Generelt om del-del-helhed af tal
Dette deltema introducerer begrebet del-del-helhed, som handler om at opdele og sammensætte tal på forskellige måder. Deltemaet sætter især fokus på talvenner, sammenhængen mellem addition og subtraktion samt brugen af virkelighedsnære kontekster i undervisningen.
Introduktion til begrebet del-del-helhed af tal
Sara og Falke sidder og leger med syv kugler i alt.
Sara siger: “Så kan jeg have fire, og du kan have tre – eller jeg kan have fem, og du kan have… hvor mange kan du så have?”
Falke svarer: “Så har jeg to," og fortsætter: “Men jeg kunne også have seks, og så har du bare én.”
Sara og Falke leger med forskellige måder at dele de syv kugler op i to bunker. Den samlede mængde af kugler bliver ved med at være den samme, og hvis de tager en kugle fra den ene og giver til den anden, ændrer det ikke på det samlede antal kugler. Denne idé om, at et tal kan opdeles i mindre dele, uden at det samlede antal ændres, er det, vi fokuserer på, når vi arbejder med del-del-helhed som matematisk begreb. (Kilde 1)
Børn får tidligt erfaringer med begrebet del-del-helhed, når de opdeler eksempelvis deres legetøjsbiler tre og to i garagen eller deres dukker to og to i dukkevognene. Denne intuitive tilgang til at organisere og systematisere mængder såsom legetøjsbiler og dukker bidrager til børns forståelse for, hvordan tal kan opdeles i mindre dele og sættes sammen igen. I børnehaveklassen er det afgørende at opbygge en solid forståelse af tals opbygning hos eleverne for at understøtte deres udvikling af fleksible regnestrategier. Et af de mest centrale matematiske begreber i børns tidlige udvikling er del-del-helhed, også kendt som dekomposition og komposition af tal. (Kilde 2)
Hvad betyder del-del-helhed af tal?
Del-del-helhed handler om, at et tal kan opdeles i mindre dele (dekomposition) og sammensættes igen (komposition). Når eleverne i undervisningen får erfaringer med, hvordan tal kan opdeles i dele og sammensættes igen, kan de udvikle en dybere forståelse for tallenes indbyrdes relationer (Kilde 1 og 2).
10-venner og andre tal-venner
Alle børnehaveklasseledere kender sikkert til 10-venner, hvor helheden $10$ kan opdeles i delene $1+9$, $9+1$, $2+8$, $8+2$, $3+7$, $7+3$, $4+6$, $6+4$ og $5+5$. Men alle såkaldte tal-venner fra 2 og op til 10 er af afgørende betydning for udvikling af børnehaveklasseelevers talforståelse og deres regnestrategier.
Del-del-helhed af tal fra 2 og op til 10 består af 25 basale kombinationer som vist i nedenstående figur. Figuren viser, hvordan tal fra 2 til 10 kan opdeles i to dele, der tilsammen giver helheden. Delene kan byttes rundt – fx giver både $5|1$ og $1|5$ tallet 6. (Kilde 3)
Det er vigtigt at understrege, at der ikke er tale om, at eleverne skal huske del-del-helhed af de forskellige tal op til 10 ved at lære dem udenad. Det handler om, at de lærer at forstå, hvordan en helhed (et tal) kan opdeles og sammensættes på forskellige måder. For at eleverne lærer med forståelse er det betydningsfuldt, at der i undervisningen anvendes forskellige repræsentationsformer som konkrete materialer, tegninger, talsymboler, talnavne og omverdens kontekster. Det er også centralt, at eleverne deltager aktivt i dialogiske interaktioner, hvor de både forklarer deres egne strategier og lytter til andres forklaringer.
De første strategier, som børn tilegner sig allerede inden skolestart, er tællestrategier fx at bruge fysiske objekter som at tælle på fingrene eller at tælle højt. I børnehaveklassen er det vigtigt, at eleverne udvikler en forståelse af, at tal kan opdeles og sammensættes på forskellige måder. Elever, der får en forståelse af begrebet del-del-helhed (dekomposition og komposition), er mere tilbøjelige til at udvikle regnestrategier, der bygger på logisk tænkning, såsom at omsætte regnestykker til enklere eller allerede kendte udtryk. Eksempelvis hvis en elev skal regne $5 + 7$, kan eleven tænke: “$5 + 5$ er lig med 10, og 7 er to mere end 5, så svaret er 12.” (Kilde 2, 4 og 5)
For bedre at forstå disse sammenhænge skelner forskerne Clements og Sarama (2021) mellem additive situationer og del-del-helhed-situationer. Additive situationer, der ofte formuleres som regnehistorier eller hverdagseksempler, involverer en handling med en ændring: noget lægges til eller tages fra. Del-del-helhed-situationer er derimod statiske: her opdeles en helhed i dele, uden at det involverer en handling. Tabellen nedenfor viser forskellen mellem de to situationer.
Hvordan kan forståelse af del-del-helhed støtte eleverne?
Når elever arbejder med regnehistorier i hverdagskontekster, møder de ofte additive situationer, hvor en handling ændrer en mængde – noget bliver lagt til eller taget fra. Her kan det ukendte være starten, forandringen eller resultatet. Et eksempel kan være: Ali havde 5 kugler. Han købte nogle flere. Nu har han 8. Hvor mange købte han? (Forandring ukendt).
I del-del-helhed-situationer er der derimod ingen handling, men en statisk helhed, som opdeles i dele. Fx: Ali har 10 kugler. 6 er røde, resten er blå. Hvor mange er blå?
En forståelse af del-del-helhed støtter eleverne, fordi de lærer at finde ud af, om en situation handler om at sammensætte dele til en helhed (addition), eller om at finde en manglende del i en helhed (subtraktion). Det hjælper dem til at forstå, om situationen lægger op til addition eller subtraktion i både additive situationer og i statiske situationer med del-del-helhed-aktiviteter.
På den måde supplerer de to tilgange hinanden:
- Additive situationer giver eleverne erfaring med handling og ændring.
- Del-del-helhed af tal giver erfaring med struktur og sammenhæng mellem helhed og dele.
Sammen giver de eleverne mulighed for at arbejde med virkelighedsnære kontekster og udvikle forståelse for sammenhængen mellem regnearterne addition og subtraktion. (Kilde 6 og 7)
Til overvejelse
- Hvorfor er arbejdet med del-del-helhed vigtigt i børnehaveklassen?
- Hvilke talvenner introducerer du for eleverne i din undervisning?
- I hvilket omfang arbejder dine elever med del-del-helhed i undervisningen i matematisk opmærksomhed?
til: DAGTILBUD
emne: DEL-DEL-HELHED AF TAL
UDGIVET: 2025
Forfatter
Birgitte Henriksen
Ph.d-studerende
DPU, Aarhus Universitet/Københavns Professionshøjskole
Udgiver
Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer
Kilder
- Peucker, S., & Weißhaupt, S. (2013). Development of numerical concepts. South African Journal of Childhood Education, 3(1), e1–e17.
- Sterner, G., Helenius, O. & Wallby, K. (2020). Tänka, resonera och räkna i förskoleklass. Nationellt centrum för matematikutbildning.
- Neuman, D. (2013). Att ändra arbetssätt och kutur inom den inledande aritmetikundervisningen. Nomad, Nordic Studies in Mathematics Education, 18(2), 3-46.
- Baroody, A. J. (2006). Why children have difficulties mastering the basic number combinations and how to help them. Teaching Children Mathematics, 13(1), 22–31.
- Sunde, P. B. (2022). Adaptivitet og fleksibilitet: Regnestrategier i de yngste klasser. MONA - Matematik- og Naturfagsdidaktik, 2022(06). Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultet, Københavns Universitet. https://tidsskrift.dk
- Clements, D. H., & Sarama, J. (2021). Learning and teaching early math: The learning trajectories approach (3rd ed.). Routledge.
- Fuson, K. C. (1998). Children’s counting and concepts of number. Springer-Verlag.