Algebra bliver ofte forstået som ”bogstavregning”, men algebra er meget mere end det. Her kan du læse om fire aspekter i erhvervsuddannelsernes nuværende algebra i matematikfaget og de faglige fag
Aspekt 1: | Algebra er en særlig tankeform |
Aspekt 2: | Algebra er sammenhænge om fænomener. Sammenhængene gælder generelt (som fx Pythagoras) eller er lokalt erfarede (som fx proportioner på en trappe) |
Aspekt 3: | Algebra er generelle regler for sammenhænge mellem tal (som fx associativ lov og regnehierarki) |
Aspekt 4: | Algebra er brugen af procedurer til at omskrive udtryk og til at finde hidtil ukendte talstørrelser |
Algebra er processer, hvor man leder efter, undersøger, beskriver, forklarer, begrunder og bruger mønstre og sammenhænge i størrelser og former. Måske er man på jagt efter at finde egenskaber og sammenhænge, måske vil man undersøge og ræsonnere om egenskaber og sammenhænge, og måske vil man bruge egenskaber og sammenhænge i nye kontekster. Dette har relation til tankegangskompetence og ræsonnementskompetence.
Disse egenskaber og sammenhænge kan nogle gange formuleres i naturligt sprog, andre gange kan de tegnes, beskrives i en tabel eller vises fysisk. Det kan også være relevant at formulere sammenhænge med bogstaver og regneoperationer i en formel, en funktion eller en ligning. Det er almindeligt at bruge bogstaver som symboler for varierende størrelser. I nogle tilfælde reserverer man særlige bogstaver til særlige størrelser. Fx at størrelsen på længden af en kasse meget ofte symboliseres med $l$, størrelsen af bredden med $b$ og størrelsen af højden med $h$.
Fx for trappetrin gælder det, at stigningens størrelse (trinhøjden) meget ofte navngives som s og grundens størrelse (trinbredden) navngives som $g$.
Meningen med at kalde en længde, der kan variere for fx $h$ er, at man kan tale om længde som en egenskab, der kan knyttes til mange forskellige genstande. Meningen er også, at man kan forestille sig, at der manipuleres med sådan en længde, hvor lang den end er. Man kan forestille sig, at længden fysisk fordobles, eller fysisk gøres 7 enheder mindre. Derefter kan man fortælle om det til andre i naturligt sprog og med tegninger. Man kan også beskrive den fordoblede længde med symbolerne $2 \cdot h$ og længden, der er gjort 7 enheder mindre, kan beskrives som $h-7$.
Samlet kan man sige, at algebraisk tænkning omhandler fire slags overvejelser og handlinger (Kilde 1) (Se også teksen: Algebra i dagens erhvervsudannelser)
I undervisningen kan eleverne selv deltage i algebraisk tænkning ved at lede efter og finde nye sammenhænge. Ligeledes kan eleverne deltage ved at fortælle om sammenhænge og procedurer, fx mellem temperatur og tryk eller beregne antal fliser ud fra areal af fliserne og det område, der skal belægges med sten.
Algebra er påstande eller sandheder om sammenhænge mellem størrelser og former. Det kan nogle gange udtrykkes i formler. I geometri angiver arealformlen for rektangler $A = l \cdot b$ sammenhængen mellem rektanglers sidelængder og størrelsen på rektanglers areal. Pythagoras’ formel for retvinklede trekanter $a^2+b^2=c^2$ angiver sammenhængen mellem størrelserne af trekantens sider. I øvrigt omtales Pythagoras ofte som $’3-4-5’$ sammenhængen i erhvervsuddannelser og erhverv. Påstande og sandheder om sammenhænge kan udtrykkes med bogstavsymboler, tegninger og naturligt sprog.
I erhvervet udfører man kontrol af beregninger, og kontrol kan også bruges som pædagogisk middel i læringen på erhvervsuddannelsen. Her kontrollerer man om givne sammenhænge og procedurer holder stik for bestemte tal (retfærdiggørelse), eller måske sågar for alle tal (generalisering). For eksempel på disse områder:
De generelle metoder og regler for sammenhænge omhandler de såkaldte love for tal. Disse omhandler nogle grundregler, også kaldet aksiomer, om tal og om, hvordan man kan regne med disse. Her er vist nogle af grundreglerne:
For alle tal følger addition og multiplikation blandt andet kommutativ lov, dvs. $3+4 = 4+3$.
For alle tal følger addition og multiplikation blandt andet også associativ lov, dvs. $3+(4+5) = (3+4)+5$.
For alle tal følger addition og multiplikation blandt andet også distributiv lov, dvs. $3 \cdot (4+5)=3 \cdot 4+3 \cdot 5$
For alle tal er 0 et neutralt element ved addition, dvs. $3+0=3$.
Til alle tal er der et inverst element ved addition. Til tallet $3$ er $-3$ inverst element, fordi $3+(-3)=0$.
De generelle regler indeholder også nogle vedtagne og alment anerkendte rækkefølger i det såkaldte regningsarternes hierarki, som er vedtagen procedure for at beregne og behandle regnesymboler og talsymboler. Det er fx vedtaget, at man med udtrykket $2 + 3 \cdot 4$ skal gange $3 \cdot 4$ inden man lægger $2$ til. Det vigtige er, at alle følger den samme rækkefølge.
Hierarkiet er som følger:
Elever kan have svært ved at huske og forstå dette. I fx USA har man en ordremse, der skal hjælpe elever med at huske regnearternes hierarki. Det lyder Please Excuse My Dear Aunt Sally.
Please | Parentheses | Paranteser |
Excuse | Exponents | Eksponenter |
My | Multiplication Divison | Multiplikation / gange Division |
Dear | ||
Aunt | Addition Subtraction | Addition / plus Subtraktion / minus |
Sally |
Der er udviklet en række forskellige procedurer, der virker, når man skal finde tal, som man ikke kender størrelsen på endnu, men hvor man kender den sammenhæng tallet indgår i. Med andre ord, det omhandler procedurer for at løse ligninger, hvor man fx prøver at finde størrelsen/størrelserne på tallet y, så ligningen $3y + 6 = 2y \ – 17$ bliver korrekt, og man kan være sikker på, at venstre sides talværdi er den samme som højre sides talværdi. At finde netop den størrelse/de størrelser der gør ligningen sand, kaldes at løse ligningen. For mange elever er det lidt af et mysterium, hvad ”løsning” betyder.
Der findes altid flere forskellige procedurer til at finde størrelse på $y$ i eksemplet
$3y + 6 = 2y - 17$.
Find eksempler fra jeres undervisning, hvor I og eleverne tager udgangspunkt i en konkret situation, når der skal opstilles et udtryk. Er det relevant at udtrykket får generel værdi? Hvilke andre situationer vil det i givet fald være relevant for? Find også eksempler på situationer, hvor du gør det modsatte, altså starter med et generelt udtryk, som du og eleverne derefter bruger i konkrete situationer. Overvej relevansen af at bringe det generelle udtryk i spil i undervisningen. Hvordan rammesatte du det?
Radford, L. (2014). The progressive development of early embodied algebraic thinking. Mathematics Education Research Journal, 26(2), 257–277. doi.org/10.1007/s13394-013-0087-2
til: ERHVERVSUDDANNELSER
emne: ALGEBRA I ERHVERVSUDDANNELSERNE
UDGIVET: 2023