Epidemimatematik kan hjælpe med at svare på spørgsmål i forbindelse med vaccination og smittetryk. Det kunne være spørgsmål som, hvor mange der skal vaccineres, hvem der skal vaccineres, og hvornår de skal vaccineres. Se eksempler på sammenhæng mellem fx kontakttal og flokimmunitet.
Er man immun over for en smitsom sygdom, så bliver man ikke syg, når man udsættes for smitte. Man kan for eksempel opnå immunitet ved at have haft sygdommen eller ved at blive vaccineret. Er der mange, der er immune, forhindrer det i sig selv sygdommen i at sprede sig. Antallet af nye smittede aftager, når der ikke er nok modtagelige at smitte, og sygdommen går så at sige i stå.
Hvem og hvor mange skal vaccineres for at få sygdommen under kontrol? Hvad nu, hvis der ikke er vaccine til alle? Svarene på de spørgsmål kræver naturligvis politiske og sundhedsfaglige valg, men hvis man vil træffe sådanne valg på et oplyst grundlag, er der også brug for matematik. Det kommer der nogle eksempler på her.
Hvis alle er blevet immune, kan sygdommen ikke sprede sig – heller ikke, hvis nogen kommer smittede hjem fra et område, hvor man stadig har sygdommen. Det siger sig selv. Men den samme effekt kan man opnå, selvom ikke alle er immune.
Kontakttallet beskriver, hvor mange personer en smittet i gennemsnit smitter. Hvis kontakttallet er mindre end 1, vil 100 smittede personer smitte færre end 100, som igen smitter endnu færre, og sygdommen dør ud.
Vaccination kan påvirke kontakttallet – hvis mange er vaccinerede, kan de 100 smittede ikke smitte så mange som ellers, fordi en del af dem, de møder, er immune, og derfor ikke kan smittes. Det gælder altså om,, at vaccinere så mange, at kontakttallet bringes ned under 1. Så er der nemlig flokimmunitet i befolkningen.
Eksempel
Hvis 100 smittede smitter 120 (kontakttallet er 1,2) skal man sørge for, at 21 af de 120 er immune. Så smitter de 100 nemlig kun $120 - 21 = 99$. Hvor mange der skal vaccineres for at opnå så mange immune, vil afhænge af vaccinen, fordi den typisk ikke giver fuld immunitet til alle, der vaccineres. I eksemplet nedenfor går vi imidlertid ud fra, at man bliver immun ved vaccination, og at de immune ikke kan smitte.
I eksemplet ovenfor med et kontakttal på 1,2 skulle vi vaccinere 21 af de 120.
Mere præcist:
Med et kontakttal på $k$, vil 100 smittede smitte $100k$ personer. Vi vil gerne have, at flere end $100k - 100$ af disse skal være immune, altså skal en andel på $\frac {100k - 100}{100k}$ af befolkningen vaccineres og blive immune.
Konklusionen er:
Hvis kontakttallet er $k$, kræver flokimmunitet, at en andel på mere end $\frac {k-1}{k}$ af befolkningen er immune. Det kan opnås ved vaccination eller ved, at mange har været syge.
Vi skal bruge kontakttallet $k$ i udregningen, men hvad er det tal mon? Under COVID-19-pandemien 2019-2021 har det varieret. Det kan holdes nede med de mange tiltag, man kan bruge for at undgå smitte: fra håndvask til 'lockdown'. Der skal vaccineres så mange, at vi kan holde smitten nede selv uden de mange restriktioner.
Det kontakttal, vi skal bruge, er derfor det basale reproduktionstal $R_0$. Det er et (teoretisk) mål for, hvor smitsom en sygdom er, hvis ingen har haft den før (er immune), og alle opfører sig som sædvanlig.
Med et basalt reproduktionstal på $R_0$ kræver flokimmunitet, at en andel på $\frac {{R_0}-1}{R_0} = 1−\frac {1}{R_0}$ af befolkningen er immune.
$R_0$ for:
(Kilde 1)
Kopper er et eksempel på en sygdom, der er udryddet på verdensplan via vaccination. Mange af disse sygdomme er en del af børnevaccinationsprogrammet i Danmark.
Seruminstituttet følger udviklingen, anvend evt. eksempler herfra i undervisningen:
Notationer og navne på de tal, der karakteriserer epidemier, kan variere fra kilde til kilde.
til: Grundskole, Erhvervsskole og Gymnasie
emne: EPIDEMIMATEMATIK
UDGIVET: 2021
Wikipedia. Opslag: Basic reproduction number. Lokaliseret april 2021 på: https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_reproduction_number