Hvorfor skal elever lære om brøker?

Der er mange forskellige grunde til, at eleverne skal lære brøker i skolen. De mest brugte begrundelser er følgende (Kilde 1, 2 og 3):

• Elever møder dem i deres omverden for eksempel i opskrifter.
• Brøker kan bruges både til at udtrykke en talstørrelse og en del af en anden størrelse (Decimaltal og procent er kun velegnet til hhv. en af disse).
• Brøker er væsentlige for at forstå tallene til højre for kommaet i vores postionstalsystem.
• Brøker er væsentlige i det videre arbejde med algebra.

Der er tre væsentlige repræsentationer af rationale tal: brøker, decimaltal og procent. Hver af de tre repræsentationer har fordele og ulemper – Det gælder selvfølgelig også brøker.  Hvorfor har vi brug for repræsentationen brøker, når vi har de andre to andre, som vi kan bruge? Hvis vi forstiller os, at der ikke fandtes brøker til at beskrive en størrelse med, så ville vi være nødt til for eksempel at sige, at vi har spist 0,25 pizza eller 25 procent af en pizza. Når vi kan beskrive størrelsen af et pizzastykke ved at sige: ”at vi har spist $\frac{1}{4}$”, får vi både et billede af opdelingen af pizzaen i fire dele samtidig med, at det er tydeligt at se den del, som er spist. Brøken giver således information om et forhold (1 ud af 4), som vi ikke får gennem de andre to repræsentationer af de rationale tal. 

Brøker rummer desuden egenskaberne fra de andre to typer af rationale tal. Det betyder en brøk både kan repræsentere en talstørrelse på linje ligesom et decimaltal, og en brøk kan også repræsentere en del af en anden størrelse ligesom procent. Hvordan brøken skal læses afhænger derfor af den kontekst som den indgår i fx størrelsen $\frac{1}{4}$ kan skrives 0,25, men $\frac{1}{4}$ af 12 er 3. Det er derfor, brøker på den ene side er komplicerede at forstå, men på den anden side er de også centrale at forstå for elevernes videre matematiske udvikling (Kilde 1 og 2). Forenklet kan vi sige, at brøker bygger bro imellem de to andre repræsentationer af rationale tal.

Forskningen viser, at brøker støtter overgange mellem de naturlige tal og de rationale tal (kilde 3). Derfor foreslår forskere, at brøker bør være den repræsentation af de rationale tal, eleverne først skal møde. Der opstår et naturligt behov for brøker, når eleverne arbejder med division af naturlige tal for eksempel i en opgave, hvor 9 muffins skal deles med 2 personer Hvis man kun tænker i hele tal, opstår der en rest på 1 muffin, men man kan jo sagtens dele denne ’overskydende’ muffin. Spørgsmål er så, hvordan vi skriver resultatet af delingen?

Man oplever derved behovet for at beskrive størrelser, der ligger mellem de hele tal. Netop regnearten division er med til at bygge bro mellem de hele tal og rationale tal, da det er den eneste af de fire regnearter, hvor resultatet af operationen med to heltal kan blive et rationalt tal. Samhørigheden mellem division og brøker underbygges af, at symbolet for division kan være en brøkstreg, og divisionsknappen på lommeregneren er $\div$, altså en brøkstreg med en prik over og under, fordi det er symbolet i engelsktalende lande.

Brøker er med til at støtte forståelsen af titalssystemet, når det udvides til også at indeholde decimaltal. Hvorfor hedder det pladsen for tiendedele på positionen til højre for kommaet? Det kan være svært at forstå, hvis man ikke ved, hvad en tiendedel er. Det samme kan man naturligvis sige om hundrede- og tusinddele (Kilde 4).

Desuden kan brøker støtte forståelsen af, titalssystemet som er bygget op af hundrededele og tiendedele. Altså at $\frac{10}{100}$ det samme som $\frac{1}{10}$. Hvilket er grundlæggende, når man løser 0,08 $+$ 0,02. Resultatet er ikke 0,010, men det er 8 hundrededele og 2 hundrededele lagt sammen – Og summen er ikke 1 hundrededel, men 10 hundrededele, som kan veksles de til 1 tiendedel. Her hjælper sammenhængen og forståelsen af brøker.

Selve notationsformen af en brøk er central i det matematiske symbolsprog, bl.a. i forståelsen af algebraiske omskrivninger. For eksempel når man reducerer $\frac{4a}{8b+16}=\frac{4(a)}{4(2b+4)}=\frac{a}{2b+4}$, så repræsenterer alle tre brøknotationer det samme forhold, hvilket hænger sammen med en grundlæggende forståelse af ækvivalente brøker, at $\frac{4}{8}$ er det samme som $\frac{1}{2}$ (Kilde 5 og 6).

Et andet eksempel på, at forståelsen af brøker er vigtigt i symbolsproget, er forståelse af ligningsløsningen $\frac{4x}{4}=\frac{20}{4}$ så er $x=5$, hvor man bruger brøknotationen til at vise divisionen. $4x:4=20:4$ giver ikke den samme overskuelighed.