Praksis – At løse ligninger

Tidsmæssigt er dette læringsspor forholdsvist kort. Det er placeret i 1. g efter grundforløbet, og det både supplerer og trækker på den tætte sammenhæng mellem lineære funktioner og løsning af lineære ligninger. Klassens niveauvalg har betydning for, hvor stor vægt og hvor meget tid man vil bruge på de mere abstrakte aspekter ved de grundlæggende regneregler. Sporet er tænkt til et forløb på 4-6 moduler.

Det faglige udgangspunkt

Ligningsløsningen i dette læringsspor bygger på elevernes erfaringer med ligninger – herunder løsningsmetoder fra grundskolen, hvor en ukendt størrelse, x, skal bestemmes. Oversigten viser de 4 forudsætninger, som læringssporet bygger på, og som kort udfoldes herunder.

Talmængder og regningsarterne: Eleverne har ved ligningsløsning i udskolingen især arbejdet inden for de naturlige tal og de hele tal. I forbindelse med lineære funktioner er der behandlet lineære ligninger, hvor de har arbejdet inden for de rationale og de reelle tal – dog ofte uden at være klar over forskellen.

Eleverne har viden om regler for regning med reelle tal. De har udført beregninger i konkrete kontekster og med tal, der understøtter forståelsen af, hvad x er. De har foretaget algebraiske beregninger ved benyttelse af en række regneregler, som bringer x til at stå alene på den ene side i ligningen, mens resultatet står på den anden side.

Koordinatsystemet: Det er en forudsætning, at eleverne kender koordinatsy­stemets opbygning og ved, at en ligning af typen y = ax + b giver en ret linje i et koordinatsystem. Det er imidlertid ikke givet, at de ved, at det alene er punkter på linjen, der passer i ligningen. Og det er heller ikke alle elever, der kan bestemme en ligning for en ret linje i et koordinatsystem.  

Ligningsløsning: Eleven har viden om forskellige løsningsstrategier for lineære ligninger og kan opstille og løse simple ligninger og ligningssystemer – førstnævnte både med og uden brug af digitale værktøjer, mens simple ligningssystemer kan løses grafisk.

Faserne

I det følgende beskrives de vigtigste faglige idéer i læringssporets fire faser (se Oversigt).

I første fase af læringssporet bygger man på de erfaringer, som eleverne har med ligninger og løsning af ligninger fra grundskolen, herunder de metoder, de har arbejdet med (se læringssporet At løse ligninger). Læringssporet tager udgangspunkt i, at der såvel i matematikken som i elevernes hverdag forekommer situationer, hvor to talstørrelser er lig med hinanden.

Eleverne præsenteres for eksempler på ligninger, og der benyttes både konkrete situationer fra hverdagen (eksempel 1-3) og symbolsk opskrivning (eksempel 4), så eleverne får lejlighed til at fortolke og oversætte mellem de to repræsentationsformer, for at klassen sammen kan komme frem til en præcis beskrivelse af, hvad en ligning er, og hvad den udtrykker. Her er pointen ikke så meget løsning af ligningerne, men derimod at konsolidere elevernes viden om, at der er en tæt relation mellem en omverdenskontekst og den symbolske opskrivning.

I eksempel 1 og 4 behandles aritmetiske ligninger fra hvert sit udgangspunkt. I eksempel 2 og 3 fører opgaven frem til ikke-aritmetiske ligninger, men af forskellige sværhedsgrad.

Dernæst ændres fokus til selve ligningsløsningen. Ved at præsentere eleverne for mange sådanne situationer, der tilsammen giver mulighed for at benytte forskellige tilgange til ligningsløsning, oplever eleverne, at der er mange måde at løse ligninger på, og at de ikke alle sammen er lige effektive i en given situation. For eksempel kan det være rigtig smart og hurtigt at gætte og tjekke i nogle situationer, men det er en helt ubrugelig metode i andre situationer.

Der tages igen afsæt i de (beregningsmæssige) metoder til ligningsløsning, som eleverne kender i forvejen, og ved at kontrastere og sammenligne dem opnår eleverne en forståelse for, hvordan forskellige processer kan føre til det samme produkt: ligningens løsning, hvad en løsning er, og hvordan man kan finde den.

I denne fase arbejdes der med omformninger og ækvivalente ligninger med udgangspunkt i metoden reducer og isolér.

Eleverne har allerede praktiske erfaringer med omformninger af lineære ligninger, da metoden reducer og isolér har været anvendt allerede i fase 1. Det nye er, at læreren nu italesætter de reelle tals algebraiske struktur udtrykt ved de grundlæggende regneregler som argumentet for de forskellige trin, der til slut fører til ligningen ”x = …”. Der er her fokus på sprogbrugen; fra at ”flytte over og skifte fortegn” til ”at lægge til eller trække fra på begge sider”.

Samtidig introduceres begrebet ækvivalente ligninger, dvs. ligninger, der har den samme løsning. Målet er, at eleverne erkender, at alle de ligninger, de kommer frem til i de indgående trin, er ækvivalente. Dermed må løsningen til den oprindelige ligning være det x, de finder i sidste trin. At ligningerne i hvert trin har samme løsning og derfor er ækvivalente, kan eleverne eftervise ved at indsætte ligningens løsning i hvert trin. Undersøgelser har vist, at det understøtter elevernes læring, at de får mulighed for at benytte forskellige repræsentationer. Man kan derfor lade eleverne indtegne de to rette linjer, som svarer til hvert trin i omformningen, så de kan se, at løsningen (skæringspunktets x-værdi) i hvert trin er den samme (se Oversigt). På denne måde konsolideres også elevernes viden fra fase 2 om den grafiske løsning af en ligning.

I fjerde og sidste fase af læringssporet behandles den analytiske løsning af et ligningssystem bestående af to ligninger med to ubekendte.
Den grafiske løsning af to ligninger med to ubekendte kender eleverne fra grundskolen, men det kan være godt at tage den op sammen med de analytiske metoder, fordi eleverne senere kan få brug for at tegne løsningen for at forstå den analytiske løsning, de er kommet frem til, fx hvis der ikke er nogen løsning eller uendelig mange løsninger, svarende til de tre tilfælde nævnt i fase 3.
I fase 3 udviklede eleverne viden om omformning til ækvivalente ligninger, og det føres nu videre til systemer af ligninger. Inden eleverne introduceres til de to løsningsmetoder – løsning ved hjælp af substitution og lige store koefficienters metode – kan det være givtigt at lade dem arbejde analytisk med en situation som i eksemplet med billetpriser på et museum, som de kan løse på mange måder. En elevløsning er vist i Oversigt. Dette kan være med til at fastholde elevernes forståelse af, hvad der foregår i de to formelle metoder.

De to metoder – løsning ved hjælp af substitution og lige store koefficienters metode – har forskellige didaktiske potentialer. Ved begge metoder skal eleverne have en objekt- frem for en procesforståelse, men i forskellig grad. I substitutionsmetoden er det en variabel, der isoleres i den ene ligning, og det resulterende udtryk indsættes i den anden. Det er derfor den variabel og det udtryk, den er lig med, der er objektet, og det, man gør ved objektet, er at indsætte det i en ligning. Mere påkrævet er objektforståelsen i den anden løsningsmetode, lige store koefficienters metode, og det er med til, at mange elever finder den vanskeligere end substitutionsmetoden. Her går man fra at regne på en variabel til at regne på en ligning. Hver ligning opfattes som et objekt, der kan multipliceres med et tal, og hvor begge ligninger (objekter) kan adderes eller subtraheres for at kunne isolere den ene variabel. Nogle elever kan have behov for at se, at det fører til samme resultatet, ligegyldigt hvilken variabel man isolerer i ligningssystemet.

Også i forbindelse med ligningssystemer er det vigtigt at trække på flere repræsentationer. Man kan tage udgangspunkt i konkrete omverdenssituationer: Først oversættes der til et ligningssystem, som herefter løses, og til slut fortolkes løsningen i situationen. Som gjort i fase 3 kan man inddrage den grafiske løsning af ligningssystemer, der blev arbejdet med i fase 2.

Afhængigt af klassens niveau kan fasen afsluttes med at se nærmere på den grafiske og de to beregningsmæssige løsningsmetoders styrker og svagheder – fx at det er nemmere at generalisere og arbejde abstrakt med den beregningsmæssige metode, mens den grafiske metode tilbyder visuelle fortolkningsmuligheder, der for nogle elever kan give mere mening end (symbolske) beregninger.

I andre ligninger er det nødvendigt at benytte metoden reducer og isolér, hvor man ”gør det samme på begge sider”. Men nu er addition-subtraktion og multiplikation-division nogle steder erstattet af at skulle tage den inverse funktion på begge sider – hermed kan tallenes algebraiske struktur endnu engang gøres tydelig for eleverne.

I dette læringsspor har eleverne arbejdet med ligninger, hvori der indgår konkrete tal. Senere skal de arbejde symbolsk og ud fra deres erfaringer med omformninger kunne manipulere symbolske udtryk ved fx ræsonnementer, bevisførelse og problemløsning. Andre fag vil forvente, at eleverne er i stand til at udføre sådanne symbolske manipulationer, så det er vigtigt, at eleverne får erfaringer med dette i matematik.