Multiplikation og hvorfor 2 gange 7 ikke altid er det samme som 2 gange 7

Vi bruger de sædvanlige fire regnearter til omregninger, men der er en række ting, vi skal være opmærksomme på. Multiplikation er en regningsart, hvor to eller flere tal multipliceres (ofte kaldt ”ganges med hinanden”). Der er nogle konventioner i forbindelse med symboler til multiplikation. Tidligere brugte man meget krydstegnet $\times$ som gangetegn ($7 \times 2$), nu er en prik konventionen ($7 \cdot 2$), men når tal repræsenteres i formler med bogstaver og generelt, når man arbejder med algebra, kan gangetegnet være indforstået ($ab$ og $5a$). Ved programmering, eller hvis man skriver en hurtig email, bruges ofte stjernetegnet $*$ som gangetegn fx som i $7 * 2$.

Faktorernes orden er i nogle regnearter ligegyldig for det samlede resultats talværdi og mening. Derfor er $2 + 7 = 7 + 2$ og tilsvarende $2 \cdot 7 = 7 \cdot 2$. Matematisk kan man sige det på den måde, at den såkaldte kommutative lov gælder for både addition (plus) og multiplikation (gange). Loven gælder ikke for subtraktion ($-$) og division ($:$), for $7 - 2$ giver ikke samme resultat som $2 - 7$, og $7:2$ er ikke det samme som $2:7$.

Faktorernes orden er matematisk set ligegyldig for resultatets talværdi og mening for de to regneoperationer multiplikation ($\cdot$) og addition ($+$). Fx er $a \cdot b = b \cdot a$, ligegyldigt hvilke tal $a$ og $b$ står for. Tilsvarende er ledenes rækkefølge i en sum også ligegyldig for den matematiske betydning: $a + b = b + a$. Det gælder også selv, hvis nogle af tallene er negative. Fx er $(-2) + 7 = 7 + (-2)$ det samme som $7 - 2 = 5$.

For multiplikation af naturlige tal er det en matematisk konvention, at $ab = b + b + … + b$, hvor antallet af led i summen er ”$a$”. Dvs. vi har $b$ skrevet $a$ gange. Første faktor $a$ kaldes multiplikator og anden faktor $b$ for multiplikand. Dvs. for eksemplet ovenfor med tallene $7$ og $2$ er $7 \cdot 2 = 2 \cdot 7 = 14$, når vi taler om det generelle, udelukkende med tal som resultat.

På samme tid kan det i nogle situationer være forkert at tænke en konkret multiplikation som kommutativ. Dette sker ofte i erhvervsuddannelserne, fordi der ofte ”kommer enheder” på tallene. Fx for en tømrer er 2 stykker træ på hver 7 meter ikke det samme som 7 stykker træ på hver 2 meter. Selvfølgelig kan man i princippet save og lime træstykkerne, men det går ikke godt, hvis der fx er tale om skunkstolper til at understøtte et tag.

Når vi sætter enhed på, fx skunkstolper på multiplikatoren og meter på multiplikanten, så er der tale om følgende:

• Vi ved at $2 \cdot 7 = 7+7$; dvs. der er tale om to stolper á hver 7 meter. Enheden kunne også være mm eller km afhængigt af den konkrete faglighed. Det essentielle her er, at de to stolper er lige lange, og hver af dem er ”7” af den enhed, der nu måtte være i spil.

• Hvis vi så ser på det modsatte af ovennævnte $2\cdot7$, dvs. $7\cdot 2 = 2+2+2+2+2+2+2$; så er der her tale om syv stolper á hver 2 meter.

Det bliver to meget forskellige huse, der her kan bygges af de i alt 14 meter træ på skunkstolperne, afhængigt af om det er 2 gange 7 eller 7 gange 2. Dvs. $7 \cdot 2 = 2 \cdot 7$ er ikke nødvendigvis altid sandt. Præcision i sprogbrug på dette område er essentielt, hvis man fx vil undgå at lave dyre fejl på en tømrerarbejdsplads. Her er to andre eksempler, der viser, at man ikke altid kan bytte om på rækkefølgen i et gangestykke:

• Medicin i løbet af et døgn virker forskelligt afhængigt af, om der gives 2 gange 500 mg paracetamol eller 5 gange 200 mg paracetamol, selv om begge dele er 1.000 mg i alt.

• Vi ser lignende forskelle i dagligdagssammenhænge. Det gælder fx ved ferieplanlægning. Hvis man vil planlægge i alt seks ugers ferie, er der stor forskel på, om det er 2 x 3 uger eller 3 x 2 uger – selvom det i alt er seks uger. Man ser også det kommutative element i at 2 uger x 3 har samme betydning som 3 x 2 uger. Dvs. her handler det om 3 blokke bestående af 2-ugers ferie, hvorimod 2 x 3 uger er 2 blokke bestående af 3-ugers ferie.