Matematikkens historie handler bl.a. om at finde svar på spørgsmål som, hvor kommer matematikkens objekter fra, hvordan er teorier opstået og udviklet over tid, hvor kommer matematikkens forskningsspørgsmål fra, hvilke drivkræfter er på spil i matematikkens udvikling, og kommer de uden for matematikken selv eller er de matematikinterne, eller måske et samspil af begge dele?
Har matematikkens metoder, typer af resultater og identitet, i betydningen hvad forstår vi ved matematik og det at bedrive matematik, ændret sig over tid? Hvordan har vi opfattet, organiseret, bedrevet, formidlet og undervist i matematik gennem tiderne, og i hvilke typer af institutioner? Matematikkens historie er således et forskningsområde i sig selv, der både har en akademisk side og en mere populærvidenskabelig side som de fleste andre akademiske forskningsdiscipliner.
Uanset om man er platonist eller ej, når det kommer til matematiske objekters ontologiske status – dvs. uanset om man mener, at matematikken eksisterer uafhængigt af os eller ej, om matematikken er noget vi opdager eller opfinder, så har matematikken en historisk udvikling. Og matematikken er fortsat i rivende udvikling. Det afspejler sig tydeligt i klassifikationssystemet for matematik med emner, underemner, under-underemner osv. som ajourføres af det matematiske forskningssamfund. I år 1900 bestod systemet af 12 emner, 41 underemner og 42 under-underemner som tilsammen fyldte et par sider. Siden er systemet vokset betragteligt, så det nu består af mere end 60 emner, som hver især er underinddelt i adskillige underemner som igen er inddelt i under-underemner og hele listen fylder nu 224 sider (https://zbmath.org/static/msc2020.pdf). Matematikken ekspanderede således voldsomt i det 20 århundrede, og mange af de begreber og områder, der indgår i klassifikationssystemet i dag, er kommet til i den periode. Vi havde ingen ide om disse begreber og emner før de blev udviklet, introduceret, kendt og accepteret i matematikken.
Det giver således mening at tale om at udvikle elevers historiebevidsthed i forhold til matematik. Matematik er frembragt af mennesker, så man kan reflektere over matematik som værende historiefrembragt og som historie-”frembringende” i den forstand, at matematik frembringes af mennesker. Mennesker, som lever og virker i en bestemt tid og under bestemte historiske, samfundsmæssige, kulturelle og teknologiske betingelser. Sammen med den matematiske viden, disse matematikfrembringere selv har til rådighed, behersker, kan agere i og med, er disse betingelser medbestemmende for, hvilken matematik de kan frembringe. På den måde er både fortiden og fremtiden til stede i nutiden, når vi beskæftiger os med matematikkens historie.
Historiebevidsthed i forhold til matematik kan åbne matematik for elever og give dem indsigt i og redskaber til at reflektere over deres egne muligheder i og med matematik i deres liv (Kilde 5). Vi følger Bernard Eric Jensen (Kilde 1) og opererer med et handlingsorienteret historiebegreb, hvor der er tale om historie, når folk interesserer sig for eller bruger noget fortidigt i en nutidig kontekst.
Matematikdidaktikeren Anna Sfard har udviklet en teori, hvor hun forstår matematik som en diskurs, hvor diskurs referer til ”totaliteten af kommunikative aktiviteter, praktiseret af et givent samfund” (Kilde 6, s. 160). Inden for hendes teoretiske ramme betyder læring at blive deltager i diskursen. Udgangspunktet er således menneskelig aktivitet og på den måde, fungerer Sfards teori fint sammen med synet på historiebevidsthed og matematikkens historie som beskrevet ovenfor. Sfard skelner mellem to slags regler i diskursen, regler på objektniveau og på metaniveau. Reglerne på objektniveau handler om diskursens indhold, altså beskrivelser af egenskaber ved matematiske begreber, det matematiske indhold. Reglerne på metaniveau handler om diskursen selv. Disse regler er implicit givne, og de styrer, som hun formulerer det, ”when to do what and how to do it” (Kilde 7, s. 201-202). Det er vigtigt, at elever udvikler metaregler, der er i overensstemmelse med det matematiske samfunds metaregler, men det er vanskeligt at bringe disse regler frem i lyset og undervise i dem. De er ikke eksplicitte, men manifesterer sig, når matematikere afgør f.eks. om et bevis kan godtages som en endelig bekræftelse på en påstand. Metaregler ændrer sig over tid, så matematikhistorie er en oplagt måde at bringe metaregler ind i matematikundervisningen på og gøre dem til genstand for refleksion. Historiske kildetekster kan spille rollen som ”samtalepartner” fra en anden tid, så i matematikhistoriske forløb kan der skabes situationer med forskellige ”diskutanter” (kildeteksten, elever, lærer, lærebog), der agerer i overensstemmelse med forskellige metaregler (se Kilde 2, Kilde 3, Kilde 4). I Matematikhistoriske eksempler giver vi nogle konkrete eksempler på det.
Matematikdidaktikerne David Tall og Shlomo Vinner (Kilde 8, s. 152) skelner mellem det, de kalder for begrebsbillede og begrebsdefinition. Ved en persons begrebsbillede forstår de den samlede (de bruger ordet den ”totale”) kognitive struktur, som en person associerer med begrebet. Det inkluderer alle mentale billeder, associerede egenskaber og processer, som personen forbinder med begrebet. Begrebsbilleder er således individuelle, og de udvikler og ændrer sig i takt med, at personen beskæftiger sig med begrebet, præsenteres for nye eksempler og påvirkes af stimuli f.eks. i matematikundervisningen. Begrebsdefinitioner er den streng af ord, der bruges til at specificere begreber. De definitioner, vi bliver præsenteret for i matematiklærerbøger og –artikler, og som er accepteret af det matematiske samfund, er begrebsdefinitioner. Tall og Vinner kalder disse for formelle begrebsdefinitioner til forskel fra personlige begrebsdefinitioner, som er en persons egen definition, det kan være vedkommendes omskrivning eller forklaring af den formelle definition af et begreb. Sådanne kan også frembringe et mentalt billede (begrebsdefinitionsbilledet), der så bliver en del af personens samlede begrebsbillede. En af Talls og Vinners pointer er, at en persons begrebsbillede og personlige begrebsdefinition ikke nødvendigvis er konsistent. Der kan være elementer, der er i modstrid med hinanden og i modstrid med den formelle begrebsdefinition. Tall og Vinner kalder sådanne for potentielle konfliktfaktorer. Om de også bliver til reelle konflikter for personen afhænger af, om de modstridende dele af personens begrebsbillede og/eller begrebsdefinition aktiveres samtidigt, så konflikten bliver oplevet af personen.
Det er vigtigt for begrebsdannelsen og matematikforståelsen, at elevers potentielle konfliktfaktorer bliver aktiveret. I matematikhistorie forholder vi os til, hvordan individer har skrevet om og anvendt matematiske begreber, mens de var under udvikling. I matematikhistoriske forløb i undervisningen, kan elever således blive præsenteret for definitioner og beskrivelser af begreber, de ikke er stødt på før, da disse ikke er en del af den formelle begrebsdefinition. Dermed er der lagt op til, at man kan have en egentlig diskussion om begreber ved at analysere det fortidige og holde det op imod det nutidige. På denne måde kan matematikhistorie og arbejdet med kildetekster spille en rolle i undervisningen i forhold til at få synliggjort (dele af) elevers begrebsbillede og -definition, og dermed gøre det muligt for læreren (og eleven) at udpege eventuelle potentielle konfliktfaktorer og tilrettelægge en undervisning, hvori disse får mulighed for at blive aktiveret. I Matematikhistoriske eksempler giver vi nogle konkrete eksempler på det.
til: GYMNASIE
emne: MATEMATIKHISTORIE
UDGIVET: 2025