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$
og indeholder særligt to bemærkelsesværdige symboler. Først og fremmest bemærkes, at ”!” er et symbol, som eleverne kender fra tegnsætning i danskfaget. Det optræder pludselig med en ny og anderledes betydning i et algebraisk udtryk. I matematikfaget er det ikke fordi, at man skal råbe n i sine udregninger, men ! fungerer som en kompakt og praktisk måde at skrive et ellers langt rekursivt udtryk. Ikke desto mindre skal eleverne nu udvide deres abstraktionsniveau til, at ét symbol kan have flere betydninger alt efter hvilket fag, det optræder i.
Ydermere skal eleverne forholde til sig notationen $\binom{n}{r}$. Nogle elever kan opleve $\binom{n}{r}$ som en kompakt måde at skrive udtrykket $\frac{n!}{r!(n-r)!}$, mens andre vil se $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ som en metode til at udregne antallet af måder, man kan vælge r objekter ud af n objekter. Betragter eleven udtrykket som førstnævnte, vil $\binom{n}{r}$ dermed fremstå som symboler, der symboliserer andre symboler. Ikke mindst kan $\binom{n}{r}$ enten være ukendt for eleven, eller være velkendt fra vektorregning, dog med en helt anden betydning. Dermed skal eleverne yderligere hæve deres abstraktionsniveau og forholde sig til, at symbolet her kan have forskellige betydninger i matematik, alt efter hvilket domæne det optræder i.
Tilsvarende skift eller tilføjelser i betydningen af symboler vil opstå i overgangen fra grundskole til gymnasium, hvilket der kan læses mere om i temaet algebra på tværs.
Det er derfor afgørende, at elever fortsat bliver udfordret i forhold til at kunne håndtere algebraiske udtryk og manipulationer for at have adgang til matematikkens verden og sprog. Det er vigtigt for at gennemføre matematik på gymnasiet og lige så vigtigt som forberedelse til videre uddannelse, hvor man i mange fag bruger det i forbindelse med problemløsning såvel som den systematiske eller næsten algoritmiske tænkning, der kan ligge i algebraisk manipulation.
til: GYMNASIER
emne: ALGEBRA I GYMNASIET
UDGIVET: 2023