Taltricks og design af undervisning

Som et led i at styrke elevernes algebraiske færdigheder, uden at de bliver kvalt i utallige træningsopgaver, kan opgavedesigns som taltricks inddrages i undervisningen. Taltricks er ikke kun gavnlige for at styrke allerede kendte algebraiske fænomener, men kan ligeledes designes til at udvikle nye algebraiske færdigheder og teknikker. Taltricks kan tilrettelægges til at behandle lige netop den udfordring eller teknik, man ønsker, samt kun optage den tid man har til rådighed i undervisningen (Kilde 1).

Hvad er et taltrick?

Et taltrick, som de har været implementeret i dansk grundskole og gymnasiekontekst, består af én A4-side, som er inddelt i overskrifterne Kommando, Tal og Bogstavsudtryk. Kolonnen med Kommando vil typisk være udfyldt af læreren med kommandoer, som eleverne følger med konkrete selvvalgte taleksempler i Tal-kolonnen. De konkrete taleksempler skal motivere og hjælpe eleven med først at opdage et mønster, der kan pirre en nysgerrighed ift. at opklare mysteriet eller afsløre tricket. Det skal gerne give motivation hos eleven at udtrykke kommandoerne generelt med bogstaver under Bogstavudtryk for at skabe overblik og afsløre pointen med tricket. Ofte vil eleverne have valgt forskellige konkrete tal, hvilket giver forskellige beregninger. Så når eleverne skal dele deres arbejde og dele gode idéer for at komme videre i opklaringen af mysteriet, skabes der yderligere behov for en generalisering, der naturligt vil tage form af bogstaver som pladsholdere.

Måden der i denne tekst arbejdes med taltricks trækker på Teorien om Didaktiske Situationer og dialektikken mellem elevers selvstændige arbejde, gruppearbejde og fællesgørelse af viden gennem validering og institutionalisering af elevernes arbejde. Ydermere er det en måde at arbejde undersøgende i faget og med faget, jf. Undersøgelsesbaseret Matematikundervisning på gymnasialt niveau. 

Taltricks har til formål at imødekomme den arbejdsgang, som eleverne kender fra grundskolens matematikundervisning, som tager udgangspunkt i konkrete tal (Kilde 2), og taltricks kan med fordel inddrages for at lette overgangen mellem grundskolen og gymnasiet.

Eksempler på taltricks

Her præsenteres eksempler på tre taltricks. De kan indgå som en samlet undervisningssekvens, men kan også fint bruges enkeltvist. I nogle klasser har de været brugt som den daglige opvarmning, som eleverne helst ikke ville undvære.  

De tre taltricks kan downloades her

Som det fremgår af eksemplerne, kan et taltrick ramme præcist de algebraiske regler og manipulationer, man ønsker, at eleverne skal arbejde med, konstruere viden om eller eksplicit italesætte. De kan altså varieres i det uendelige, hvor eleverne fortsat kan have en oplevelse af, at de laver noget nyt. Det er ikke den samme metode eller strategi i 10 lignende opgaver, der kan give eleverne en oplevelse af, at hvis man ikke kan den første, så kan man heller ikke resten. Der er med andre ord mulighed for en lav indgangstærskel (alle kan følge kommandoerne og regne med tallene), samtidig med at der sikres et højt abstraktionsniveau, hvor man ender med mere eller mindre teoretiske begrundelser.

Hvis man tænker de tre tricks som en sekvens, så har opgave 2 til formål at gøre eleven bekendt med første kvadratsætning, der skal benyttes i opgave 3. Alternativt kan opgave 2 bruges som  en screening til, hvorvidt eleverne kan aktivere første kvadratsætning eller ligefrem lære den. Yderligere kan taltricks med fordel bruges som en trædesten til det mere teoretiske arbejde med differentialregningen, som allerede indikeret i 'Hvorfor algebra i gymnasiet?'. Her vil nedenstående taltrick være en relevant opvarmningsaktivitet, inden eleverne påbegynder bevisarbejdet vha. tretrinsreglen for at bevise, at hvis funktionen $f(x)=ax^2$, så er den afledte $f'(x)=2ax$. Eller måske endnu vigtigere, når eleverne skal bevise løsningsformlen for rødderne i andengradspolynomier, hvor de netop skal kunne genkende leddene, der fremkommer af kvadratet på en toleddet størrelse og trække dette sammen i en parentes.

Det skal bemærkes, at opgave 2 yderligere kan tænkes som en indføring i fagsproget på gymnasialt niveau. For hvad betyder det at ”finde kvadratet af hvert tal” eller ”læg to gange produktet til”? Det kan gøres til en selvstændig pointe, når eleverne er fortrolige med taltricks at udfordre dem sprogligt og lade dem undersøge, hvad disse vendinger kan betyde i matematik. Igen giver formatet et utal af variationsmuligheder, der kan understøtte elevernes læsning af lærebogen.

I den sidste opgave skal eleven sammensætte sin tilegnede viden om den distributive lov og første kvadratsætning i et længere algebraisk udtryk, som skal reduceres. Udgangspunktet er en tidligere eksamensopgave, der gav eleverne en del vanskeligheder, se 'Hvorfor algebra i gymnasiet'.