Hvad er et positionssystem?

Titalssystemet har base 10. Dvs. vi har 10 symboler, og efter det sidste i rækken startes forfra på en snedig måde. Dvs. efter 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kommer 10 (to pladser) osv. 1-tallet betyder her noget andet end det første 1-tal.

Pladserne i et heltal er nummereret fra højre mod venstre startende med 0. Et tocifret tal –  fx 31 – har altså værdi $1 ⋅ 10^0 + 3 ⋅ 10^1 = 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 10$, fordi $10^0$er 1. Og det er jo netop 31. Derfor kalder vi også pladserne i et tal fra højre mod venstre for 1’erne, 10’erne, 100’erne, 1000’erne, osv. 

For decimaltal, der har et komma, er pladserne foran kommaet nummeret som for heltal, mens pladserne efter kommaet er nummereret med negative tal fra venstre mod højre startende med -1. Det betyder, at værdien af fx $0,125$ er $0 ⋅ 10^0 + 1 ⋅ 10^{−1} + 2 ⋅ 10^{−2} + 5 ⋅ 10^{−3}$. Altså summen af 0’ere, 1 tiendedel, 2 hundrededele og 5 tusindedele, hvilket vi så meget bekvemt skriver $0,125$. 

Rent matematisk betyder positionssystemet, at cifret (talsymbolet) a på den $nte$ position har en værdi af $a_n ⋅ b^n$, hvor b er basen, og hvor pladserne foran kommaet er nummeret fra 0 og frem fra højre mod venstre og efter kommaet fra -1 og nedad fra venstre mod højre. Dette kan dog være meget abstrakt og formelt for mange.

Det binære talsystem – med basen 2 – er kendt fra computerverdenen og har kun to talsymboler: 0 og 1.

For elektrikere betyder 0, at der ikke er strøm, og 1, at der er strøm. Her er talrækkefølgen: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 osv.

Omregning af 1001

Værdien af et binært tal fx 1001, omregnes til titalssystemet ved, at cifrene ganges med potenser af 2 opløftet i en potens svarende til cifrenes plads. Altså svarer 1001 i det binære system til: $1 ⋅ 2^0 + 0 ⋅ 2^1 + 0 ⋅ 2^2 + 1 ⋅ 2^3 = 1 ⋅ 1 + 0 + 0 + 1 ⋅ 8 = 9$ i titalssystemet.

Babylonsk matematik (fra oldtidsriget Babylonien, som lå i den sydlige del af det nuværende Irak, ca. 2000-1600 f.Kr.) havde 60 som basis. Det ser vi i dag stadig spor efter i inddelingen af et minut i 60 sekunder og 360 grader i en cirkel.

I det hexadecimale system (16-talssystemet) bruger man de 10 cifre fra titalssystemet sammen med bogstaverne A, B, C, D, E, F som basis.

Dette talsystem bruges i informationsteknologi og til farveangivelse.  

I 1960’erne og 1970’erne havde man i mange lande et undervisningssystem i matematik, som blev kaldt Ny Matematik (New Math).

Én af hovedidéerne var, at eleverne skulle forstå de principper, som matematikken er opbygget efter. For virkeligt at forstå positionssystemet, mente man, at eleverne ikke alene skulle lære titalssystemet, men de skulle også lære at regne i base 8 eller 8-talssystemet. Håbet var, at de så virkeligt ville kunne komme til at forstå positionssystemet.

Subtraktion i basen 8

Her skulle elever fx lære addition og subtraktion i base 8.
Hver plads er 1’ere $(8^0)$, 8’ere $(8^1)$, 64’ere $(8^2)$, 512’ere $(8^3)$ osv.
Dvs. 127 i base 8 er 1 64’er, 2 8’ere og 7 1’ere. $64+16+7 = 87$.    

I det danske sprog er talordene i base 20 og det kan være finurligt. Alle der har rejst i Norge eller Sverige har oplevet, at det ikke går an fx at sige 'syv og halvfjerds' om 77, men de forstår godt 'syv-ti-syv'. Altså base 10-sprog. Hvorfor er det sådan? En sådan dagligdags vinkel kunne motivere til at snakke om positionssystemet.

I Danmark og Frankrig taler man i base 20, men på forskellige måder

Det danske talsystem er sprogligt ikke kun base 10, men base 20. Det er det franske også, selv om begge lande bruger base 10 i skrift.

Men fransk og dansk gør det på forskellig måde. Her et eksempel med tallet 99:

• På fransk siger man: 'quatre-vingt-dix-neuf'. Det betyder direkte oversat: '4, 20, 10, 9'.
  Altså: $(4 ⋅ 20) + 10 + 9 = 99.$
• På dansk siger vi: 'ni-og-halv-fems'. Dvs. 9, 1/2, 100 da 'fems' er en sammentrækning af 'fem snes, altså fem 20’ere, dvs. 100.
  Altså: $9 + 20 ⋅ (5-1/2).$

Man kan også sige at halvfems er halvvejs på vejen fra fire til fem snese. Firs er 4 snese, og tres er 3 snese.

Snes er et gammelt dansk talord for 20. Måske er det ikke så mærkeligt, hvis positionssystemet er lidt svært på dansk.

Énere før tiere

I Danmark siger vi to-og-tyve, altså enerne før tierne, hvilket er anderledes end i andre lande, hvor man siger tierne først, dernæst enerne, fx på engelsk 'twenty-three': 20, 3 om 23. De siger tallet fra venstre til højre, altså i læseretningen. I Danmark går vi fra højre mod venstre: 'treogtyve'. Det kan gøre læsning af tallene lidt vanskeligere og måske forklare, hvis nogle elever skriver 23, når de mener 32. Det er vigtigt, at eleverne bliver klar over, at talesproget kan drille.

Særlige sproglige taludtryk

Også i andre lande har man særlige taludtryk, som kan synes finurlige for udenforstående. I indisk-engelsk har man en betegnelse for 100.000. Det kaldes 'one lakh'. Så 10 'lakh' er det vi kalder en million. 125 'lakhs' svarer så til 12,5 million, osv.

Når man læser, kommunikerer og handler ud over de danske sproggrænser, kan det også være godt at vide, at 100.000 på hollandsk hedder 'ton'. Dvs. 100.000 euro = 1 ton euro.

Også i det danske sprog har nogle tal særlige navne. 500 kroner bliver stadig tit kaldt for en plovmand, da tidligere femhundredekronesedler viste en mand, der pløjede en mark. Og man kan også høre 1000 blive omtalt som kilo, også når det ikke handler om vægt.

Denne form for talt sprog kan være en ekstra udfordring for elever med en anden sproglig baggrund end dansk.

Man kan sige, at sproget kan drille, når man lærer matematik.

Samtaler i klassen om dette kan også være startpunkt for en introduktion til positionssystemet og de forskellige baser.