Kom i gang med positionssystemer i undervisningen

Dette eksempel kan bruges til at snakke med eleverne om betydningen af matematisk notation.

Under COVID19-pandemien fandt man i efteråret 2020 en britisk mutation, kaldet 'cluster B.1.1.7.

Hvad betyder punktum her? Er det et engelsk komma? Det er det ikke – i al fald ikke i den betydning, man bruger i positionssystemet. Det er en biologisk/medicinsk teknisk navngivning af det, man populært kalder for 'den britiske mutation' af corona-virus. Navngivningen henviser til, hvor i virusstammens genom, der er afvigelser fra grundstammen. 

Medierne viste 19. januar 2021 et eksempel på, hvordan man udregner kontakttal for den britiske mutation. Der står, at princippet er 'enkelt', hvilket nok er en tilsnigelse: (Kilde 1)

Heri indgår udregning med multiplikation af decimaltal ud over en forståelse af regnearterne hierarki. Aktuelle eksempler som COVID-eksemplet kan motivere elever til at forstå positionssystemet og multiplikation.

Hvad er 4,7 dage?

Noget 'pudsigt' i eksemplet er angivelsen af 4,7 dage. Hvad mener man med det?

Det er ikke sikkert, eleverne selv bemærker, at der er noget mærkeligt her. Men artiklen bruger et base 10-positionssystem til at angive dage, som er opdelt i 24 timer, altså faktisk base 24. Hvad betyder 4,7 dage egentlig?

Mere specifikt: Hvad er 0,7 dag? Hvor mange timer ind i det næste døgn drejer det sig om?

Det kan udregnes på forskellige måder, og man må vurdere, hvad der passer bedst til ens elever:

• $7/10 = x/24$. Find $x.$
  Dvs. $24 ⋅ 0,7 = 16,8.$ Altså 16 timer og 8/10 minut. Minutter er i base 60, så vi udregner:
• $8/10 = y/60.$ Find $y.$
  Dvs. $60 ⋅ 0,8 = 48.$ Ingen rest.
• Eller i kortere form: 0,7 brugt af et døgn som er 24 timer.
  Dvs. $24 ⋅ 0,7 = 16,8.$ Samme resultat.
  
  I dette eksempel behøver vi ikke udregne sekunder, som også er base 60.

• 4,7 dage er det samme som 4 dage, 16 timer og 48 minutter. Hvordan skriver man det?
• Det kan være:
  • 16:48:00
  • (16t 48′ 0″), med t som time.
    På engelsk vil man bruge h for hour.

I artiklen om cluster B.1.1.7 udregnes kontakttallet sådan:

(Kilde 1) 

Som lærer kan man tale med eleverne om, hvad det vil sige, at noget er 74 procent mere end noget andet.

Og bemærk at procent er angivet med ord og ikke med det matematiske symbol %.

Det er også vigtigt at vide, at matematiske notationer i praksis kan variere, fx at multiplikation som her kan angives med asterix/stjerne $*$ og ikke altid en prik $⋅$. Det kan være anderledes, end det man ser i lærebogsmaterialer og give anledning til en bredere diskussion af matematiske notationer og fagsprog i skole sammenlignet med hverdagssprog.

I eksemplet ses at matematikken i høj grad indgår i medierne, men at journalister ikke er stringente i deres matematiske notation, hvilket kan være udfordrende for mange elever.

Tal bliver angivet både numerisk og med ord, nogle gange har vi slang for ordene, og nogle gange betyder ordene ikke et konkret tal, men er en metafor.

Fx i udtrykket 'Tusind tak'. Vi mener ikke 1.000 tak i bogstavelig forstand, men 'mange tak, og sikkert mere end 'mange', fx ’rigtig mange tak'.

Vi ser ofte, at tal som tusind ikke bliver angivet numerisk, men i ord.

Fx i det kendte eventyr 'Tusind og én nats eventyr'. Dette kunne også skrives 1001, men det gør vi som regel ikke.

Heller ikke i salmen 'Du, som mætted tusind munde' er tallet angivet numerisk.

I medierne er tallene heller ikke altid angivet numerisk. I en nyhed skriver 'Køge Kyst', at Stationspladsen i Køge har fået ny belægning. (Kilde 2)

Overskriften er:

'10 tusind tons sten lagt med håndkraft'

Dette er en kombination af tal angivet numerisk (10), med ord (tusind) og en vægtenhed (tons). Hvor mange sten drejer det sig om? Det står der faktisk ikke noget om – kun hvad de vejer. 10.000 tons, dvs. 10.000.000 kg. 10 millioner kg.

Hvad er lettest at forstå? Det kan være noget, man som lærer diskuterer med eleverne, eller give dem mulighed for at diskutere det indbyrdes.

Tænk også fx på udtrykket 'mega stort'. Betyder det noget meget stort, eller betyder det $10^6$?

Nogle gange er talord brugt i medierne på en måde, som ikke giver matematisk mening. Fx denne artikel fra hjertevagt.dk, der beskriver en mand, som fik hjertestop men som nu er kommet sig. (Kilde 3)

Overskriften er:  

'Tommy fik hjertestop: Jeg er tusind procent tilbage'

Procent betyder 100-del, så 1.000% er faktisk $1000/100 = 10$, hvilket ikke giver mening. Vi forstår dog fuldt ud, at meningen med sætningen er, at Tommy er kommet sig fuldstændigt.

Discountkæden Rema 1000 bruger derimod det numeriske tal i sit navn. Hos dem refererer 1000 i øvrigt til, at man kun vil tilbyde op til 1000 forskellige produkter.

Lad os se på eksempler på tal i det pladsværdisystem, vi bruger i dag: 127 og 712. Symbolerne 1, 2, 7 betyder vidt forskellige ting i de to tal. I det ene tal hentyder fx 7 til 7 1’ere (altså 7) og i det andet som 7 100’ere (altså 700). Det er, fordi vi har et titalssystem, hvor hver plads er forhåndsreserveret til en bestemt potens af 10.

Eksempel på 98.541:

Der er i Danmark konsensus om at sætte punktum efter tusinder. I fx USA sætter man komma efter tusinder i stedet for punktum, dvs. 98,541.

Romertal

I romertallene skriver man 127 som CXXVII. Da C = 100, X = 10, V = 5 og 1 = 1 er dette tal: $ 100 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 127$. Selvom der også er konventioner på, hvordan man skriver romertal, fx at det største tal skal stå til venstre, på nær når det trækkes fra, så er dette ikke et positionssystem, da fx X altid betyder 10.

Eleverne har sandsynligvis set eksempler som disse i skolen.

Anvend konkretmaterialer

En anden måde at forklare det på er gennem konkretmaterialer som træklodser eller andet fra praksis, som kan være et pædagogisk hjælpemiddel til regning, herunder 10’er-overgange og veksling:

(Kilde 4)

Eleverne kan opbygge deres talforståelse ved at bygge tal, udføre regnestykker ved at arbejde med brikkerne, samle dem, skille dem ad osv. 10 enere kan veksles til en tier, osv. Dette er en illustration af 'mente' (tidligere kaldt 'låne') i subtraktion.

Disse konkretmaterialer illustrerer, hvordan positionssystemet er opbygget, og at principperne er de samme uanset hvilke base man vælger sig. Med tallet fem som basis (femtalsystemet) har vi maks. 4 af hver enhed, så snart vi får den 5’te, veksler vi.

Tre modeller hvorpå heltal kan struktureres/illustreres:

• Linjemodel

• Gruppemodel

• Kombinationsmodel

Som grundsten for alle enhedssystemer bruges metersystemet og længde. Det udbygges i en retning til areal og rumfang.

Når længde og metersystemet er forstået, er det let at hoppe over i fx vægt (gram) eller strøm (ampere). Nedenfor er vist, hvordan man billedligt kan forklare, hvordan titalssystemet fungerer:

Faktor betyder fx, hvor mange mm der skal til for at få 1 cm, eller hvor mange cm der skal til for at få 1 dm.    

• Længde
  

  Formel for udregning bliver: Længden ganget (eller divideret) med faktor 10 opløftet i antal hop.

  $Resultatet = tal ⋅ 10^{antal hop}$
  

  

• Areal
  Formel for udregning bliver: Areal gange (eller divideret) med faktor $(10^2  = 100)$ opløftet i antal hop. 
  
  $Resultatet = tal ⋅ 100^{antal hop}$    
  
  
• Rumfang
  Formel for udregning bliver: Rumfang gange (eller dividere) med faktor $(10^3 = 1000)$ opløftet i antal hop.
  
  $Resultatet = tal ⋅ 1000^{antal hop}$
  

OBS: Tak til Jette Schaarup, Hillerød Tekniske Skole, for at stille de tre illustrationer til rådighed.