At løse ligninger

Ligninger og ligningsløsning indgår i stort set alle emner i matematikundervisningen på gymnasialt niveau og anvendes i mange andre fag, fx fysik, kemi, samfundsfag, virksomhedsøkonomi og afsætning. Løsning af lineære ligninger behandles sjældent eller kun kort som et selvstændigt emne i gymnasiet. Det betragtes som et område, eleverne allerede behersker. I stedet inddrages ligningsløsning i den kontekst, man i forvejen arbejder i, fx en konkret problemløsnings- eller modelleringssituation eller undervejs i et bevis. At behandle emnet selvstændigt har den styrke, at eleverne bliver opmærksomme på og får mulighed for at arbejde struktureret med nogle af de principper, der ligger bag al ligningsløsning; nemlig de grundlæggende regneregler for de reelle tal. Dette læringsspor fokuserer på lineære ligninger, men peger også hen mod løsningen af andre typer ligninger som fx eksponentielle ligninger og trigonometriske ligninger. Hvis ikke andet specifikt er nævnt, betyder ordet ”ligning” i det følgende lineær ligning.

Fra grundskolen har eleverne kendskab til lineære ligninger, og de indgår i arbejdet med lineære funktioner (se læringssporene At løse ligninger og At repræsentere og sammenligne lineære funktioner). Dette arbejde fortsættes i gymnasiets grundforløb (se læringssporet Lineære funktioner).  

I dette læringsspor ses på det generelle ligningsbegreb gennem behandling af førstegradsligninger. Mens ligningsløsningen i grundskolen er en naturlig forlængelse af aritmetikken, fokuseres der i dette læringsspor på det algebraiske grundlag for ligningsløsning, således at tallenes algebraiske struktur tydeliggøres for eleverne. Det kan bidrage til større bevidsthed hos eleverne om, at ligningsløsning trækker på og styrker algebraisk forståelse i det hele taget. Endelig omfatter læringssporet idéer til, hvordan man kan hjælpe elever, der ved begyndelsen af gymnasiet har grundlæggende problemer med at forstå og at løse ligninger.

Det er tanken, at læringssporet er et samlet forløb, men man kan også vælge at tage dele op, når det er relevant.

Læringssporet har to overordnede mål:

1. At sammenfatte og uddybe elevernes kendskab til at kunne opstille, fortolke og løse (lineære) ligninger, herunder systemer af to ligninger med to ubekendte, såvel analytisk som grafisk. Herigennem at koble de forskellige forståelser og sammenhænge, hvor eleverne har beskæftiget sig med ligninger, til et overordnet ligningsbegreb.
2. At opnå kendskab til de reelle tals algebraiske struktur ved at benytte og have opmærksomhed på de grundlæggende regneregler og den bagvedliggende algebra.

Elever, som er kommet langt med det første mål, råder over et repertoire af løsningsstrategier for lineære ligninger, hvor den anvendte strategi afhænger af den konkrete ligning. De er sikre i at omforme ligninger, fx $3 \cdot x - 4 = \frac{x}{2} + 6$, til ækvivalente ligninger, der fører til resultatet, $x = 4$, og kan omforme og løse en ligning som $\frac{2x + 1}{x - 5} = 1$. De ved, hvad det betyder, at et bestemt tal er løsning til en ligning, og at en ligning kan have nul som løsning, fx $3x + 72 = 72$. De ved at nogle ligninger, fx $3x + 38 = 3x$, ingen løsninger har, og at en ligning kan have alle tal som løsning, fx $3x - 72 - x = 2(x - 36)$. Måske ved de også, at der ikke er andre muligheder for løsninger til en lineær ligning, men kun de allerfærreste vil kunne forklare, hvorfor det er sådan.   

Ved løsning af konkrete ligninger kan de se ”fremad” og gennemskue, hvordan en ligning kan løses i færre trin, end en ren instrumentel tilgang vil føre til. Hvis de skal løse en ligning som fx $3(x + 1) = 9 - 3x$, kan de se, at det vil være smart at starte med at dividere ligningen igennem med 3 og få den ækvivalente ligning $x + 1 = 3 - x$, som herefter kan løses. De forstår sammenhængen mellem en ligning og dens grafiske repræsentation, hvor hver side af lighedstegnet kan indtegnes som en ret linje og løsningen findes som x-værdien for skæringspunktet.

Elever, der er kommet langt med det andet mål, forstår de reelle tals algebraiske struktur, og hvorfor de grundlæggende regneregler, fx den kommutative, den associative og den distributive lov, må anvendes ved ligningsløsning. Disse elever ved, hvornår to ligninger er ækvivalente, og de kender det matematiske grundlag for omskrivning af algebraiske udtryk og ligninger.