I det følgende præsenteres tre eksempler på elever, som på forskellig vis besidder uhensigtsmæssige beliefs, der hæmmer deres matematiklæring. Undervejs beskrives de tiltag, der er gjort for at ændre deres beliefs, samt de gavnlige virkninger heraf. Ved at trække på de tidligere afsnit i temaet viser eksemplerne desuden, hvordan den tidligere beskrevne beliefsændringsproces kan komme i spil, og hvordan dimensionerne i elevernes beliefssystem påvirker hinanden.
Matematikvejlederne Tine Rosendahl og Henrik Nørby Larsen Kærgaard (2020) beskriver en 2. års htx-elev, ”Christian”, som i valgfaget programmering udviste udpræget forståelse for den logik, der ligger i programmering. Dog fortalte Christians matematiklærer, at han havde store vanskeligheder i B-niveau-matematik og var tæt på at dumpe faget. De to matematikvejledere besluttede derfor at undersøge Christians matematikrelaterede beliefs ved at interviewe ham om hans forståelse for matematik, både som skolefag og som videnskabelig disciplin, samt om hans forestillinger om logik og matematisk sandhed. Heldigvis var Christian med på idéen og svarede åbent og præcist på de spørgsmål, han blev stillet.
Christian gav blandt andet udtryk for, at han havde det fint med de matematiske emner, som han kunne se et anvendelsesformål med, såsom procentregning, men når det kom til eksempelvis trigonometri, havde han svært ved at se, hvad han kunne bruge det til. Almindelig beregning med addition, multiplikation, parenteser, procentregning og den lille tabel opfattede Christian ikke som vanskeligt, men når det kom til algebra, havde han det helt anderledes: ”Jeg hader algebra, fordi der er så mange snydere i det” (Rosendahl & Kærgaard, 2020, s. 103). Christian fortalte både i ord og handling, at han så matematik som et fag, der består af en uoverskuelig mængde af uforståelige og usammenhængende huskeregler. Som mange af eleverne i det føromtalte studie af Schoenfeld (1989) skelnede Christian mellem skolematematik og abstrakt matematik.
Selvom Christian i flere tilfælde viste tegn på matematisk forståelse, kunne matematikvejlederne konkludere, at Christians beliefs om matematik som en samling mere eller mindre ulogiske regler, som man skal lære udenad, havde medført, at han ikke troede på, at han kunne finde ud af matematik og derfor ofte gav op. Hans dualistiske syn på matematik som disciplin havde dermed påvirket hans beliefs om sig selv som matematiklærende, hvilket understøtter resultaterne fra Grigutschs (1998) undersøgelse, som pegede på en sammenhæng mellem et skemaorienteret syn på matematik og et negativt selvbillede, manglende begejstring for faget samt dårligere præstationer. I lyset af at Christian havde en udmærket forståelse af logik, når det kom til programmering, besluttede de to vejledere at gennemføre et interventionsforløb over tre lektioner, designet til at få Christian til at se matematik som noget, der bygger på logisk tænkning, hvor man ud fra ganske få regler er i stand til at udlede resten. Ved at præsentere ham for nogle få aksiomer og lade ham opnå fortrolighed med disse gennem enkle regneopgaver var idéen, at Christian efterfølgende selv kunne udlede regneregler inden for algebra ved at benytte aksiomerne i nogle opgaver, der var konstrueret til formålet. Dermed ville Christian forhåbentlig opdage, at sætningerne for algebra ikke er usammenhængende huskeregler, men derimod opbygget ud fra logik.
I den første lektion arbejdede Christian blandt andet med regnearternes hierarki og den distributive lov ud fra beregning af arealer – først med tal, derefter med bogstavsrepræsentationer. Først beregnede Christian arealerne af to rektangler (a∙b og a∙c). Herefter blev de to rektangler sat sammen, hvilket førte til, at han kunne udlede, at a∙b + a∙c = (b+c)∙a. Efterfølgende udvidedes erkendelsen med at sætte fire rektangler sammen, så Christian opdagede, at (a+b)∙(c+d) = a∙c + a∙d + b∙c + b∙d.
Efter den første lektion kunne de to vejledere konstatere, at Christian lod til at tage godt imod de få aksiomer og benyttede regnearternes hierarki til at foretage reduktion, gange ind i parenteser og udlede den distributive lov.
I den tredje og sidste lektion skulle Christian arbejde med potensregneregler. Præsenteret for opgaven a0=1 udbrød han: ”Åh, det er det, som jeg på nettet har set, at man bare skal acceptere, skal give 1! Jeg spurgte tidligere en tredjeårselev om det, og han sagde, at beviset for det fyldte helt vildt meget” (s. 112). Matematikvejlederne kunne afsløre over for Christian, at han selv ville komme til at udføre beviset på mindre end to minutter, hvilket fik ham til at se temmelig mistroisk ud. Ikke desto mindre lykkedes det ham at gennemføre beviset ved at udnytte den viden, han netop havde erfaret om potensregneregler. I slutningen af lektionen blev Christian bedt om at forholde sig til, at han lige havde udledt potensregnereglerne ved at benytte nogle enkle aksiomer og regnearternes hierarki. Christian var forbavset, men også stolt af sig selv. Forløbet havde vist ham, at han kunne mere, end han troede.
Efterfølgende kunne de to vejledere se, hvordan Christian ændrede sin tilgang og holdning til matematikfaget i den daglige undervisning. Han udviste nu en tro på, at det var muligt for at lære noget og rent faktisk opnå en forståelse, og han blev fast besluttet på at nå så meget som muligt. I sit eksamensprojekt endte han med at få karakteren 7.
Et år senere interviewede vejlederne Christian igen. Her fortalte han:
Jeg er kommet til at se på det at løse matematikopgaver på en anden måde. Det samme gælder i programmering. Jeg er begyndt at se på, hvilke hjælpemidler eller muligheder jeg har for at få hjælp, når der er noget, jeg ikke kan finde ud af, frem for at give op, som jeg tidligere ville have gjort. Jeg foretrækker stadig selv at løse de opgaver, jeg bliver stillet overfor. Når der er noget, som er svært, har jeg nu fundet ud af, at jeg kan gribe en opgave an ved at simplificere den – stille den op i en rækkefølge og tage den bid for bid i stedet for at kigge på det hele som en hel pærevælling. […] Jeg har fundet ud af, at matematik er meget mere simpelt, end jeg troede, før jeg var gennem forløbet. Jeg kan fint huske, hvordan formlerne hænger sammen nu, og jeg skal faktisk have matematik igen på den videregående uddannelse, som jeg har valgt. Jeg skal til at læse IT-teknologi. […] Jeg har altid vidst, at der var en eller anden form for logik inden for matematik, men jeg har bare aldrig fundet den. Det har jeg nu. […] Jeg har efter forløbet fået mod på at læse videre med noget, hvor jeg skal bruge matematik. Det har tidligere hængt fast i mit hoved, at jeg var talblind. I fik mig til at se matematikken på en helt anden måde, og nu ved jeg, at jeg ikke er talblind (Rosendahl & Kærgaard, 2020, s. 115-116).
Christians case er en illustration af, hvordan det kan lykkes at ændre en elevs beliefs gennem den tidligere beskrevne proces, hvor eleven først italesætter sine eksisterende beliefs, derefter præsenteres for evidens, der skaber en kognitiv konflikt og til sidst får lejlighed til at reflektere over forskellen på eksisterende beliefs og den nye evidens. Gennem det indledende interview og samtaler undervejs i interventionsforløbet bliver Christian bevidst om, hvilke forestillinger han har om matematik, og hvordan disse forestillinger har påvirket hans beliefs om sig selv som matematiklærende, såvel som hans faglige selvtillid (self-efficacy). Matematikvejlederne skaber situationer, som giver Christian evidens for, at matematikken kan være anderledes, end han forestiller sig – nemlig at den ikke blot består af huskeregler, men bygger på logisk deduktion. Christian får således øjnene op for et mere relativistisk perspektiv på matematikken. Ydermere giver de ham erfaringer med bevisførelse, som han ikke troede, at det ville være muligt for ham at udføre. Dette viser Christian, at han kan mere, end han troede, hvilket bidrager til en øget selvtillid. Som afslutning får Christian lejlighed til at reflektere over disse erfaringer og sætte ord på, hvad han har opdaget. Interventionen kan siges at leve op til Ernests (2015) førnævnte målsætninger om at højne elevers matematiske selvtillid og at bidrage til en bredere påskønnelse af matematikken ved at præsentere dens opbygning og karakter og ved at arbejde med matematisk bevisførelse.
Christians udtalelser i det afsluttende interview viser desuden, hvordan en ændring i en del af Christians matematikrelaterede beliefssystem – nemlig hans beliefs om matematik som disciplin samt hans beliefs om selvet – påvirker resten af beliefssystemet. Han indgår nu i den sociale kontekst på en anden måde og ser matematikundervisningen i et nyt lys. Med Grigutschs (1998) begreber lader det til, at i og med at Christians syn på matematikken blev mere procesorienteret, steg hans motivation, hans præstationer og hans faglige selvbillede.
Som led i et studie af elevers beliefs om matematik som disciplin fulgte Uffe Thomas Jankvist (2015) en stx-klasse i et år, hvor eleverne blandt andet gennemgik to undervisningsforløb, som var designet til at give dem mulighed for at italesætte deres eksisterende beliefs og at reflektere over konkrete eksempler på matematikkens historiske udvikling. De to forløb omhandlede hhv. kodningsteoriens tidlige historie med udgangspunkt i binære Hammingkoder (se f.eks. Jankvist, 2008a) og RSA-kryptering (Jankvist, 2008b). Undervisningsforløbene afsluttedes begge med, at eleverne blev bedt om gruppevis at skrive et essay, hvor de dykkede ned i mere generelle emner om matematikken i relation til de to forløb. Blandt andet skulle de se på såkaldte epistemiske (vidensorienterede) objekter og teknikker i Richard Hammings kodeudvikling og diskutere de indre og ydre drivkræfter, som kunne ligge bag RSA-krypteringen og den tilhørende talteori.
For at afdække elevernes beliefs og en evt. ændring i disse besvarede eleverne et spørgeskema fire gange i løbet af det pågældende år: i begyndelsen af året, umiddelbart efter hvert af de to forløb og i slutningen af året. Samtidig blev nogle af eleverne også interviewet for at få uddybet deres svar på spørgeskemaerne. Spørgsmålene omhandlede alle elevernes opfattelser af matematik som disciplin, såsom ‘Er matematik en videnskab?’, ‘Hvornår tror du, at den matematik, der er i din matematikbog, er blevet til?’ og ‘Tror du, at matematik er noget, der er opdaget eller opfundet?’. At få eleverne til at forholde sig til disse emner tjente desuden det formål, at de løbende fik mulighed for at italesætte deres beliefs og dermed blive bevidste om dem. Ydermere gav både interviews og essays eleverne lejlighed til at reflektere over de konkrete eksempler på blandt andet matematikkens anvendelse og historiske udvikling (evidens), som de to forløb repræsenterede.
I det første spørgeskema svarede en af eleverne, “Gloria”, således på spørgsmålet om, hvornår matematikken er blevet til: “For længe, længe siden startede det, og siden er det fortsat. Men jeg er sikker på, at udviklingen går langsommere og langsommere, fordi man efterhånden ved en del” (Jankvist, 2009, s. 12-13). I det efterfølgende interview uddybede hun:
Ja, men de fandt da bare ud af mere længst væk, gjorde de ikke det? Det er da ikke så tit, at man hører om en eller anden, der har fundet en ny ting inden for matematikken, er det det? Det kan godt være, at det bare er mig, der ikke er nok matematiknørd til at få det at vide. Jeg synes bare ikke rigtig, der sådan sker noget. Det sker da oftere inden for naturvidenskaben, at nu har de fundet ud af, at man kan se fosteret allerede fra meget tidlig alder ved en ny scanning og sådan noget (ibid.).
Glorias beliefs var dermed præget af, at hun faktisk ikke rigtig havde nogen erfaringer med eller viden om matematikkens udvikling, som hun kunne bygge sine forestillinger på. Hendes svar bar derfor præg af, at hun sandsynligvis ikke havde tænkt ret meget over det, før hun blev stillet spørgsmålet, og derfor trak på de erfaringer, hun havde med sammenlignelige fag.
Et år senere, efter at have gennemgået de to undervisningsforløb, havde Gloria ændret sin opfattelse af matematikkens udvikling og viste samtidig tydelige tegn på et langt højere reflektionsniveau. Til samme spørgsmål i det fjerde og sidste spørgeskema svarede hun nu, at matematikken er blevet til “på forskellige tidspunkter”, hvilket hun blev bedt om at uddybe i det opfølgende interview:
Interviewer: Kan du huske at du i et tidligere interview sagde, at du var sikker på, at udviklingen [af matematik] gik langsommere og langsommere?
Gloria: Ja, og jeg kan også godt forstå mit ræsonnement i det, fordi jeg tænkte, at når man ligesom er kommet så langt, så må det jo blive sværere og sværere at finde på noget. Men det er ikke rigtigt gennemtænkt, det, jeg har sagt dér, for det er jo ikke rigtigt. For man ved jo faktisk godt, at udviklingen går hurtigere og hurtigere, for man får jo flere og flere muligheder – altså, man kan også sige, så lang tid, som der gik, fra man tænkte på en mobiltelefon, til man havde en mobiltelefon, til det blev normalt, som der går fra, at man har en mobiltelefon, hvor man kan se hinanden – du forstår godt, hvad jeg mener, ikk’? Altså skridtene, større og større skridt tager kortere og kortere tid. De fleste teknologiske skridt bygger jo alt sammen på matematik. Dybest set, ikke? Så det var noget fis, jeg sagde tidligere (Jankvist, 2009, s. 201).
Glorias svar viser, hvordan hun tydeligvis havde fået lejlighed til både at tænke over matematikkens udvikling og at opbygge viden om, hvad matematik egentlig anvendes til. Hun var nu blevet bevidst om sine beliefs og var blevet præsenteret for evidens, der skabte en kognitiv konflikt og førte til en beliefsændring. Hun var nu i stand til at eksemplificere sine beliefs og kunne endda retfærdiggøre, hvorfor hendes tidligere udtalelser ikke gav mening. Senere i interviewet blev Gloria spurgt ind til, om de to undervisningsforløb havde fået hende til at ændre sit billede af, hvad matematik er, hvor det kommer fra, og hvad det anvendes til. Her svarede hun:
Men det kan jeg ikke rigtigt sige, fordi før har jeg overhovedet ikke tænkt over det. Hvis jeg havde lidt en opfattelse, har jeg ikke gået og reflekteret dybere over den og sådan... men det er vi ligesom blevet tvunget til nu... Så jeg vil mere sige, at jeg har fået en opfattelse af det, og det har bare sat nogle tanker i gang (Jankvist, 2009, s. 203).
Gloria udtrykker her noget, som gælder for mange elever, og som understøtter Lesters (2002) pointe om, at de fleste elever ikke nødvendigvis har haft lejlighed til at tænke over, hvad de egentlig forestiller sig om matematik. De er derfor ikke særlig bevidste om deres egne beliefs, og hvordan disse hænger sammen med eksempelvis deres tilgang til faget, deres følelse af relevans, eller deres idé om, hvad matematik kan bruges til. Det er derfor i høj grad op til underviseren at skabe situationer, der giver eleverne mulighed for at udvikle deres beliefs og nuancere deres forestillinger om matematikken.
“Rikke” gik i 2.g på stx, da de tre matematiklærere og -vejledere Christian Wejdemann, Karl-Kristian Bjerregaard og Flovin Næs (2016) fik øje på, at hun udviste vanskeligheder i forbindelse med at genkende og klassificere funktioner (f.eks. lineære, eksponentielle eller potensfunktioner). De tre vejledere tilbød Rikke, som var en lidt stille, men pligtopfyldende elev, at deltage i et forløb på fire sessioner om matematisk modellering. Under forløbet blev det hurtigt tydeligt, at Rikke anvendte “signalord” til at klassificere funktioner. Hvis en opgave for eksempel indeholdt formuleringen “pr. tidsenhed”, ville Rikke vælge en eksponentiel funktionsforskrift. I stedet for at stole på sine egne beregninger og eksempelvis lade værdier i en tabel udgøre støttepunkter i en grafisk repræsentation, som hun kunne udlede typen af vækst ud fra, benyttede Rikke således en strategi, der udelukkende var baseret på formuleringer i opgaven, som hun havde erfaring med var relateret til en bestemt type funktion. Det tydede på, at hun opfattede matematik som et fag, hvor det gjaldt om umiddelbart at kunne “gætte” sig til den korrekte funktionstype ud fra overfladiske markører i opgavebeskrivelsen, og at det ikke var nødvendigt at tænke og reflektere over de valg, man foretog. Sådanne beliefs kan siges at høre til et dualistisk perspektiv på matematik, hvor man ofte opfatter matematikken som noget, der er givet af en autoritet – læreren, bogen, etc. At Rikkes beliefs om matematikfaget hørte til i den dualistiske ende af spektret understøttedes desuden af, at Rikke konstant søgte bekræftelse på det, hun lavede, hos enten læreren eller hos sine klassekammerater.
Under den tredje session i forløbet interviewede vejlederne Rikke og gav hende mulighed for at italesætte nogle af sine beliefs om matematik. Her fik de yderligere bekræftet, at Rikkes vanskeligheder sandsynligvis kunne være knyttet til hendes beliefs om matematikfaget og om hende selv. Blandt andet udtrykte hun stor usikkerhed i forhold til sine egne evner – en usikkerhed, som hun genkendte fra andre fag, men som lod til kun at påvirke hende negativt i matematik:
Rikke: For eksempel i biotek, der regner vi jo også nogle opgaver nogen gange, men der er det bare, fordi det er svært, at man bliver usikker, og der synes de andre også, det er svært, så der er man mere sammen om det at synes, det er svært, så vi kan spørge vores lærer. Men i matematik, der er det bare sådan et vigtigt fag, og jeg har det på A-niveau… det er sådan nogle faktorer der spiller ind, tror jeg. [...] I biotek, der sidder vi og arbejder sammen om opgaver, som er ret svære, og som vi ikke har prøvet før, hvorimod vi har haft matematik siden altid. Biotek er nyt på en anden måde, der har vi ikke den samme baggrundsviden som i matematik. I biotek er det hele bare nyt, og vi lærer det alle sammen fra den samme ’start’, hvis man kan sige det sådan.
Vejleder: Er det, fordi du føler, at det er værre i matematik, fordi det burde, man kunne, fordi man har haft matematik i så mange år?
Rikke: Ja, det tror jeg, og så bliver jeg usikker, hvis der nu er noget, jeg ikke kan finde ud af, så tænker jeg ‘fuck, det går ud over min karakter’ eller et eller andet. Jeg føler mig dum. [...] Det virker, som om der er en lidt større forventning om, at man kan alle sine ting i matematik, synes jeg. [...] Nu går man i gymnasiet, og så skal man kunne det (Wejdemann et al., 2016, s. 53).
Rikke havde altså en forestilling om, at hun burde være bedre til matematik, end hun var, fordi hun var blevet undervist i faget i så mange år. Hun følte sig desuden ret alene om at have vanskeligt ved det. Adspurgt, hvor mange elever, hun tror, der dumper den skriftlige eksamen i 3.g, gættede hun på ca. 5%. For at vise Rikke, at hun ikke var den eneste, der følte, at matematik er svært, fortalte vejlederen hende, at tallet i virkeligheden er meget højere. Den oplysning var således i modstrid med Rikkes eksisterende beliefs og havde dermed potentiale for at skabe en kognitiv konflikt og dermed understøtte en eventuel ændring i den måde, hun opfattede sine egne matematikevner i forhold til andres.
Efterfølgende arbejdede de tre vejledere med at give Rikke erfaringer med (evidens for) at stole på de metoder, hun var blevet introduceret til, for eksempel til at beregne støttepunkter og anvende dem til at bestemme, hvilken type vækst der kunne være tale om. De opfordrede hende desuden til at eksperimentere mere, når hun arbejdede med problembehandling, og på den måde sætte fokus på de processer og arbejdsmetoder, der knytter sig til matematik som disciplin. Da Rikke senere blev sat til at løse opgaver alene, var hun nu i langt højere grad tilbøjelig til at anvende disse nye strategier. Hun begyndte endda at kontrollere de forskrifter, hun kom frem til, ved at foretage beregninger og se, om de passede til de beskrivelser, der var i opgaveformuleringen.
Et stykke tid efter forløbet modtog de tre vejledere en email fra Rikke, hvor hun beskrev sine tanker om at have deltaget. Her fortalte hun blandt andet, at forløbet havde fået hende til at se matematik på en anderledes måde end før, og at det havde øget hendes motivation for at række hånden op – ikke kun i matematik, men også i andre fag. Forløbet havde givet hende højere selvtillid, og hun var nu mere modig – både i forhold til at sige noget, der måske viste sig at være forkert, og i forhold til sin tilgang til at løse opgaver:
Altså, jeg sidder ikke og venter på, at mine klassekammerater siger til mig, at de har løst givne opgaver på samme måde, som jeg har gjort, hvor jeg på den måde ville få en bekræftelse, men at jeg nu rent faktisk selv stoler på det, jeg gør, og det, jeg kan. [...] I sagde blandt andet, at matematik er et af de fag, hvor der er høj dumpeprocent til eksamen – dette har åbenbart givet mig en eller anden tanke om, at jeg faktisk ikke er den eneste, der synes, at matematik er svært på nogle områder, og at jeg faktisk ikke er alene, men i samme båd med alle andre. [...] Jeg har lært, at jeg skal vende min usikkerhed til noget positivt, så jeg kan få kigget på sammenhænge fra forskellige vinkler og bruge mine udregninger til at komme frem til et resultat, jeg stoler på. En vigtig pointe – synes jeg selv – er også det med, at det nogle gange også er en rigtig god ide ikke at holde sig til de grundlæggende byggesten, der er i matematikken, men selv prøve sig frem med fx at lave nogle udregninger. Altså, for eksempel er der til eksponentialfunktioner en bestemt formel på forskriften og en bestemt måde, grafen skal se ud på og nogle forskellige krav, som skal være opfyldt. Tidligere, som I også lagde mærke til – fornemmer jeg – holdt jeg mig meget til at kigge på en matematisk sammenhæng og ud fra de givne oplysninger at koble det til det grundlæggende og derpå vurdere sammenhængen til enten at være en eksponentialfunktion eller en lineær eller lignende. Dette fungerede ikke altid lige godt [...]. I lærte mig så med forskellige værktøjer og metoder, at man sagtens kan komme frem til en løsning på en sammenhæng, uden at man fra starten af dømmer den til at være et eller andet ud fra nogle givne oplysninger (Wejdemann et al., 2016, s. 69-70).
Tilsyneladende skiftede Rikke dermed fra et overvejende skemaorienteret syn på matematikken til en højere grad af orientering mod processer. Ved at give hende erfaringer med matematiske arbejdsmetoder og øget kreativitet i problemløsning lykkedes det at ændre hendes beliefs om både matematik som disciplin, om matematikundervisning og om hendes egne evner ift. matematik. Også hendes beliefs om den sociale kontekst ændrede sig fra at være fokuseret på at finde bekræftelse hos andre og se klasserummet som et præstationsorienteret miljø til i højere grad at finde ro i at stole på sig selv og have en mere mestringsorienteret tilgang til sin matematiklæring.
til: GYMNASIER
emne: Matematikforestillinger (Beliefs)
UDGIVET: 2024