Hvis vi ønsker, at eleverne lærer og udviser matematisk tankegang, kræver det selvstændig opmærksomhed. Det kommer ikke nødvendigvis af blot at arbejde med matematisk ræsonnement, problemløsning, modellering og repræsentationer. Det er nærmere i samspillet mellem disse andre aktiviteter, samt i samspillet mellem eksempler og det generelle, at eleverne får mulighed for at udvikle matematisk tankegang. Her giver vi nogle eksempler på, hvordan der kan skabes muligheder for matematisk tankegang og hvilke vanskeligheder eleverne kan møde i den forbindelse.
Opgaver, der fokuserer på problemløsning og modellering, kan ofte få elever til omgående at gøre noget, som fx at lave beregninger eller tegne, for at finde en løsning. Hvis ikke der tages bestemte skridt for at fremme yderligere engagement, oplever eleverne sjældent motivation for abstraktion, stringens eller begrebsdannelse udover, hvad der er nødvendigt for den enkelte opgave (Watson & Mason, 2006).
Forskning peger på, at det forud for problemløsningssituationer er en god idé at lade eleverne undersøge og stille deres egne spørgsmål til problemet og de involverede begreber. Dette kan være med til at gøre dem mere nysgerrige på de involverede matematiske begreber og relationer frem for kun at fokusere på at løse problemet. I et klasserum giver en sådan indledende refleksionsrum mulighed for, at flere løsningsstrategier kommer i spil undervejs, og at efterfølgende diskussioner bliver mere indholdsrige. Her kan nye spørgsmål dukke op og nye undersøgelser blive relevante. Refleksioner over problemet, mulige løsningsstrategier og de involverede begreber og deres rækkevidder kan i højere grad blive en naturlig del af arbejdsprocessen, hvis elevernes arbejde med opgaver iscenesættes med et sådant reflektionsrum. Det kan bidrage til at bryde elevernes løsningsorienterede tilgang til arbejdet med opgaver i matematik og dermed til udvikling af deres matematiske tankegang. (Reyes-Rodriguez et al., 2017). Dette hænger sammen med at gøre den første fase, kaldet indgang, af matematisk arbejde tydelig for eleverne (se også Matematisk tankegang i forskellige faser af matematisk arbejde).
Måder, dette kan gøres på, er ved at introducere velkendte og veletablerede matematiske begreber i nye sammenhænge, hvor eleverne har mulighed for at udforske disse baseret på deres forudgående viden herom og dermed udvide begrebet, relationen eller det givne problem til nye domæner eller sammenhænge (se også Hvad er undersøgelsesbaseret matematikundervisning | Gymnasiet).
At arbejde med eksempler kan være med til at illustrere matematiske begrebers egenskaber samt relationer til andre begreber, men eksempler repræsenterer i sagens natur kun enkle tilfælde af et generelt matematisk fænomen. Når vi udvælger eksempler, som eleverne skal arbejde med, er det derfor vigtigt at gøre sig overvejelser omkring, hvilke mulige mønstre, vi ønsker eleverne skal se, og dermed hvilke erfaringer eleverne kan gøre sig på baggrund af eksemplerne. Her kan det være en fordel at tænke på rækken af eksempler, som en helhed, hvor de enkelte eksempler varierer på samme parameter, så eleverne har mulighed for at sammenligne dem, se mønstre, danne forventninger og udtrykke disse som formodninger om abstraktioner af de konkrete eksempler mod det generelle begreb (Watson & Mason, 2007). Det vil sige, at det ikke nødvendigvis kun handler om, at eleverne skal se mere end et eksempel på et givent matematisk fænomen, men også om at eksemplerne alene varierer på enkelte parametre (gerne en enkelt) ad gangen.
Tilsvarende erfaringer kan elever gøre sig, når de selv skal producere eksempler. Her bliver betingelserne for et givent matematisk begreb eller relation tydeligere og kan hjælpe eleverne med at konstruere betydningen af involverede begreber (Watson & Mason, 2005). For eksempel, ved at give elever mulige og umulige opgaver med at producere eksempler (der enten eksisterer eller ikke eksisterer) ud fra givne benspænd og betingelser, kan eleverne erfare, hvilke betingelser der er nødvendige eller tilstrækkelige for et givent begreb (Furinghetti et al., 2011).
En vigtig del af arbejdet med eksempler er også, at eleverne møder eksempler, der illustrerer ikke-tilfældet. For eksempel, hvis eleverne skal undersøge eksistensen af differentialkvotienten og dermed differentiabilitet er det en god idé også at lade eleverne arbejde med eksempler, hvor differentialkvotienten ikke eksisterer. Både at arbejde med eksempler, hvor det givne fænomen er tilfældet, og hvor fænomenet ikke er tilfældet, er med til at illustrerere det givne fænomen, fordi begge typer eksempler er med til at forbinde det enkelte med det generelle (Bardelle & Ferrari, 2011).
Elevernes formodninger og generaliseringer kan nemt være implicitte, så med en opfordring til, at de også formulerer dem eksplicit, må eleverne også forholde sig til formuleringer af matematiske udsagn. Dette hænger sammen med at gøre den sidste fase, kaldet gennemgang, af matematisk arbejde tydeligt for eleverne (se Matematisk tankegang i forskellige faser af matematisk arbejde).
Matematiske udsagn er alle formuleret ud fra nogle strengt logiske konventioner, som ikke altid stemmer overens med gængse konventioner i daglig tale. Dette giver eleverne udfordringer, når de skal fortolke og forstå udsagn som matematiske definitioner og sætninger. Derfor er det en vigtig opgave for lærere at hjælpe eleverne med at omsætte de formelle formuleringer til handlinger og termer, der kan arbejdes med (Epp, 2009). En måde at gøre dette på, er for eksempel ved at anse definitionen som en test, der skal afprøves og bestås for at afgøre, om definitionen er opfyldt i den enkelte situation, fx ved at stille spørgsmålet ”opfylder ’dette’ definitionen?” samt opfølge med ”hvorfor/hvorfor ikke?” (Epp, 2009).
Matematiske udsagn, der indeholder universaludtryk—som fx ”til enhver $x$-værdi i definitionsmængden hører en og kun en $y$-værdi” eller ”hvis en funktion $f(x)$ er differentiabel for alle $x$ i definitionsmængden, så er funktionen differentiabel med differentialkvotient $f'(x)$”, skaber ofte problemer for eleverne, fordi de har svært ved at forstå dem og omsætte udtrykkene til handlinger.
Da ”for alle” i matematiske sammenhænge ofte henviser til uendelige mængder, bliver det matematiske udsagn uoverskuelig for eleverne. Elevers argumenter for om et givent universaludsagn er sandt eller falsk hænger selvfølgelig sammen med ræsonnement og beviser (se også Tema Ræsonnementer i matematik - gymnasie), men viser netop også deres fortolkninger af de matematiske udsagn. Disse fortolkninger er en vigtig del af deres matematiske tankegang, særligt i forhold til at kunne genkende og navigere med logiske operatorer i matematiske udsagn (se Hvad er matematisk tankegang?, Hvad er matematisk tankegangskompetence?).
I forskningslitteraturen ses tilfælde, hvor elever arbejder med universaludsagn både ved at afprøve et enkelt eksempel eller en række af tilfældigt udvalgte eksempler. Altså eleverne arbejder med begreber som ”ethvert” eller ”for alle” ud fra et eller flere eksempler. Dette kan for eksempel være, at elever udleder differentiabilitet af en funktion ved kun at afprøve et par enkelte tilfældigt valgte punkter, uden sammenhæng til hvordan funktionen ser ud. Sådan en fremgangsmåde er ikke matematisk tilstrækkeligt for at forstå sådan et universaludtryk. Omvendt ses også elever, der lettere uovervejet kaster sig ud i den umulige opgave at teste udsagnet for bogstaveligt talt alle input indtil de indser umuligheden og opgiver, som det også ses i Elevdiskussion 2 i Tekst 3. Her prøver de så enten at ræsonnere sig ud af det eller at lægge sig op ad flere eksempler (Sellers et al., 2021).
Omvendt, er der for eksistensudsagn eksempler på, at et enkelt eksempel ikke anses som nok til at påvise eksistens (Tirosh & Vinner, 2004). Dette ses også ved negationen af ”for alle”, som også kun kræver ét modeksempel (Balacheff, 1986). Implikationer skaber tilsvarende udfordringer, hvor en implikation som ”hvis A, så B” fortolkes som en bi-implikation, og det dermed udledes, at ”hvis B, så A” også gælder (Shipman, 2006)
Som nævnt skyldes mange af disse fortolkninger forskellen på, hvordan ”enhver”, ”der findes” og ”hvis-så” m.v. bruges i daglig tale og hvordan de skal forstås i matematik. Flere studier undersøger sammenhængen mellem daglig tale og matematisk sprog. For eksempel, når vi negerer et universaludsagn som ”alle $x$ er $y$”, kan det både fortolkes som ”nogle $x$ er $y$”, ”nogle $x$ er ikke $y$” eller ”ingen $x$ er $y$” (Ye & Czarnocha, 2012). Derimod er det kun ”nogle $x$ er ikke $y$”, der er matematisk korrekt, hvor dette ”nogle” rettere vil være ”mindst et $x$ er ikke $y$”. Tilsvarende gælder for implikationer i daglig tale. Det er sjældent, vi til daglig hører ”hvis og kun hvis” i en sætning, selv om det nogle gange er, hvad der egentlig menes med ”hvis-så” i den givne situation (Shipman, 2006). For eksempel, ”hvis det regner i morgen, tager vi ikke til stranden” vil af mange blive forstået som, at ”hvis det ikke regner i morgen, så tager vi til stranden”, mens det logisk alene følger, at ”hvis vi tager til stranden i morgen, så regner det ikke”. Ergo, sætningen siger ikke noget om, hvad vi gør, hvis det ikke regner.
I arbejdet med at udvikle elevernes matematisk tankegang er det et relevant element at drøfte forskelle i betydninger af udtryk i dagligdags- og i matematiske sammenhænge. For at eleverne kan arbejde med og omsætte matematiske definitioner og andre udsagn som tests, der kan afprøves, kræver det, at eleverne også får mulighed for at arbejde med udsagnenes logiske opbygning, såsom universal- og eksistenskvantorer, implikationer, bi-implikationer og konjunktioner m.m. (Epp, 2009) (se også Formalisering som en del af matematisk tankegang). Dette behøver ikke være på et højt syntaksniveau med diverse logiske symboler. De fleste af de begreber og relationer, vi arbejder med i gymnasiet, kan defineres uden brug af symbolske operatorer, men kvantorerne er ofte stadig til stede i form af formuleringer i naturligt sprog (såsom for alle, til ethvert, eksisterer, der findes, og hvis… så…).
til: GYMNASIER
emne: MATEMATISK TANKEGANG
UDGIVET: 2025