Hvad er matematisk tankegangskompetence?

Matematisk tankegangskompetence dækker de kognitive processer, der er relevante for at engagere sig i matematisk undersøgelse (Niss & Højgaard, 2019). Tankegangskompetencen opleves af mange som sværere at få greb om end de andre kompetencer. Nogle gange er den ligefrem blevet anset som en del af eller helt forvekslet med ræsonnementskompetencen. Pointen med at definere tankegangskompetencen som en selvstændig kompetence er at tydeliggøre, at dens indhold ikke er en del af at ræsonnere matematisk, men nærmere en del af at reflektere over og undersøge matematiske spørgsmål, objekter, størrelser og strukturer.

Indholdet i kompetencen (Niss & Jensen, 2002; Niss & Højgaard, 2019) kan inddeles i fire aspekter, som alle handler om at engagere sig i matematisk undersøgelse (Pedersen, 2024)

1) Aspektet om spørgsmål og svar

Aspektet om spørgsmål og svar er at kunne genkende og stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik, samt at have blik for, hvilke typer svar, der kan forventes til sådanne spørgsmål.

Karakteristiske matematiske spørgsmål kan have formuleringer som:

”Eksisterer der ligninger uden en løsning?”, ”Hvis ja, under hvilke betingelser” og ”Hvor mange?”
”Er alle naturlige tal også rationale tal?”
”Hvis en funktion er kontinuert, er den så også nødvendigvis differentiabel?” og ”Er det muligt, at en funktion er differentiabel og ikke kontinuert?”
”Hvis A medfører B, gælder det så også, at B medfører A?”

De typer svar, der forventes til sådanne spørgsmål, er ikke kun det ”ja” eller ”nej” eller et givent tal, der svarer direkte på spørgsmålet. Et matematisk svar indeholder også ræsonnementet bag, og hvad et ”ja” eller ”nej” kan udledes af. Fx

”Ja, der eksisterer faktisk uendeligt mange ligninger uden løsninger”
”Ja, alle naturlige tal er rationale, fordi…”
”Nej, den er ikke nødvendigvis differentiabel, da der eksisterer kontinuerte funktioner, der ikke er differentiable, men omvendt er ikke muligt, at en funktion er differentiabel og ikke kontinuert”
”Nej, det gælder ikke nødvendigvis, at B også medfører A. Prøv fx med differentiabilitet (A) medfører kontinuitet (B), men ikke omvendt”

2) Aspektet om begrebers rækkevide

Aspektet om begrebers rækkevidde er at kunne kende og håndtere et matematisk begrebs varierende rækkevidde indenfor forskellige domæner og sammenhænge. Det vil blandt andet sige at kunne udvide eller begrænse et begreb under betragtning af begrebets egenskaber.

Rækkevidden af et begreb kan udvides, når domænet, som begrebet først er introduceret i, forstørres, som fx:

potensbegrebet over de naturlige tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal
forskellen på funktioner og vektorfunktioner
at udnytte hældningsbegrebet fra lineære funktioner til at undersøge ikke-lineære funktioner ved hjælp af tangentbegrebet og tangenthældning.
forskellen på differentiable funktioner, stykvis differentiale funktioner og ingen steder differentiable funktioner.

3) Aspektet om matematiske udsagn

Aspektet om matematiske udsagn er at kunne skelne mellem forskellige typer af matematiske udsagn, såsom definitioner, sætninger, formodninger og eksempler, samt hvilke roller disse typer udsagn har i matematisk arbejde. Dette inkluderer at kunne skelne mellem forskellige typer påstande såsom hvis-så, universal- og eksistenspåstande, og at kunne genkende og navigere med logiske operatorer i matematiske udsagn.

Dette gælder blandt andet at kunne skelne mellem:

”Definitionen på en retvinklet trekant” og ”Pythagoras’ læresætning”
”Beviset for at funktionen $f(x)=x^2$ er differentiabel” og ”at kunne bruge, at en funktion $f(x)=x^n$ har differentialkvotient $f'(x)=n \cdot x^{n-1}$”

Sådanne udsagn indeholder ofte logiske operatorer, som kan være formuleret mere eller mindre eksplicit, såsom

”En funktion er en matematisk sammenhæng, hvor der til ethvert $x$ hører et og kun et $y$"
”Differentialkvotienten eksisterer kun, hvis…”
”Der findes en og kun en løsning”

4) Aspektet om generalisering og abstraktion

Aspektet om generalisering og abstraktion er at genkende og formulere abstraktioner af matematiske begreber og generaliseringer af matematiske påstande.

Abstraktioner af matematiske begreber kan være formuleringer af:

definitioner af begreber
udpensling af betingelser

Generaliseringer af matematiske påstande omhandler derimod mere formodninger om matematiske sammenhænge, ofte udledt af arbejdet med eksempler. Det kan være formuleringer som:

”Alle trekanter har en vinkelsum på 180 grader”
”Alle funktioner er stykvist differentiable”

Hvordan tankegangskompetencen adskiller sig fra ræsonnementskompetencen, har til tider været uklart. I folkeskolens fællesmål er disse to kompetencer lagt sammen (Børne- og undervisningsministeriet, 2019), hvilket også er med til at udvaske adskillelsen mellem dem. Til dette valg, skal det dog nævnes, at der er forskel på at analysere og karakterisere matematiske kompetencer (KOM’s formål) og at designe en kompetenceorienteret læringsplan (Fællesmåls formål). Fx er der nogle praktiske udfordringer at tage hensyn til i udformningen af læreplaner. Denne sammenlægning betyder dog stadig, at tankegangskompetencens indhold har nemmere ved at ryge i baggrunden, eftersom denne kompetence kan være sværere at få greb om end ræsonnementskompetencen. For eksempel kan ræsonnementskompetencens fokus på argumenter og beviser overskygge tankegangens refleksioner og overvejelser omkring matematiks opbygning, udsagn og teoridannelse (læs mere om Ræsonnementskompetence)

Tankegangskompetencen vedrører arten af matematiske spørgsmål og svar.

Problembehandlingskompetencen fokuserer på strategier for at finde matematiske løsninger og dermed svare på matematiske spørgsmål.

Ræsonnementskompetencen angår retfærdiggørelsen af matematiske påstande, og dermed også påstande om at en given strategi kan ”levere en korrekt løsning til et problem, der udspringer af et matematisk spørgsmål”

(Niss & Jensen, 2002, p. 63).

Sagt på en anden måde, så handler tankegangskompetence om at finde ud af hvad, som i hvilken matematik, vi skal arbejde med, hvorimod problembehandlingskompetencen handler om hvordan og ræsonnementskompetencen handler om hvorfor. Matematisk tankegangskompetence vedrører refleksioner og hypoteser, der kommer før eller som følge af ræsonnement og problembehandling.

Tankegangskompetencens spørgsmål om hvilken del af matematikken, vi skal beskæftige os med, bliver særligt tydeligt i forbindelse med matematisk modellering. Når spørgsmål er udsprunget af forhold uden for matematikken, fra omverdenen eller fra andre fagområder, bliver overvejelser omkring hvilke spørgsmål og anliggender, der er af egentlig matematisk art, essentielle. I forbindelse hermed bliver det væsentligt, hvilket område af matematikken, der er relevant for at kunne udføre matematisk modellering og dermed finde relevante svar. (Niss & Jensen, 2002).

Repræsentationskompetencen og symbol- og formalismekompetencen indgår ofte som et redskab i forbindelse med tankegangskompetencen. Særligt kan formalismedelen få en central rolle i forbindelse med aspektet om matematiske udsagn og deres formalistiske opbygning. Symbol- og formalismekompetencen kan hermed blive en del af arbejdet som mere end et redskab og også blive udviklet i samspil med tankegangskompetencen (se også afsnittet om Formalisering som en del af matematisk tankegang samt afsnittet om At fortolke og formulere matematiske udsagn).

At udøve matematisk tankegangskompetence

Som det også ses i andre forståelser af matematisk tankegang (se Hvad er matematisk tankegang), handler matematisk tankegang i lige så høj grad om de overvejelser og hypoteser, man gør sig forud for problemløsning og ræsonnement, samt efter endt problemløsning og ræsonnement. Det er gennem elevernes overvejelser og hypoteser, at vi som lærere kan få adgang til deres matematiske tankegangskompetence, da de her udtrykker:

Hvilke spørgsmål og svar, de anser som relevante for et givent problem
For eksempel, når de diskuterer, hvad de skal bruge for at løse et problem, eller hvilken type svar de leder efter. (svarende til Aspektet om spørgsmål og svar.)
Hvilke betingelser og egenskaber, de lægger vægt på for et givent begreb eller en given matematisk relation
For eksempel når de diskuterer givne egenskaber, betingelser eller domæner i en opgave, og hvilke betydninger de har for svaret på opgaven. (svarende til Aspektet om begrebers rækkevidde.)
Hvordan de tolker og arbejder med matematiske udsagn, herunder opbygningen, formuleringen og de logiske operatorer
For eksempel når de arbejder med og fortolker definitioner og sætninger, som indeholder udtryk som ”for alle”, ”der findes”, ”en og kun en”, ”hvis og kun hvis”. (svarende til Aspektet om matematiske udsagn.)
Hvilke abstraktioner og generaliseringer de arbejder med
For eksempel når de udtrykker, hvordan de ser en sammenhæng mellem flere eksempler eller prøver at formulere et begreb generelt. (svarende til Aspektet om generalisering og abstraktion.)

(Pedersen, 2024)

Disse fire punkter er ikke nødvendigvis alle sammen til stede i samme matematiske situation, og de kommer heller ikke nødvendigvis i denne kronologiske rækkefølge. Nogle af punkterne kan også afspejles i samme overvejelse eller hypotese. Fx kan en formuleret generalisering ofte også indeholde elementer af at formulere et matematisk udsagn, samt indikere hvilke betingelser, eleven ser som relevante for det givne begreb.

Hvis man gerne vil have fokus på elevernes forskellige udtryk for aspekter af tankegangskompetencen, kan det være en god idé at give dem mulighed for at diskutere problemer og opgaver.

For eksempel kan diskussioner og deling af forventede løsningsstrategier give anledning til, at eleverne udtrykker hvilke spørgsmål og svar, de anser som relevante for et givent problem, samt hvilke betingelser og egenskaber, de lægger vægt på for et givent matematisk fænomen.

Derudover kan diskussioner og deling af resultater og aktualiserede løsningsstrategier muliggøre, at eleverne udtrykker hvilke abstraktioner og generaliseringer, de bygger deres arbejde på, samt hvordan de tolker, formulerer og arbejder med matematiske udsagn. Dette kan selvfølgelig også indeholde, hvilke betingelser og egenskaber, de lægger vægt på, og give mulighed for, at der opstår nye relevante spørgsmål.

Afsnittet 'Eksempel på matematisk tankegangskompetence i gymnasiet' viser et par eksempler på opgaver og aktiviteter inden for differentialregning samt elevbesvarelser, som illustrerer de fire punkter ovenfor.