Grundlag – At subtrahere flercifrede tal

Læringssporet bygger på forskning i subtraktion af flercifrede tal, særligt på Baroody og Porpura (2017), Beishuizen og Anghileri (1998), Clements og Sarama (2021), National Research Council (2001), Fuson (2003), Hickendorff m.fl. (2019), Selter (1998) og Verschaffel m.fl. (2007). To resultater fra denne forskning er vigtige for læringssporet. Det første resultat handler om elevers udvikling af subtraktionsstrategier for etcifrede tal, da de danner udgangspunkt for elevernes udvikling af strategier til flercifret subtraktion. Det andet resultat angår den relativt nye forskning i brug af den åbne tallinje, der har vist sig hensigtsmæssig i regning med tal – både naturlige tal og brøker.

De tre strategier i progressionen er:

1. Tag væk:
   En elev løser fx $8 - 5$ ved at tælle $8$ op med konkrete genstande og dernæst fjerne $5$ af disse genstande. Resultatet findes ved at tælle de genstande, der er tilbage. Eleven kan også tegne $8$ små cirkler (som i Figur 14) og dernæst fjerne $5$ af dem og finde resultatet ved at tælle, hvor mange der er tilbage.  
2. Tæl op og tæl ned: 
   En elev løser fx $8 - 5$ ved at tælle op fra $5$ til $8$, fx ved at bruge fingrene som i Figur 14. Eleven kan også tælle $5$ ned fra $8$, fx ved at bruge fingrene som i Figur 14. 
3. Tænkestrategier:
   Elever udvikler ofte tænkestrategier ved at lave ukendte subtraktionsstykker om til nogen, de kender eller kan huske. De fleste elever husker let subtraktion med $1$, fx $4 - 1$, $8 - 1$, og subtraktion med små tal, fx $5 - 3$, $3 - 2$. Det, eleverne husker, påvirker ofte den tænkestrategi, de udvikler i en given situation (Fuson, 2003). De mest hyppige og effektive tænkestrategier for etcifret subtraktion er (Fuson, 2003; National Research Council, 2001):
   • Op til 10: Strategien kan ses som en videreudvikling af tæl op, hvor eleven bruger $10$ som mellemstation. I Figur 14 løser eleven $15 - 9$ ved først at finde afstanden fra $9$ til $10$ og dernæst afstanden fra $10$ til $15$, så $1 + 5 = 6$. 
   • Ned til 10: Strategien kan også ses som en videreudvikling af tæl ned, hvor eleven bruger $10$ som mellemstation. I Figur 14 løser eleven $15 - 9$ ved først at finde afstanden fra $15$ til $10$ og dernæst afstanden fra $10$ til $9$, så $5 + 1 = 6$.
   • Fordobling: Eleven kender det dobbelte af fx $7$ i stykket $13 - 7$ i Figur 14, bruger dette til at lave stykket om til et velkendt $7 + 7 = 14$ og kompenserer ved at subtrahere $1$ fra $7$ (som i Figur 14). 

I etcifret subtraktion spiller det, at eleverne kan huske flere og flere resultater, en væsentlig rolle. Det gør det ikke i flercifret subtraktion, da der er for mange resultater at huske. Det er derfor nødvendigt, at eleverne lærer at beregne resultatet (Hickendorff et al., 2019; Verschaffel et al., 2007). Det centrale spørgsmål er således, hvordan eleverne skal tænke og handle med tallene for at finde resultatet?

Læringssporet giver et svar på dette spørgsmål, som handler om:

• at tage udgangspunkt i de tre måder at tænke om flercifret subtraktion, som ligger i direkte forlængelse af elevernes tidligere tænkning: direkte subtraktion ligger i forlængelse af tag væk, indirekte addition ligger i forlængelse af tæl op og op til 10, og indirekte subtraktion ligger i forlængelse af tæl ned og ned til 10.
• at knytte disse tre tænkemåder til de tre mest almindelige strategier for subtraktion. I læringssporet knyttes alle tre tænkemåder til sekventielle strategier og kompensationsstrategier, mens kun direkte subtraktion knyttes til opdelingsstrategier.

Idéen i læringssporet er, at en klasse opbygger et bredt repertoire af disse strategier til at subtrahere flercifrede tal, og at de kan udvælge og tilpasse en (eller flere) af dem til en bestemt situation eller subtraktionsstykke – altså at eleverne lærer at subtrahere fleksibelt med støtte i tal og regneudtryk. På et senere klassetrin kan klassen udvide deres repertoire med cifferbaserede algoritmer. Det er dog vigtigt, at eleverne opmuntres til og gives muligheder for i løbet af deres skoletid at trække på deres brede repertoire af strategier til subtraktion.

Hollandske forskere har foreslået den åbne tallinje som en vigtig repræsentation til at støtte elevernes udvikling af regnestrategier, særligt til flercifrede beregninger (se fx Beishuizen & Anghileri, 1998; Selter, 1998). Den åbne tallinje er relativt ny sammenlignet med andre velkendte repræsentationer såsom centicubes og tierstænger. Vi afrunder læringssporet med at fremhæve fem fordele ved den åbne tallinje, som denne forskning peger på:

• Den åbne tallinje kan støtte eleverne i at udvikle uformelle strategier, da den er baseret på at tælle. Den er derfor et nødvendigt og godt supplement til fx centicubes, tierstænger og andre base 10-materialer, der fokuserer på at dele op og samle i grupper af tiere.
• Udover at eleverne kan bruge den åbne tallinje til at vise, hvad de har tænkt, kan tallinjen også støtte dem i at udvikle deres tænkning om fx subtraktion. Eleverne kan altså opdage og udvikle nye strategier til subtraktion ved at bruge den åbne tallinje, samtidig med at den gør det let for eleverne at vise og forklare deres strategier til klassen.
• Den åbne tallinje er nem at bruge: (1) Den er intuitiv, da den ligger i forlængelse af andre repræsentationer som tallinjen, lineal, målebånd, centicube-stænger og centicube-linealer, (2) den kræver ikke tung eller svær notation, og (3) den baserer sig på talfakta, som eleverne kan huske eller let kan genkalde sig.
• Den åbne tallinje giver mulighed for, at eleverne kan være på forskellige stadier i deres strategiudvikling, fx at tælle eller at hoppe på stadig mere avancerede måder. Dermed støtter den åbne tallinje differentiering af undervisning, samtidig med at den også støtter kommunikation og samarbejde i en klasse.
• Den åbne tallinje er en central aritmetisk model, der rækker ud over de fire regnearter med de naturlige tal. Den er også velegnet til at arbejde med brøker, procenter, forhold, decimaltal osv. Sagt med andre ord er den åbne tallinje en repræsentation, som en klasse kan støtte sig til i deres videre arbejde med andre matematikfaglige emner.