Grundlag – At løse ligninger

I dette afsnit udfoldes den fagdidaktiske forskning, som anvendes i læringssporet.

Undervisning i ligningsløsning er primært belyst i forskning på det før-gymnasiale niveau. Dog findes der enkelte studier om elevers forståelse og læring på højere klassetrin, fx om læring af ligningssystemer (Jérôme, Beisiegel, Miranda og Simmt, 2009). I størstedelen af den didaktiske forskning indfører man ligninger som en generalisering af aritmetikken, og de metoder, man anvender til ligningsløsning, er baseret på modeller, der hviler på aritmetikken (Lins, 1992, Filloy og Rojano, 1984, Herscovics og Linchevski, 1991). Dette fører imidlertid til et ”didaktisk brud” for eleverne, når de modeller, der anvendes til aritmetiske ligninger, ikke længere slår til i løsningen af algebraiske ligninger. Andre studier har vist, at det måske netop er denne aritmetiske tilgang og de meget konkrete modeller, der fører til, at eleverne oplever problemer, når de møder ligninger, som ikke kan løses vha. disse modeller (Pririe og Martin, 1997). I dette læringsspor anvendes den traditionelle tilgang, og selvom gymnasieelever ikke forventes at have brug for konkrete modeller, er nogle af disse nævnt som en mulig stilladsering for svage elever.

Hvad fortæller ligningen?

Lins (2002) beskriver fem forskellige forståelser af en ligning og forklarer, hvilke muligheder man har for at gribe løsning af ligningen an i hvert tilfælde. En ligning som fx $3x + 10 = 100$ kan være:

1. en betingelse, der skal være opfyldt
2. en ligevægtssituation
3. en funktionsmaskine
4. en sammenhæng mellem det hele og de enkelte dele
5. en relation mellem symboler, tal, en variabel, nogle regneoperationer og et lighedstegn.

I 1) har man ikke andre muligheder end at gætte sig frem og eventuelt tjekke efter, at gættet var rigtigt. I 2) kan man både tilføje og fjerne ting på begge sider, men modellen gør, at de indgående værdier må være positive. I 3) har man en opskrift over, hvad der skal beregnes, og den kan man foretage baglæns. I 4) kan man fx dele det hele op i enkeltdele og sammenligne. Endelig er 5) en algoritme, der følger bestemte regler, og som fungerer uafhængigt af en eventuel model eller kontekst.

Flere typer af ligninger

Det er ikke alle ligninger, der kan forstås på alle de fem måder, Lins beskriver. Man kan opdele ligninger i forskellige kategorier (Vlassis, 2002):

• De aritmetiske ligninger
  • Konkrete aritmetiske ligninger: Denne type ligninger indeholder kun naturlige tal, og den ubekendte forekommer kun en gang.
            fx $x + 2 = 6$
  • Abstrakte aritmetiske ligninger: Også her forekommer den ubekendte kun på den ene side af lighedstegnet, men ligningen kræver manipulationer pga. tilstedeværelsen af enten negative tal, eller fordi den ubekendte forekommer flere gange.
            fx $-x = 7$, $3x - 4 = -10$, $x + 3x + 8 = 16$ eller $3(x + 4) +2 = 29$
• De ikke-aritmetiske ligninger
  • Præ-algebraiske ligninger: Ligninger, hvor den ubekendte forekommer på begge sider af lighedstegnet, og som kan forstås i konteksten af en model.
            fx $2x + 5 = x + 7$ i ligevægtsmodellen eller i tændstikmodellen.
  • Algebraiske ligninger: Tal og symboler refererer ikke længere tilbage til en model.
            fx $2x – 4 = 3(5 - x)$

Denne opdeling afspejler forskellen på aritmetik og algebra. I aritmetik eksisterer symboler ikke som andet end pladsholdere for et tal – et tal, som man fx kan finde ved at gætte og tjekke, eller som man finder ved at regne baglæns. I en algebraisk fortolkning vil eleven ikke straks se symbolet som et tal, der skal findes, men som et tal, hvis konkrete værdi man godt nok ikke kender, men som man kan foretage beregninger med. De præ-algebraiske ligninger kan opfattes som et mellemstadium, hvor eleven kan foretage beregninger på den ukendte værdi og på samme tid fastholder forbindelsen til en konkret model, fx vægt-modellen.

I dette læringsspor arbejder vi især videre med de to forståelser 3) og 5) og de løsningsmetoder, man benytter her; nemlig regn baglæns og reducer og isolér, jf. Lins (2002). De benyttes til løsning af hhv. aritmetiske og ikke-aritmetiske ligninger.

Mange studier viser, at brugen af kontekster hjælper eleverne med at forstå, hvad en ligning beskriver, og hvordan løsningen skal fortolkes. Samtidig er det dog også vigtigt, at eleverne kan glemme de indgående symbolers betydning under omformninger. Arcavi (1991) beskriver begrebet symbolsans, og hvordan det er en af symbolernes styrker, at man også kan glemme den konkrete kontekst, mens man foretager omformninger, for at man kan arbejde hurtigt og effektivt. Først i den afsluttende fortolkning er det nødvendigt at vide, hvad x er.

Brug af repræsentationer

Der bliver i læringssporet fremhævet brugen af forskellige repræsentationer både til forståelse af ligningsbegrebet og ved løsningen af dem. Dette hviler bl.a. på de resultater, Jérôme, Beisiegel, Miranda og Simmt (2009) beskriver, om hvordan gode kontekster kan hjælpe elever med at forstå, hvad et ligningssystem er, og hvilke variable det er nødvendigt at indføre. I samme studie viser de også, at brugen af grafiske og algebraiske repræsentationer sammen hjælper eleverne med at fortolke deres løsning og med at komme videre med den algebraiske løsning, hvis de går i stå.

Læringsvanskeligheder

I algebra, herunder ved ligningsløsning, beskriver forskningen forskellige typer læringsvanskeligheder. Duval (2006) beskriver, hvordan det kan volde elever kognitive problemer at skifte repræsentation. Der er grundlæggende tale om to forskellige typer problemer, afhængigt af om man forbliver inden for den samme type repræsentation, eller om man skifter til en helt anden repræsentationstype. Et eksempel på førstnævnte skifte er omformninger af en ligning til andre ækvivalente ligninger. Ligningen er hele tiden opskrevet algebraisk, men de ækvivalente ligninger er forskellige. Det er en anden situation, når man skifter fra fx en algebraisk beskrivelse til en grafisk beskrivelse af en ligning og løser den ved at finde skæringspunktet mellem to linjer. Et eksempel på den type problemer, der opstår, når man går fra én repræsentationstype til en anden, fx i oversættelsen mellem en sproglig beskrivelse og en symbolsk repræsentation, er beskrevet af Clement, Lochhead og Monk (1981). Nogle elever bruger sprogets syntaks, når de oversætter til symboler, ved at oversætte ord for ord og i den rækkefølge, ordene kommer. For eksempel vil en sådan elev oversætte situationen herunder til udtrykket $5C = 4L$ ved at oversætte ord for ord:

På Margrethes café er der 5 mennesker, som drikker cappuccino for hver fire, som drikker latte. Kald antallet af mennesker, der drikker cappuccino for C og latte for L og opskriv sammenhængen mellem C og L.

Andre elever vil nok vide, at der må være flest, som drikker latte. Men de kommer alligevel frem til samme forkerte resultat, fordi hvert af de 5 C’er ikke bliver set som værdien af en variabel, men mere som et billede på en cappuccinodrikker, så der ubevidst sættes et lighedstegn mellem cappuccinokopper og latteglas på Figur 7.

En sidste vanskelighed ved ligninger og ligningsløsning, der skal nævnes her, er at forstå og løse ligninger med negative tal og ubekendte samt ligninger med negative løsninger som beskrevet i Vlassis (2002). Her undersøges en hollandsk 8. klasse, og det viser sig, at mange elever har problemer med at løse ligninger, der er beskrevet algebraisk, når enten et af tallene eller en ubekendt er negativ. Dette gælder for både aritmetiske og ikke-aritmetiske ligninger. En typisk fejl, som elever gør, er at løsrive minustegnet fra tallet eller den ubekendte og at handle med tallet eller den ubekendte, som hvis de var positive. En anden typisk fejl er at fjerne et negativt tal ved at subtrahere leddet fra begge sider af lighedstegnet, hvilket kan ses som en overgeneralisering af at fjerne med støtte i konkrete materialer, såsom vægte eller kuverter og mønter. Nogle elever har også svært ved ligninger med negative ubekendte såsom $-x = 7$. Elevernes vanskeligheder skyldes ofte, at de ikke forstår disse typer af ligninger – måske fordi de ikke kan modellere dem med konkrete materialer, og at de ikke kan løse dem ud fra deres erfaringer med tal og beregninger (Filloy & Rojano, 1989; Vlassis, 2002).

Begrebsdannelse

Der er udviklet flere teorier om, hvordan vi lærer matematiske begreber. Sfard (1991) har udviklet en sådan teori ud fra studier af elevers og studerendes læreprocesser og den matematikhistoriske udvikling af begreberne. Teorien kan sammenfattes i en såkaldt proces-objekt-model. Her beskriver vi teorien i forhold til ligningsbegrebet, men den er relevant for mange matematiske begreber. Ifølge teorien har ligningsbegrebet en indbygget dobbelthed mellem at være en proces og at være et objekt. En ligning udgør en proces, når man indsætter en værdi på den ubekendtes plads og beregner resultatet, eller når man isolerer x gennem en række beregninger, hvor hver beregning er afhængig af, hvilke valg man foretog i forrige beregning. Ser man derimod ligningen som en generel betingelse – fx af formen $ax + b = cx + d$, der ved hjælp af en række trin, som stammer fra tallenes algebraiske struktur, eller som et par af rette linjer i et koordinatsystem, hvis beliggenhed i koordinatsystemet afhænger af værdierne af a, b, c og d – så opfatter man ligningen som et objekt. Objekter kan man handle på, og ligninger kan fx adderes eller multipliceres med en konstant, og det giver nye ligninger. Modellen bygger på fire antagelser:

1. Procesforståelse går forud for objektforståelse ved læring af matematiske begreber.
2. Den læreproces, der danner et matematisk begreb med denne proces-objekt-dobbelthed, forløber gennem tre trin: 1) Internalisering, 2) Kondensering og 3) Tingsliggørelse (reifikation).
3. Fuld forståelse af et matematisk begreb omfatter både proces- og objektforståelse af begrebet og det at kunne skifte fleksibelt mellem dem.
4. Proces- og objektaspekterne kan ikke udvikles samtidig, men må opfattes som komplementære i læreprocessen.

Lang de fleste elever har opnået en (delvis) procesforståelse af en ligning i grundskolen, og læringssporet støtter derfor primært udviklingen af elevernes objektforståelse. I fase 1 støttes eleverne i den afsluttende internaliseringsfase, så de i faserne 2-4 først kondenserer ligningsbegrebet og derefter tingsliggør det, så en ligning bliver et objekt. Ved kondenseringen opfatter eleverne stadig ligningen som en proces, men ved at indføre den grafiske løsning og sammenholde den med løsning ved beregning får eleverne forståelsen af, at der ikke blot er tale om en serie af handlinger, der udføres for at isolere x eller tegne en graf. I fase 3 arbejder eleverne med ækvivalente ligninger, og her begynder tingsliggørelsen. Endelig sluttes der i fase 4 af med, at eleverne ”gør noget med ligningerne”; nemlig indsætter andre ligninger i dem (substituerer) eller lægger dem sammen for at opnå lige store koefficienter.

Brug af digitale værktøjer

Brugen af et dynamisk geometriværktøj gør det mulig for eleverne at undersøge begrebet ækvivalente ligninger og forskellige løsningsmetoder og sammenhængene mellem dem. Forskningen giver inspiration til, hvordan digitale aktiviteter kan designes, så de kan støtte elevernes udvikling af begrebsforståelse (Doorman et al., 2012). Det er imidlertid også velbelyst i forskningen, at når elever arbejder med et digitalt værktøj, så involverer det et samspil mellem den proces, hvor eleverne lærer værktøjet og dets funktioner at kende og den proces, hvor de lærer at bruge værktøjet som redskab til at løse matematiske problemer. Det er en kompleks og tidskrævende udvikling, der kaldes for instrumental genese (se fx temaet om Digitale teknologier). Når et digitalt værktøj skal bruges af eleverne som instrument til at undersøge matematiske sammenhænge, forudsætter det således en sådan instrumentel genese.