Praksis – At subtrahere flercifrede tal
De tidsmæssige rammer
I de fleste klasser vil det være passende at begynde læringssporet først i 2. klasse og lade det strække sig over 2-3 forløb af 1-2 ugers varighed til slutningen af 2. klasse eller første halvdel af 3. klasse. I hvert forløb kan det være en god idé at supplere det faglige indhold med lege, spil og andre aktiviteter, som giver eleverne mulighed for at få yderligere rutine i at subtrahere tallene op til 20 og erfaringer med de strategier, som de har udviklet.
Det faglige udgangspunkt
Læringssporet bygger videre på klassens forståelser af tal og tidligere erfaringer med at addere og subtrahere. Læringssporet forudsætter, at eleverne har erfaringer med addition og subtraktion på fire niveauer (se oversigten).
Den første forudsætning er, at klassen har erfaringer med at samle naturlige tal i grupper og at dele tocifrede tal op i summer af to tal, fx $17 = 10 + 7$, $37 = 30 + 7$ og $37 = 20 + 17$.
Den anden forudsætning er, at klassen har udviklet strategier til addition af tocifrede tal. De skal kunne bruge strategier som byg 10 til at addere tocifrede tal, fx $14 + 17$: ”Jeg ved, at $17$ plus $3$ er $20$. Så $11$ mere. Det er $31$”. Derudover kan nogle elever også bruge opdelingsstrategier til addition, fx $25 + 32$: ”Jeg lægger først $20$ og $30$ sammen. Det er $50$. Så lægger jeg enerne sammen. Det er $7$, så $57$”.
Den tredje forudsætning er, at klassen kan huske resultater af subtraktioner af etcifrede tal, fx $3 - 2 = 1$, $7 - 3 = 4$, $9 - 4 = 5$. Nogle elever vil kunne huske disse resultater, fordi de ved, at subtraktion er den omvendte regneart til addition, fx at $7 - 3 = 4$, fordi $4 + 3 = 7$.
Den fjerde forudsætning er, at klassen kan subtrahere naturlige tal mindre end $20$ ved at bruge tænkestrategier såsom tag væk, op til 10, ned til 10 eller fordobling (se Grundlaget). Eleverne kan fx tænke $17 - 8$, som at ”$8 + 8$ er $16$, så en mere, altså $9$”. Eleverne vil få mulighed for at konsolidere og videreudvikle disse strategier i læringssporet.
Fase 1
I fase 1 arbejder klassen med hverdagsproblemer med støtte i konkrete materialer som ikke-standardiserede måleenheder, tierstænger, centicubes og senere tegninger. Fasen tager udgangspunkt i klassens strategier til subtraktion af tal op til 20 og støtter eleverne i at videreudvikle dem til de tre måder at tænke om subtraktion: direkte subtraktion, indirekte addition og indirekte subtraktion. Hensigten med fasen er, at klassen viser og ser forskellige måder at tænke om subtraktion, og at de taler om, hvilke måder der er smarte. Fasen er opdelt i forhold til klassens udvikling af sekventielle strategier og opdelingsstrategier, men læreren må vurdere om en mindre skarp opdeling er mere hensigtsmæssig i praksis.
Klassens udvikling af sekventielle strategier kan støttes via målingsaktiviteter. Klassen kan bruge ikke-standardiserede måleenheder med angivelse af 10’ere, såsom antalskæder, perler på en snor (hvor perlerne skifter farve for hver 10. perle) eller stænger af centicubes (hvor centicubes skifter farve for hver 10. centicube) til at måle ting og dernæst finde forskelle mellem deres måleresultater. Et hverdagsproblem kan være at finde ud af, hvem der har den mindste og den største fod i klassen, og dernæst beregne forskellen mellem disse to.
Fase 1
At løse hverdagsproblemer med subtraktion med støtte i konkrete materialer og tegninger.
Måling af fødder
I en klasse måler eleverne hinandens fødder to og to ved at bruge målestænger af centicubes (se Figur 3). Klassen sammenligner længderne af deres fødder ved at sammenligne deres målestænger og finder ud af, at Sofie har den korteste fod og Kasper den længste. Læreren klistrer den længste og korteste stang fast på tavlen (eller tegner dem).
Støttet af læreren får klassen formuleret, at for at finde forskellen mellem de to fødder skal de løse regnestykket $27 - 18 = \_\_$. Generelt har klasser – i starten af læringssporet – brug for lærerens støtte til at formulere og opskrive regnestykket for et hverdagsproblem. Eleverne kan dernæst bruge problemets kontekst som støtte til at tænke om subtraktionen. Læreren kan også vælge at vente med at formulere stykket til efter klassen har arbejdet med det og fundet en løsning.
I eksemplet arbejder eleverne to og to. De fleste makkerpar tæller antallet af centicubes mellem de to fødder; enten op fra Sofies fod (indirekte addition) eller ned fra Kaspers fod (indirekte subtraktion). For at få klassen til også at tænke på andre måder kan læreren sige:
Hvis vi nu siger, at I ikke må tælle, hvordan kan I så finde forskellen mellem længden af Sofie og Kaspers fødder? Jeg skriver, hvor mange der er ud for hver af centicubene [skriver 1, 2, 3, … , 27 ud for hver centicube på den længste stang]. I kan tænke over: Er der nogle tal, som det er smart ’at lande på’, når I skal finde forskellen mellem de to fødder [peger på stængerne på tavlen].
Ahmeds gruppe lægger stangen, der måler Sofies fod, med start i $27$ på den anden målestang og kan se, at ’Sofie-stangen’ slutter ved og dækker den tiende centicube på den anden stang, så resultatet må være $9$. Gruppen har tænkt direkte subtraktion. Sofus’ gruppe prøver at finde forskellen fra $18$ til $27$ (indirekte addition) ved at addere $10$, skrive $28$ og trække $1$ fra. Emmas gruppe adderer $2$ til $18$ og ser, at for at komme fra $20$ til $27$ skal de addere $7$ mere (indirekte addition).
Læreren udvælger nogle grupper til at vise deres strategier i en fælles klassesamtale og støtter deres forklaringer med tegninger på tavlen (som i Figur 4 til højre). Det er vigtigt, at klassen ser flere strategier. Samtidig er det også vigtigt, at læreren fremhæver strategier, hvor tiere bruges som mellemstation. Det kan læreren gøre ved at sige:
I har tænkt i nogle spændende måder at finde forskellen mellem længden af Kaspers og Sofies fødder. Da vi regnede nemmere minusstykker som $14-9$, så fandt vi ud af, at det var smart at lægge $1$ til $9$ for at få $10$, fordi vi så vidste, at vi skal lægge $4$ til $10$ for at få $14$. Så i alt skal vi lægge $5$ til $9$ for at få $14$. Det var altså smart at bruge $10$.
Nu er tallene større, så vi kan ikke lave $10$. Men Emmas gruppe har lavet $20$ ved at lægge $2$ til $18$. Det er smart, fordi $20$ ligesom $10$ er nemt at regne med. For at få $27$ skal de nemlig bare lægge $7$ til $20$.
I skal nu bruge Emmas gruppes strategi, men også andre strategier, som I synes er smarte, til at finde forskellen mellem længden af min fod og Sofies fod. Min fod er 31 centicubes, så start med at lave en centicubestang, der passer til min fod.
Det er i fase 1 vigtigt, at klassen arbejder med flere af sådanne måleproblemer, hvor det, eleverne skal måle, har et tocifret mål. Det kan handle om at bestemme forskelle i antal skridt mellem forskellige steder på skolen, forskelle i elevernes højde eller længden af deres arme målt med fx centicube-stænger eller perler på en snor. I eksemplet med måling af fødder blev en sammenlign-situation brugt, men det kan også være træk fra- eller del-helhed-situationer.
Klassens udvikling af opdelingsstrategier kan støttes ved at arbejde med træk fra- og del-helhed-situationer med støtte i centicubes og tierstænger. Det skal være situationer uden tierovergang som fx træk fra situationen:
Der er $32$ børn i svømmehallen. Efter en halv time går $11$ af dem hjem. Hvor mange børn er tilbage i svømmehallen?
Læreren kan støtte klassen i at finde ud af, hvad det er for et regnestykke, de skal løse, enten før eller efter, at de har arbejdet med hverdagsproblemet. De fleste elever vil formodentlig løse problemet ved at tænke direkte subtraktion; enten ved at tælle $32$ centicubes op og fjerne $11$ eller ved at tage $3$ tierstænger og $2$ centicubes og fjerne $1$ stang og $1$ centicube. Nogle elever vil måske løse det ved at tage $1$ tierstang og $1$ centicube i én farve og dernæst fylde op med stænger og centicubes, indtil de har $32$ i alt (indirekte addition). I en fælles klassesamtale er det vigtigt, at læreren tager udgangspunkt i en strategi, der gør det muligt for klassen at se en opdeling af $32$ og $11$ i tierstænger/tiere og centicubes/enere, og hvor det er tydeligt, at $32$ indeholder $11$, fx som i Figur 5. Ud fra en tegning som i Figur 5 kan læreren tale med klassen om, hvordan man kan se, at $11$ er i $32$, hvad der er tilbage, og hvorfor det er smart at dele op i tiere og enere. Elever, der arbejder med problemet uden at dele op og samle i grupper af $10$, skal støttes i at gøre dette. I resten af fase 1 er det vigtigt, at klassen får erfaringer med sådanne subtraktionsproblemer og med at dele tallene op i tiere og enere.
Fase 2
I fase 2 er det hensigten, at klassen lærer at bruge den åbne tallinje og veksle-pladen til at løse hverdagsproblemer knyttet til subtraktion både med og uden tierovergang. De to repræsentationer ligger i naturlig forlængelse af centicube-stænger og tierstænger/centicubes fra fase 1. De to repræsentationer kan – sammen med læreren – støtte eleverne i at udvikle deres strategier fra fase 1. Fase 2 er også opdelt i forhold til klassens udvikling af sekventielle strategier og opdelingsstrategier, og læreren må vurdere, om en mindre skarp opdeling er mere hensigtsmæssig i praksis.
Med henblik på at støtte klassens videreudvikling af sekventielle strategier kan læreren introducere den åbne tallinje ud fra en sammenlign-situation. Dette er illustreret i eksemplet, der er inspireret af Beishuizen og Anghileri (1998).
Fase 2
At løse hverdagsproblemer med subtraktion med støtte i tegninger og regneudtryk.
Introduktion af den åbne tallinje
Læreren kan introducere en situation i stil med denne:
Filip og Noa har begge været på cykeltur i weekenden. Filip har cyklet $26$ km, og Noa har cyklet $42$. Hvor mange km har Noa cyklet mere end Filip?
Situationen lægger op til at tænke om subtraktion som forskellen fra $26$ til $42$ (indirekte addition) og at hoppe på en åben tallinje. Det gør den både, fordi det mindste tal nævnes først, og fordi man nærmest ’kan se’, at løsningen er afstanden mellem tallene. Det kan være en god idé at introducere den åbne tallinje ved at involvere klassen fysisk i det, fx ved at modellere problemet med en stor åben tallinje tegnet af kridt på gulvet. Det første tal kan fx være $25$, så $26, 27, 28, 29, 30, 40$ og $42$ eller alle tallene mellem $25$ og $42$ afhængigt af klassens faglige niveau. Det er op til eleverne, hvordan de vil løse problemet.
- Nogle elever vil sikkert starte ved $26$ og tænke ”Hvor langt er der herfra til $42$?” (indirekte addition). De kan enten gå og tælle deres skridt eller begynde at lave genveje, hvor de fx hopper fra $26$ til $30$, fra $30$ til $40$ og går $2$ mere til $42$.
- Andre elever vil formodentlig starte ved $42$ og tænke ”Hvor langt er der ned til $26$?” (indirekte subtraktion). De kan også enten gå og tælle deres skridt fra $42$ til $26$ eller lave genveje, hvor de fx hopper fra $42$ til $32$, fra $32$ til $30$ og går $4$ skridt mere ned til $26$.
- Elever kan også gå og/eller hoppe $26$ skridt baglæns fra $42$, fx ved først at hoppe $20$ til $22$, dernæst $2$ mere til $20$ og $4$ mere til $16$ og aflæse resultatet (direkte subtraktion).
I en fælles klassesamtale er det vigtigt, at læreren udvælger de forskellige typer af tænkemåder og gengiver elevernes sekventielle strategier ved at tegne dem på forskellige åbne tallinjer på tavlen (som i Figur 6). Disse tegnede strategier kan bruges som afsæt for at tale med klassen om det smarte i at bruge en åben tallinje og om forskelle og ligheder mellem elevernes strategier med særligt fokus på, hvorfor det er smart at skyde genvej ved at hoppe, og hvilke slags hop der er mest smarte.
Det er en god ide, at klassen i fase 2 arbejder med andre situationer, der også lægger op til at bruge sekventielle strategier og løser dem ved brug af den åbne tallinje. Situationerne kan fx handle om afstande på løbeture, vandreture eller busture eller om, hvor langt der er mellem to personer i en kø til fx Tivoli eller bageren, eller hvor langt brikkerne er fra hinanden i et spil, fx ludo eller et andet brætspil. Situationerne kan gøres sværere ved at vælge større tal, at bruge sammenlign-situationer som i eksemplet med introduktion af den åbne tallinje eller ved at lade ændring eller startværdi være ukendt i hverdagssituationerne (se Grundlag i læringsspor ”At addere etcifrede tal” eller tema ”At regne med etcifrede tal”). Som i fase 1 er det vigtigt, at eleverne deler, forklarer, sammenligner og taler om de strategier, som de udvikler på klassen. Læreren kan støtte eleverne i at tænke subtraktion som både direkte subtraktion, indirekte addition og indirekte subtraktion og støtte dem i at skyde genveje, fx ved at hoppe en eller flere tiere, at hoppe ’smart’ ved fx at hoppe frem eller tilbage til den nærmeste tier og bruge fordoblinger eller andre opdelinger og resultater, som eleverne kan huske, og som giver mening ift. situationen.
Med henblik på at støtte klassens videre udvikling af opdelingsstrategier kan læreren introducere veksle-pladen ud fra et problem, som eleverne tidligere har modelleret med tierstænger og centicubes, fx træk fra-situationen om svømmehallen fra fase 1. I en klassesamtale kan læreren skrive de $32$ børn i svømmehallen som $3$ tiere og $2$ enere i veksle-pladen (som i Figur 7). Dernæst kan læreren sammen med eleverne tage de $11$ børn, der går hjem, væk ved at strege en tier og en ener ud (direkte subtraktion) og finde det antal børn, der er tilbage som $2$ tiere og $1$ ener, altså $21$ (som i Figur 7). Elever kan lægge centicubes i veksle-pladen i stedet for at tegne firkanter, hvilket gør det lidt lettere at løse problemer med tierovergang. Det er en god idé, at klassen arbejder med problemer uden tierovergang, indtil de fleste elever er relativt fortrolige med veksle-pladen.
Når læreren introducerer hverdagsproblemer med tierovergange, er det hensigtsmæssigt at bruge situationer, hvor genstandene ’naturligt’ er samlet i grupper af $10$. Det kan være penge (enkroner og tiere), men mange børn i dag har ikke erfaringer med kontanter. Det kan også være tyggegummipakker med $10$ stk. Både træk fra-, del-helhed- og sammenlign-situationer kan bruges, men sammenlign er de sværeste. Formålet med eksemplet er at give ideer til, hvordan læreren kan introducere at veksle.
Introduktion af at veksle
Klassen arbejder individuelt eller i makkerpar med hverdagsproblemet:
Carl har $43$ stykker tyggegummi. Han giver $15$ stykker væk til kammerater i løbet af dagen. Hvor mange stykker har han tilbage? Brug veksle-pladen til at løse problemet.
Læreren kan støtte klassen i at formulere og opskrive regnestykket ($43 - 15 = \_\_$), enten før eller efter de har arbejdet med det. Nogle elever vil formodentligt hurtigt sige: ”Det kan vi ikke. Vi kan ikke tage $5$ stykker tyggegummi væk fra $3$”. Læreren kan da sige noget i denne stil:
Lærer: Ok, hvad, siger I, problemet er?
Sara: Vi kan ikke tage $5$ væk, når der kun er $3$.
Lærer: Nå, I har lagt $43$ i veksle-pladen. Det er $4$ tiere og $3$ enere. Så skal vi tage $15$ væk. Vi fjerner en tier fra de $4$ [streger en tier ud] og så $5$ enere. Hov, I har jo ret. Vi har kun $3$ enere eller $3$ stykker tyggegummi. Så kan vi da ikke tage $5$ stykker tyggegummi væk. Hvad kan vi så gøre? Vi har stadig $3$ tiere eller $3$ pakker med tyggegummi. Kan vi bruge det til noget?
Otto: Vi åbner da bare en af pakkerne, så har vi $10$ stykker.
Lærer: Ok. Otto siger, at vi kan åbne en af tyggegummipakkerne. Skal vi prøve at gøre det sammen? Jeg tager en pakke [peger på en tier], åbner den og får $10$ stykker tyggegummi [tegner $10$ firkanter på $1$-pladsen og streger tieren ud]. Så har jeg $13$ stykker tyggegummi (se Figur 8). Kan jeg nu tage $5$ væk?
Sara: Ja. Så har du $8$ tilbage [siger det samtidig med, at læreren streger $5$ enere ud].
Lærer: Ok. Så hvad kan vi lære af det? Hvad kan vi gøre, når vi skal trække flere enere fra, end vi har? Eller flere stykker tyggegummi, end vi har?
Sara: Vi kan lave en af tyggegummipakkerne om til 10 stykker tyggegummi.
Lærer: Ja, det kan vi gøre. Det er ret smart. I matematikken siger man, at man veksler en tyggegummipakke til 10 stykker tyggegummi – eller at man veksler en tier til $10$ enere. Hvis nu Carl havde givet $27$ stykker tyggegummi væk og ikke $15$, hvor mange stykker ville han så have tilbage? Prøv at bruge veksle-pladen og det, vi lige har snakket om, til at finde ud af det.
Hvis eleverne ikke selv formulerer problemet med at tage flere væk, end der er, kan læreren introducere det. Det er centralt, at eleverne forstår dette problem, og at det kan løses ved at veksle én tier til $10$ enere. Det er også vigtigt, at eleverne i starten kan gøre det konkret, fx ved at åbne en tyggegummi pakke (eller forestille sig det) eller dele en tierstang op i $10$ enere.
I resten af fase 2 kan klassen bruge veksle-pladen til at arbejde med forskellige hverdagsproblemer med tierovergang og vise hinanden og læreren deres løsningsstrategier og sammenligne dem, indtil klassen er fortrolige med at veksle.
Fase 3
I fase 3 videreudvikler klassen deres strategier fra de forrige faser, så de kan subtrahere fleksibelt og effektivt. Eleverne kan støtte sig til den åbne tallinje og veksle-pladen, men det er hensigten, at de – i denne og den næste fase – gradvist løsriver sig fra disse repræsentationer og i højre grad bruger tal og regneudtryk. Klassen arbejder mest med subtraktioner i form af regneudtryk og ikke som hverdagsproblemer. Det betyder, at elevernes valg og tilpasning af strategi – sekventielle strategier, opdelingsstrategier og kompensationsstrategier – ikke er påvirket af konteksten omkring et hverdagsproblem, men i højere grad afhænger af tallene i regnestykket og elevernes egne præferencer. Eleverne kan derfor vælge strategier på en mere fleksibel måde end i de første to faser.
Klassen får mulighed for at videreudvikle deres strategier, når de ser forskellige strategier og får muligheder for at forklare, drøfte og sammenligne dem. Ofte opstår nye strategier, når eleverne arbejder ud fra deres egne idéer. Det bliver derfor en særlig opgave for læreren at tage fat i idéer fra elever, som rækker fremad fagligt, og gøre dem til genstand for fælles klassesamtaler. Det er væsentligt, at læreren fremhæver centrale pointer om subtraktion; særligt pointer, der relaterer sig til de tre strategier – sekventielle strategier, opdelingsstrategier og kompensationsstrategier – og til de tre tænkemåder – direkte subtraktion, indirekte addition og indirekte subtraktion. Det kan være en god idé, at klassen lærer navnene på strategierne, men ikke nødvendigvis på tænkemåderne. Eleverne kan kalde strategierne for hoppe-strategier, dele op-strategier og lav om og ret til-strategier. Her er fire eksempler, der antyder, hvordan læreren kan fremhæve centrale pointer.
Fase 3
At subtrahere fleksibelt med støtte i tegninger og regneudtryk.
Eksempel 1: Begrund at indirekte addition og indirekte subtraktion giver samme resultat
Klassen har arbejdet med et problem om en tryllekunstner, der har tryllet $29$ af $52$ kort væk. Hvor mange kort er der tilbage? Flere elever har brugt den åbne tallinje til at løse $52-29$, og af dem er mange startet i $29$ og har fundet afstanden til $52$ (indirekte addition), men der er også nogle elever, der er startet i $52$ og har fundet afstanden til $29$ (indirekte subtraktion). Læreren fremhæver dette:
Lagde I mærke til, at Solvej og hendes gruppe startede med $52$ og hoppede baglæns på tallinjen, indtil de kom til $29$, mens gruppen med Ismail startede med $29$ og hoppede forlæns på tallinjen, til de kom til $52$? Den ene gruppe bevægede sig altså baglæns på tallinjen, mens den anden gruppe bevægede sig forlæns, men de fik det samme resultat [viser med tegninger på tavlen]. Det kunne se ud som om, at man kan begynde enten ved $52$ eller ved $29$. Er det rigtigt? Hvorfor?
Eksempel 2: Sammenlign forskellige kompensationsstrategier
Klassen har arbejdet med $35 - 19$ og flere af eleverne har brugt tal og regneudtryk. Nogle elever har tænkt direkte subtraktion og brugt kompensationsstrategier, som fx Eddy og Brit (se Figur 9). Læreren fremhæver dette:
Prøv at se her. Det ser ud, som om Eddy og Britt har tænkt det samme, selv om de har skrevet det op på forskellige måder. De har begge lavet stykket om til $35 - 20$, fordi de ved, hvad det er, eller også kan de nemt regne det ud. Men så har de jo trukket én for meget fra, så derfor retter de stykket til ved at lægge den til igen [peger på hver af deres løsninger]. Hvis man skriver det som et regnestykke, så kan man skrive det sådan her: $35 - 19 = 35 - 20 + 1 = 16$. Prøv at bruge Britts måde til at regne $43 - 19$, dernæst Eddys måde og til sidst skal I prøve at skrive det, I har gjort, som et regnestykke.
Eksempel 3: Afprøv og sammenlign strategier som har fælles træk
Klassen har arbejdet med $45-13$, og flere af eleverne har tænkt direkte subtraktion og har brugt en opdelingsstrategi, fx Emma, Bo og Carl (se Figur 10). Læreren fremhæver det, som er ens i deres strategier:
Prøv at se, hvordan Emma, Bo og Carl har regnet $45 - 13$. De gør alle tre det samme: De har delt op og trukket tierne fra tierne og enerne fra enerne. Kan I se det? Emma og Bo bruger begge veksle-pladen, men Bo har skrevet med tal, hvor mange tiere og enere der er, og har ikke brugt firkanter, som Emma har. De trækker begge en tier fra – Bo krydser ud og skriver 3, mens Emma streger en firkant ud – og trækker derudover $3$ enere fra. De får begge $32$. Carl bruger ikke veksle-pladen, men han tænker på samme måde: Han trækker tieren i $13$ fra de $4$ tiere i $45$ og får $3$ tiere, altså $30$. Så trækker han enerne fra hinanden og får $2$. Han får også $32$. Hvad tænker I om disse $3$ måder at gøre det på? Hvilken er nemmest for jer at bruge? I kan prøve de $3$ måder sammen med jeres sidemakker på stykket $53 - 21$, og bagefter kan vi sammen tale om de to spørgsmål.
Fase 4
I fase 4 er det hensigten, at klassen (så vidt muligt) slipper repræsentationerne fra de forrige faser og tænker i tal og regneudtryk – også når de regner. Hvis læreren vurderer, at de fleste elever i klassen kan subtrahere fleksibelt – det vil sige, at de har et bredt repertoire af strategier, og at de kan vælge og tilpasse en af disse strategier til en situation eller subtraktionsstykke – kan læreren introducere kolonne-metoden. Denne metode bygger på de erfaringer, klassen har fået med sekventielle strategier og opdelingsstrategier i læringssporet, og samtidig rækker den fremad mod en cifferbaseret algoritme.
Hvis læreren introducerer kolonne-metoden, er det vigtigt, at læreren gør det i tæt relation til elevernes tænkning og tidligere strategier. Eksemplet kan give inspiration til, hvordan det kan gøres:
Fase 4
At subtrahere fleksibelt med brug af regneudtryk.
Introduktion af kolonne-metoden
En klasse har arbejdet med stykket $87-35$. Eleverne har både brugt sekventielle strategier og opdelingsstrategier og tænkt direkte subtraktion og indirekte subtraktion. Laura har fx delt stykket op i tiere og enere og subtraheret dem hver for sig (se Figur 11) (direkte subtraktion), mens Niels har støttet sig til den åbne tallinje og direkte subtraheret $35$ fra $87$ ved brug af en sekventiel strategi. Læreren kan tage udgangspunkt i disse to strategier og sige noget i stil med:
Prøv at lægge mærke til Lauras og Niels’ måder.
Laura har delt stykket i tiere og enere [peger på hendes udregning] og først trukket tierne fra hinanden – altså $30$ fra $80$ – og dernæst trukket enerne fra hinanden – altså $5$ fra $7$.
Niels har også tænkt i tiere og enere. Først har han trukket $30$ fra $87$ – altså trukket tierne fra hinanden – og derefter har han trukket $5$ fra $37$ – altså trukket enerne fra hinanden.
Så selv om Laura og Niels har skrevet deres udregninger forskelligt op, så har de begge først trukket tierne fra hinanden og dernæst enerne.
Jeg vil nu vise jer en tredje måde at skrive det, som både Laura og Niels har tænkt, på. Jeg skriver $87$ her og $35$ under. Så trækker jeg først $30$ fra $80$. Det er $50$. Det skriver jeg her. Så trækker jeg enerne fra hinanden, trækker $5$ fra $7$, altså $2$. Det skriver jeg her. Så i alt giver det $50$ plus $2$, altså $52$, når jeg trækker $35$ fra $87$. Det er det samme resultat, som Laura og Niels har fået.
I skal nu prøve at bruge hver af de tre måder på $47 - 25$. Regn det først på Niels’ måde, dernæst på Lauras måde og endelig på min – altså lærerens måde.
Det er vanskeligere at bruge og forklare kolonne-metoden på et subtraktionsstykke med tierovergang, fordi subtraktionen af enerne giver et negativt tal. Hvis læreren illustrerer metoden ved hjælp af en elevstrategi baseret på en kompensationsstrategi og indirekte addition, kan det imidlertid godt være, at den kan give mening for de fleste elever i en klasse. Eksemplet antyder, hvordan læreren kan gøre det.
Kolonne-metoden og tierovergang
Læreren kan vise, hvordan kolonne-metoden kan bruges til at regne subtraktioner med tierovergang, såsom $43 - 25$, ved at tage udgangspunkt i en strategi som Josefines (se Figur 12) og sige noget i stil med:
Josefine har set, at der er $2$ tiere i forskel mellem $25$ og $43$. Hun lægger derfor $20$ til $25$ og får $45$. Men så har hun lagt $2$ for meget til, og hun retter til ved at trække $2$ fra. Hun får $20$ minus $2$, altså $18$, som resultat. Kan I se det?
Denne måde at tænke på kan vi også bruge i min, altså lærerens, måde. Vi kan se, at der er $2$ tiere i forskel mellem $40$ og $20$, så jeg skriver $20$ her. Når vi ser på enerne, skal vi regne $3 - 5$. Vi skal altså trække flere fra, end vi har. Man kan sige, at vi mangler $2$ mere her [peger på $3$] for at kunne trække $5$ fra. Det kan vi skrive som $-2$. Det svarer til at Josefine går 2 skridt baglæns [peger på tegningen af hendes løsning]. Når jeg trækker 2 fra 20, får jeg også 18, altså samme resultat som Josefine.
Alternativt kan man bruge en variant af metoden, hvor man undgår subtraktion af et større tal fra et mindre. Her trækkes $20$ ikke fra $40$, men fra $43$. Så vil der stå $23-5=18$ i stedet for $20-2=18$. En tredje variant af kolonne-metoden (som dog ikke imødekommer problemet med at subtrahere et større tal fra et mindre) er at skrive vandret i stedet for lodret, fx $43-25=40-20+3-5=20-2=18$, i stil med Lauras måde i Figur 11.
Alternativt kan man bruge en variant af metoden, hvor man undgår subtraktion af et større tal fra et mindre. Her trækkes $20$ ikke fra $40$, men fra $43$. Så vil der stå $23 - 5 = 18$ i stedet for $20 - 2 = 18$. En tredje variant af kolonne-metoden (som dog ikke imødekommer problemet med at subtrahere et større tal fra et mindre) er at skrive vandret i stedet for lodret, fx $43 - 25 = 40 - 20 + 3 - 5 = 20 - 2 = 18$, i stil med Lauras måde i Figur 11.
Den lodrette opstilling af tallene i kolonne-metoden kan i kombination med en forståelse af at veksle en tier (eller en hundrede osv.), som klassen har opbygget gennem deres arbejde med veksle-pladen, senere danne grundlag for, at læreren kan introducere en cifferbaseret algoritme. Når læreren gør det, er det vigtigt at give klassen mulighed for at forstå veksle-handlingen. Det er antydet i Figur 13, hvordan elevernes forståelse af veksle-handlingen kan støttes ud fra deres arbejde med veksle-pladen. Eleverne skriver stykket op med tal i veksle-pladen (dette er en videreudvikling af brug af veksle-pladen). De finder ud af, hvad der skal veksles, og gør det og regner dernæst stykket fra venstre mod højre. I næste skridt skriver eleverne stykket op uden veksle-pladen, men laver vekslingerne, før de igen regner fra venstre mod højre. I sidste trin regner eleverne fra højre mod venstre og veksler, mens de regner.
Det er i fase 4 vigtigt, at klassen får mange muligheder for at vælge mellem og tilpasse de strategier, som de har udviklet, til situationer og subtraktionsstykker. Eleverne kan også trække på kolonne-metoden, når de er klar til det. Klassen kan dele, tale om og sammenligne deres strategier ud fra disse tre spørgsmål, som læreren kan stille dem i en klassesamtale (strategier kan eventuelt udskiftes med regnemåder):
- Er nogle strategier mere effektive eller smarte end andre? Hvorfor?
- Kan strategierne bruges til alle minusstykker eller kun til nogle?
- Passer nogle strategier bedre til nogle stykker end til andre?
Klassen kan fx arbejde med subtraktionsstykker i stil med disse tre, hvor nogle effektive strategier er antydet:
- $51 - 48$
- $48 + 2 + 1$ altså $3$ (sekventiel strategi, indirekte addition)
- $51 - 1 - 2$ altså $3$ (sekventiel strategi, indirekte subtraktion)
- $51 - 48 = 3$ (direkte subtraktion, baseret på talfakta)
- $45 - 23$
- $40 - 20 + 5 - 3 = 20 + 2 = 22$ (opdelingsstrategi, direkte subtraktion)
- $45 - 20 = 25$ og så $3$ mindre, så $22$ (sekventiel strategi, indirekte subtraktion)
- $23 + 23 = 46$. Lagt en for meget til, så $22$ (kompensationsstrategi, fordobling)
- $93 - 45$
- $45 + 45 = 90$, så $45 + 3 = 48$ (kompensationsstrategi, fordobling)
- $80 - 40 + 13 - 5 = 40 + 8 = 48$ (opdelingsstrategi, direkte subtraktion)
- $45 + 5 + 43$, så $48$ (sekventiel strategi, indirekte addition)
- $93 - 45 = 90 - 40 + 3 - 5 = 50 - 2 = 48$ (’vandret’ kolonne-metode)
