Tilgang – At addere etcifrede tal

Læringssporet tager udgangspunkt i problemer fra elevernes hverdag, som kan løses med addition og/eller subtraktion. Man kalder dem også for additive situationer (se Grundlag eller temaet ”At regne med etcifrede tal”). Der er fire sådanne situationer:

Læg til- og del-helhed-situationerne minder om hinanden. Forskellen er, at der ikke sker ændringer i Sofies slikmængde i del-helhed-situationen, mens det gør der i læg til-situationen; her får Sofie 6 bolcher. Træk fra-situationen kan løses ved fx at bruge, at addition er den modsatte regneart til subtraktion. En elev kan fx tænke ”Jeg ved, at 2 + 6 = 8, så derfor har Sofie 2 stykker slik tilbage”. Den kan også løses ved at tælle videre fra 6 til 8, altså ved tæl op (se grundlaget i læringsspor ”At subtrahere flercifrede tal”). De fire typer af situationer skal ikke alle nødvendigvis indgå i dette læringsspor, men eleverne bør møde alle typer og deres variationer (se Grundlag), når de senere skal addere og subtrahere flercifrede tal. Variationerne kan også bruges til at gøre en situation lettere eller sværere og dermed differentiere undervisningen.   

De to vigtige idéer i dette læringsspor er:

1. De strategier til addition af etcifrede tal, som en klasse i fællesskab kan udvikle.
2. De repræsentationer, der kan støtte eleverne i at udvikle deres tænkning om addition. ”

Læringssporet bygger videre på elevernes erfaringer med tallene og med at tælle fra børnehaven, 0. klasse og deres hverdag. Forskning viser, at når elever støttes i at bruge tallene og at regne hjemme og i skolen, så følger langt de fleste elever den samme udvikling eller progression i deres måder at addere etcifrede tal. Progressionen går fra, at eleverne bruger tællestrategier, til at de bruger tænkestrategier (se Grundlag for flere detaljer). I læringssporet er der fokus på fire overordnede tælle- og tænkestrategier, som er eksemplificeret ud fra læg til-situationen: Sofie har 8 lakridser og får 6 bolcher mere af sin ven Jonas. Hvor meget slik har Sofie?  

Det kræver et stort spring for eleverne at gå fra tæl alle til tæl videre. Det kræver bl.a., at eleverne ikke kun ser tal som noget, de tæller med, men også ser tal som et objekt, de kan tælle. Denne udvikling er central, fordi eleverne så kan gøre noget med tallene, såsom at addere dem og dele dem op i summer, hvilke er vigtige forudsætninger for, at de kan udvikle talforståelse og tænkestrategier.

Elever udvikler tænkestrategier ved at bruge resultater af additionsstykker, som de kan huske. Det kan være resultater af fordoblinger (som 6 + 6 = 12) og additioner af små tal (som 2 + 3 = 5) eller med 1 (som 1 + 2 = 3). Det er derfor vigtigt, at læreren støtter eleverne i at huske sådanne resultater. Derudover er der tre (yderligere) forudsætninger for, at eleverne kan udvikle byg 10 og andre tænkestrategier, nemlig at eleverne kan:

1. dele tal op i summer, fx 8 = 4 + 4 og 8 = 7 + 1.

2. finde tier-venner, fx 6 + 4 = 10 og 5 + 5 = 10.

3. finde summen af 10 og et etcifret tal, fx 10 + 4 = 14, 10 + 7 = 17.

Det er vigtigt, at en klasse opbygger et bredt repertoire af tænkestrategier, som indeholder de to hyppigste og mest effektive strategier: byg 10 og brug fordoblinger. Byg 10 kan støtte elever i at forstå vores talsystem og i at udvikle strategier, når de senere skal regne med flercifrede tal. Brug fordoblinger kan være let for elever at bruge, når addenderne er næsten lige store, fordi de ofte kan huske det dobbelte af etcifrede tal. Udover at opbygge et repertoire af strategier skal klassen også lære at vælge en (eller flere) af disse strategier og tilpasse den en situation eller et additionsstykke. Klassen skal med andre ord lære at addere fleksibelt. Det er vigtigt, at læreren er opmærksom på, at elevernes valg af strategi afhænger af flere ting, bl.a. hvad der er ukendt i stykket (fx resultatet i læg til-situationen med Sofie), hvilke tal der indgår, og hvordan stykket repræsenteres (fx mundtligt som et regneudtryk). Klassen skal ikke trænes eller opfordres til at bruge bestemte strategier til bestemte additioner, da de så ikke lærer at vælge og tilpasse en strategi. Læreren kan i stedet tale med klassen om, hvilke strategier der er smarte til at løse bestemte stykker, og de kan begrunde, hvorfor nogle strategier er smartere end andre.

Der ses en tendens til, at lavt præsterende elever oftere bruger tællestrategier end tænkestrategier, mens højt præsterende elever ofte bruger tænkestrategier. Læreren skal derfor være opmærksom på elever, der fortsætter med at løse additionsstykker ved at tælle – også når tallene bliver større. Det kan være udtryk for, at eleven har vanskeligt ved at udvikle tænkestrategier og har brug for en særlig indsats. Ellers kan eleven risikere at stagnere i sin faglige udvikling og at få vanskeligheder senere, når klassen skal lære om fx brøker, decimaltal og algebra.

Progressionen fra at bruge tællestrategier til at bruge tænkestrategier udfordrer en idé om, at elever skal lære at addere etcifrede tal ved at huske resultater udenad og at træne summer, fx 3 + 4 = 7. Anbefalingen er altså ikke, at læreren træner summer med eleverne med henblik på at huske resultater udenad, men at læreren bygger videre på det, eleverne kan: at tælle. Læreren skal dog forsat støtte eleverne i at kunne huske resultater af stadig flere additionsstykker, men det skal ske gennem elevernes deltagelse i udvikling af strategier og gennem deres forståelse af de situationer, som de arbejder med.

Det er hensigten, at eleverne gradvist udvikler deres måder at repræsentere deres strategier og tænkning om addition. I starten af læringssporet kan klassen med fordel bruge en bred vifte af forskellige konkrete materialer, som fx deres fingre, kastanjer og centicubes. Eleverne kan bruge de konkrete materialer til at modellere en situation, så de gennem deres beskrivelse af situationen og dens kontekst udvikler en forståelse af, hvad den handler om. Situationens kontekst er vigtig for, at eleverne kan tænke meningsfuldt om situationen og en løsning af den. Eleverne kan også bruge de konkrete materialer til at udvikle andre løsningsstrategier, fx tæl videre.

Når klassen er fortrolig med at modellere og løse hverdagsproblemer med konkrete materialer, kan læreren introducere tier-rammen eller en lignende repræsentation. Fx en kugleramme med fem kugler i to forskellige farver på hver række, men det er en fordel, hvis repræsentationen på sigt kan tegnes og bruges sammen med tal og regneudtryk. Som det ses i boksen til højre, støtter tier-rammen eleven i at dele 6 op i 4 + 2 og lave en tier i den øverste ramme ved at flytte 2. Tier-rammen kan også støtte elever til at opdele 8 i 7 + 1 og flytte 1 til den nederste ramme, så stykket omskrives til 7 + 7. Tier-rammen kan altså støtte eleverne i at tænke om situationen på nye måder og at udvikle nye strategier til at løse den. Efterhånden som klassen bliver fortrolig med at bruge tier-rammen, kan læreren introducere tal og regneudtryk i relation til tier-rammen og opfordre eleverne til også at tænke i tal og regneudtryk. I den sidste del af læringssporet skal klassen gradvist løsrive sig fra tier-rammen og tænke addition ud fra tallene i et regneudtryk og repræsentere deres tænkning med noter i stil med: 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

Der er forskel på, hvornår elever er klar til at bruge nye repræsentationer. Læreren skal være opmærksom på disse forskelle og lade eleverne arbejde med repræsentationer, som falder dem naturlige. Omvendt vil der være elever, der ikke skifter til andre repræsentationer på egen hånd, og læreren må derfor vurdere, hvornår det er hensigtsmæssigt at skifte for klassen og den enkelte elev, fx til regneudtryk.

Fase 1 tager udgangspunkt i klassens erfaringer med tallene og med at tælle og samle bunker af genstande. Hensigten er, at klassen videreudvikler deres tællestrategier og især udvikler tæl videre. Det kan klassen gøre ved at arbejde med hverdagsproblemer, som de kan modellere og løse med konkrete materialer, såsom deres fingre, kastanjer og centicubes. I fasen er det vigtigt, at klassen får mulighed for at bruge en bred vifte af konkrete materialer, og at de i starten bruger dem, der falder dem naturligt – det vil ofte være deres fingre. Læreren skal være varsom med for hurtigt at fokusere på bestemte repræsentationer.

I fase 2 arbejder klassen også med hverdagsproblemer. Hensigten er, at klassen udvikler de tre forudsætninger, der er nødvendige for, at de kan udvikle tænkestrategier: at dele tal op i summer, at finde tier-venner og at addere 10 og et etcifret tal (se tænkestrategier). Den første forudsætning er særlig vigtig. For at støtte klassen i at udvikle denne kan læreren introducere tier-rammen og hjælpe eleverne med at bruge tier-rammen til at tænke om og løse hverdagsproblemer ved at dele tal op på forskellige måder (se også Grundlag).

I  fase 3 arbejder klassen også med hverdagsproblemer, men nu med fokus på at udvikle tænkestrategier. Det er vigtigt, at klassen opbygger et bredt repertoire af sådanne tænkestrategier, der bl.a. omfatter byg 10 og brug fordoblinger. Klassen kan støtte sig til tier-rammen i deres arbejde, men kan med fordel også støtte sig til tal og regneudtryk sammen med rammen.

I fase 4 arbejder klassen mest med additionsstykker, der er skrevet som regneudtryk. Der er fokus på, at klassen fortsat opbygger deres repertoire af tænkestrategier, men særligt på at de kan vælge en strategi fra deres repertoire og tilpasse den et additionsstykke. Sigtet er altså, at eleverne kan addere fleksibelt med brug af tænkestrategier og støtte i regneudtryk. Klassen skal derfor have mulighed for at vise, forklare, sammenligne og tale om deres strategier – særligt med fokus på, hvilke strategier der er smarte at bruge til bestemte stykker og begrunde hvorfor.

Eleverne kan have behov for at bruge velkendte strategier og repræsentationer, som de er trygge ved, når de møder nye problemer. Det kan betyde, at nogle elever har brug for at gå frem og tilbage mellem de fire faser, så de i nogle situationer bruger det at tælle, mens de i andre situationer kan tænke sig til løsningen ved at se på tallene. Det skal læreren selvfølgelig være opmærksom på og særligt på, om den enkelte elev generelt udvikler sig fagligt.

Læringssporet giver en klasse mulighed for at udvikle et fundament for at forstå og addere etcifrede tal. Herfra er der flere muligheder for deres videre arbejde (se oversigten):

• Klassen kan udvikle strategier til addition af flercifrede tal, fx ved at videreudvikle byg 10: 15 + 17 = 15 + 5 + 12 = 20 + 12 = 32 eller udvikle dele op strategier: 15 + 17 = 10 + 10 + 5 + 7 = 20 + 12 = 20 + 10 + 2 = 32 (se temaet "At regne med flercifrede tal").
• Klassen kan udvikle strategier til subtraktion af et- og flercifrede tal (se læringssporet ”At subtrahere flercifrede tal” og temaerne ”At regne med etcifrede tal” og ”At regne med flercifrede tal”).
• Klassen kan opdage algebraiske love, fx 3 + 8 = 8 + 3 (den kommutative lov) eller (8 + 7) + 3 = 8 + (7 + 3) (den associative lov).