Hvordan ændrer man elevers matematikforestillinger?

Det kan være både interessant og frugtbart at finde ud af, hvilke beliefs elever rent faktisk besidder. At afdække, om elever besidder beliefs, der er gavnlige for deres matematiklæring, kan være essentielt for at kunne planlægge en undervisning, der understøtter en evt. ændring i beliefs, formning af nye hensigtsmæssige beliefs eller en bekræftelse af de eksisterende. Dog kan en sådan afdækning være yderst vanskelig, da beliefs er et komplekst psykologisk fænomen. De optræder aldrig uafhængigt af andre beliefs, de kan være mere eller mindre centrale, og man kan endda have beliefs, som man ikke selv er bevidst om. Man kan altså ikke blot spørge sine elever om, hvad deres beliefs er, og så forvente, at man derved får det fulde billede af deres matematikrelaterede beliefssystem.

I forskningen benytter man forskellige metoder til at afdække beliefs, herunder spørgeskemaer, interviews, tegninger, essayskrivning og observationer, men der medfølger altid en vis usikkerhed – uanset metoden. Som Lester (2002) udtrykker det:

Jeg er simpelthen ikke sikker på, om kernebeliefs [core beliefs] kan tilgås gennem interviews […] eller skriftlig selvrapportering […], eftersom data fra interviews og selvrapportering er notorisk upålidelige. Derudover tror jeg ikke, at ret mange elever tænker så meget over, hvad de forestiller sig om matematik, og derfor er de ikke særlig bevidste om deres [matematikrelaterede] beliefs (Lester, 2002, s. 352-353, vores oversættelse).

Ofte kan det være en god idé at benytte flere metoder, så man kan få adgang til flere af de måder, beliefs kommer til udtryk på – det kan f.eks. være, at et spørgeskema følges op af et interview eller en samtale med en elev, hvorved man kan få en idé om de mere bevidste beliefs, som eleven selv kan udtrykke. Observationer af elevens handlinger kan give adgang til nogle af de mere ubevidste beliefs, eller man kan få en fornemmelse af, hvordan elevens tilgang til matematikken måske hænger sammen med hans eller hendes beliefs. Også test, opgavebesvarelser og lignende kan bidrage til at give et billede af en elevs matematikrelaterede beliefs, omend det aldrig vil blive helt fyldestgørende. At krydsreferere flere former for data vil derfor både kunne afdække flere beliefs og nuancere billedet. Det er imidlertid altafgørende, at man først og fremmest skaber situationer, hvor elevernes beliefs kan komme til udtryk, og hvor eleverne får mulighed for at artikulere deres beliefs – enten gennem sproget eller gennem deres handlinger.

Når først man har fået en idé om, hvilke beliefs en elev besidder, er det muligt at arbejde med at ændre nogle af dem eller evt. skabe nye beliefs. I et sådant arbejde må man være opmærksom på flere faktorer:

• Evidensbaserede beliefs (Green, 1971): Det kræver altså, at der er overbevisende evidens og gentagne eksempler på den ”nye” virkelighed. Og her kommer den anden faktor ind i billedet: at sørge for, at de nye beliefs, eleverne udvikler, er baseret på evidens og ikke overlevering. Eleverne skal gøre sig erfaringer og opleve helt konkrete eksempler på, at matematikken er noget andet, end de oprindeligt forestillede sig. Man må således gøre sig klart, hvilke beliefs man gerne ser, eleverne udvikler. Ønsker man at understøtte et relativistisk perspektiv på matematik, hvor eleverne opfatter matematik som et dynamisk felt, som i højere grad bygger på meningsskabelse og forståelse end på regler og udenadslære, må man som underviser skabe situationer, som giver eleverne erfaringer med matematikken, der afspejler et sådant perspektiv.
• Refleksion (Cooney et al., 1998): Den kognitive konflikt kan til en vis grad stilladseres ved at gøre eleverne bevidste om deres eksisterende beliefs og ved at lade dem reflektere over forskellen mellem, hvad de forestiller sig, og hvad de bliver præsenteret for. De skal med andre ord have mulighed for at italesætte deres eksisterende beliefs og sammenligne dem med deres nye erfaringer. Refleksion er et nøgleord, når det kommer til at skabe en varig ændring i elevers beliefs. At give eleverne mulighed for og rum til at reflektere både over forskellen mellem eksisterende beliefs og nye erfaringer og over, hvordan evt. nye beliefs passer sammen med resten af deres beliefssystem, er det, der kan skabe relationer mellem deres beliefs og dermed gøre de nye beliefs robuste.

Disse tre parametre kan tilsammen sige noget om, hvorvidt eleverne har tænkt over deres beliefs, om de har reflekteret over dem og forsøgt at få dem til at stemme overens, og om deres beliefs bygger på evidens.