Grundlag – At multiplicere flercifrede tal

Læringssporet bygger på forskning og anbefalinger, der er sammenfattet og beskrevet af Kilpatrick, Swafford og Findell (2001), Fuson (2003), Verstaffel, Greer og De Corte (2007) og Hickendorff et al. (2019). Det bygger desuden på undervisningsforløb, der er afprøvet, analyseret og beskrevet i Jørgensen (2000).

Forskning har vist, at forståelse og færdigheder er tæt forbundne i forbindelse med flercifrede beregninger. Når elever ikke forstår de begreber og idéer, der ligger bag den måde, de forventes at regne på, opstår der ofte systematiske fejl i deres beregninger. Desuden har forskning vist, at undervisning, der lægger vægt på, at eleverne forstår deres beregningsmåder, kan resultere i både øget begrebsmæssig forståelse og stærkere færdigheder i beregninger. Der er således forskningsmæssigt grundlag for at betragte forståelse som en forudsætning for at udvikle solide færdigheder i beregninger med flercifrede tal. Det er med andre ord afgørende, at undervisning i flercifrede beregninger vægter forståelse for de tilgange til beregninger, der bruges, og for de begreber, der ligger bag metoderne. I forbindelse med multiplikation er det bl.a. vigtigt, at eleverne har forståelse for vores talsystem og for den egenskab ved tallene og ved multiplikation, at tallene kan ’deles op’ og multipliceres i ’små bidder’, jf. den distributive lov.

Forskning har også vist, at der er flere effektive tilgange til en sådan form for undervisning. Der er altså ikke en enkelt undervisningstilgang, der kan betegnes som bedst, når målet er, at elever både skal udvikle forståelse og færdigheder knyttet til flercifrede beregninger – der er flere tilgange, som fungerer. De succesfulde tilgange har dog det tilfælles, at:

• de lægger op til, at eleverne bruger regnemåder, de forstår.
• eleverne støttes til at fokusere på titalssystemets stuktur og på, hvordan denne struktur kan bruges i regnemåder.
• undervisningen foregår i en progression, der skal gøre de regnemåder, eleverne bruger, rimeligt effektive, men på en sådan måde, at de stadig er forståelige for dem (Kilpatrick, Swafford og Findell (2001).

Dette læringsspor er et eksempel på en sådan tilgang. Det bygger på idéen om at støtte udviklingen af elevernes egne strategier til beregninger og sikrer på den måde, at eleverne regner på måder, der er i tæt forbindelse med deres begrebsforståelser (Hickendorff et al., 2019).

Det bygger desuden på en rektangelmodel af multiplikation, der af Kilpatrick, Swafford og Findell (2001) beskrives som kraftfuld. Ifølge disse forfattere er fordelen ved modellen bl.a., at den underbygger den essentielle forståelse af effekten af at multiplicere med 1´ere, 10´ere og 100´ere. Desuden viser den tydeligt, hvordan disse tierpotenser multipliceres med hinanden og efterfølgende adderes. Det er også en fordel ved modellen, at den i begyndelsen kan indikere størrelsen af de forskellige delprodukter. Efterhånden som eleverne udvikler de nødvendige forståelser, kan modellen gradvist træde i baggrunden, så eleverne efterhånden begynder at tænke i de rene talsymboler.

Progressionen i læringssporet kan bidrage til, at eleverne hele tiden har forståelse med, når de foretager flercifrede beregninger. For at sikre, at udgangspunktet er elevernes nuværende forståelser og færdigheder, inviteres eleverne til at dele rektanglet, der repræsenterer en multiplikation, frit op. Efterfølgende opfordrer læreren til, at eleverne prøver at udtænke smarte opdelinger, der kan fungere som genveje til beregningen. Forskning viser, at når elever får denne mulighed, vil de typisk udtænke eller opfinde tilgange, der er meningsfulde for dem.

Igennem læringssporet støttes eleverne igennem en række trin til at udvikle fleksible og effektive metoder. Læringssporet er udformet, så hvert nyt trin kan opstå eller begrundes med elevernes arbejde på det forrige trin. Trinene danner med andre ord en kæde, hvor hvert trins nye idéer og nye symboliseringer hænger nøje sammen med det forrige trin. En sådan kæde er forbundet med undervisningsprincippet om emergerende modellering, der er omtalt i artiklen ’Læringsspor – Et didaktisk begreb til at beskrive progression og sammenhæng i tal og algebra’ (Skott et al. (under udarbejdelse)).

Den talbaserede metode, som udgør en del af læringssporet, er i forskningslitteratur betegnet som en tilgængelig metode, der har den fordel, at den er en naturlig forlængelse af rektangelmodellen, og at den rækker frem mod andre stofområder i matematik (Fuson, 2003; Kilpatrick et al., 2001).

Den viden og kunnen, som elever potentielt kan udvikle gennem læringssporet, kan danne udgangspunkt for undervisning med nye mål. Det gælder bl.a. undervisning, der er rettet mod de stofområder, som tegningerne nederst på oversigtssiden antyder. For det første kan talområdet for multiplikation udvides, så det omfatter (endnu) større naturlige tal, og så det omfatter reelle tal. For det andet bygger undervisning i bl.a. den distributive lov og i (generelle) beregninger med toleddede størrelser naturligt oven på rektangelmodellen. 

Læs mere om forskning i læring af og undervisning i beregningsmetoder i temaerne ’At regne med etcifrede tal’ og ’At regne med flercifrede tal’.