Regning med brøker – division

Inden eleverne begynder at arbejde med division inden for de rationale tal, er det vigtigt, at de har en god forståelse af division inden for de naturlige tal. Det vil sige, at de har opnået en god forståelse af både ligedelings- og målingsdivision.

Igen bør fokus være på talforståelsen, så eleverne har et billede af, hvad de regner på og med.

Arbejdet med dette hænger meget sammen med arbejdet med stambrøker. Det kan for eksempel være et stykke som $\frac{1}{5}:4$. Det vil sige, $\frac{1}{5}$ deles i fire lige store dele. Det mest oplagte vil være at forstå stykket som en ligedelingsdivision, altså $\frac{1}{5}$ kage delt med 4 personer. (Man kan også se stykket som målingsdivision: ’Hvor mange gange kan 4 ligge inde i $\frac{1}{5}$?’ men det skaber ikke et oplagt billede). Eleverne bør løse opgaver, som tager afsæt i en kontekst, der kan give mulighed for at skabe et billede af, hvad de regner på (Kilde 1), og eleverne bør støttes i at løse stykket gennem tegninger (Kilde 2). Det er også vigtigt, når der arbejdes videre med brøker, der ikke er stambrøker, som for eksempel $\frac{2}{5}:4$.

Når man dividerer et heltal med en brøk, vil den mest naturlige divisionsforståelse være målingsdivision. I stykket $5:\frac{1}{4}$ kan eleverne for eksempel tænke: Hvor mange gange kan $\frac{1}{4}$ gå op i 5? Igen er det centralt, at eleverne arbejder med stambrøker, hvorefter progressionen er at arbejde med ægte brøker, hvor resultatet er et helt tal (fx $3:\frac{3}{4}$). Til slut kan eleverne evt. arbejde videre med opgaver, hvor resultatet ikke giver et helt tal ($5:\frac{2}{3}$). Arbejdet med målingsdivision skaber en god sammenhæng til elevernes forståelse af multiplikation som gentagen addition. Forskningen har vist, at eleverne bør arbejde med opgaver sat i en kontekst og gerne med brug af konkrete materialer (Kilde 3). Det kan ske gennem brug af papirstrimler, brøkbrikker eller centicubes. 

Det er målingsdivisionen, som er central, når man arbejder med at dividere to brøker med hinanden (Kilde 4). Ellers risikerer vi, at eleverne ”bare” lærer sætningen ”vi ganger med den omvendte” som en procedure uden nogen forståelse. Det kan diskuteres, hvilket faglige niveau eleverne skal nå i løbet af folkeskolen, når det gælder division med to brøker, derfor kan det diskuteres, om eleverne overhovedet bør arbejde med at udlede den generelle regel. Hvis der skal arbejdes med denne regel, så bør der tages afsæt i en problemstilling som beskrevet i eksemplet under. Her er det faktisk delingsdivision, som er mere til stede i opgaven, og som leder frem til, at eleverne kan udlede den generelle regel:

Der er forskellige måder at gå til løsningen på, men en oplagt én, vil være at finde ud af, hvor meget maling der går på at dække $\frac{1}{4}$ af væggen. Det vil sige $\frac{2}{5}:3=\frac{2}{15}$. Altså $\frac{2}{15}$ spand maling vil dække $\frac{1}{4}$ af væggen. Hele væggen må jo så blive dækket af $\frac{4\cdot 2}{15}$ spand maling. Opgaven viser også, hvor vigtigt det er, at eleverne har opbygget en forståelse af at bruge stambrøken til at regne med (Kilde 4).

Hvis man, som lærer ønsker, at eleverne skal kunne forstå, hvorfor den generelle regel med at ”gange med den omvendte” gælder, er det vigtigt, at eleverne har opbygget en god symbolbehandlingskompetence, inden arbejdet med at udlede metoden påbegyndes. Eleverne skal desuden have udviklet god talforståelse, hvor blandt andet betydningen af at dividere med 1 (det neutrale element) og en god forståelse af at forlænge og forkorte brøker er essentiel. Det er centralt at understrege, at udledningen af den generelle metode ikke er noget, som hører til på sluttrinnet i grundskolen. Som opgaverne viser, så er det vigtigt, arbejder ud fra deres forståelse af brøkernes størrelser, da de gennem en god talforståelse kan ræsonnere sig frem. Hvis man introducerer den generelle regel for tidligt, risikerer vi, at det bliver en indlært procedure uden forståelse. 

Aktiviteten tager afsæt i anbefalingerne anvist i forskningen (kilde 4)