Tilgang – At dividere flercifrede tal

Grundlæggende er der to bevægelser i læringssporet. Den ene går ud på, at eleverne gradvist udvikler fleksible måder at dividere på. Den anden går ud på, at eleverne gradvist udvikler deres måder at repræsentere den tænkning, de knytter til måderne. De to bevægelser foregår samtidigt over tid.

Udgangspunktet for de to bevægelser er elevernes arbejde med hverdagsproblemer, der involverer flercifret division. Man kan kategorisere sådanne hverdagsproblemer i fire typer multiplikative situationer: 

• Lige store grupper
• Sammenligninger
• Rektangulære mønstre
• Kombinationer

ㅤ

Her er eksempler på hverdagsproblemer til hver af de fire situationer. I de situationer, hvor det giver mening, er eksemplerne er opdelt i ligedelingsdivision og målingsdivision:

I fase 1 af læringssporet arbejder eleverne med et udvalg af de fire multiplikative situationer. Det er især vigtigt for det følgende arbejde, at de løser hverdagsproblemer af typen ’lige store grupper’ – både som ligedelingsdivision og måledivision. Eleverne løser hverdagsproblemerne med strategier, som de selv finder på, og med støtte i konkrete repræsentationer, tegninger og evt. talsymboler.

Man kan fx forestille sig, at nogle elever løser problemet med målingsdivision under eksemplet med ’Lige store grupper’ ved at:

• lave bunker med $6$ centicubes i hver og bruge $6$-tabellen til at holde regnskab med, hvornår de kommer til $84$.
• tegne borde, hvorpå de skriver ’$6$’. De bliver ved med at tegne, og addere, indtil summen når op på $84$.
• udnytte, at $10 \cdot 6$ er $60$, og at $10$ borde derfor giver plads til $60$ forældre. Derefter siger de ’$11$ borde giver plads til $66$ forældre, $12$ borde til $72$ forældre, osv.’ Måske skriver de noter for at huske antallene.

Tilsvarende kan man forestille sig nogle elever løse problemet med ligedelingsdivision under eksemplet med 'Lige store grupper' ved at:

• finde $84$ centicubes, som de fordeler i $6$ bunker. Måske deler de ud én ad gangen, måske uddeler de to eller tre ad gangen til hver af de $6$ bunker.
• tegne $6$ cirkler, der repræsenterer de seks børn, og sætter streger i cirklerne, indtil der $84$ streger i alt.
• udnytte, at $6 \cdot 10$ er $60$, og at $60$ vindruer derfor giver $10$ til hver. Derefter siger de, at der er $24$ vindruer tilbage, fordi $84 - 60$ er $24$. ’Så kan de få $4$ mere, for $4 \cdot 6$ er $24$’… Måske skriver de noter for at huske antallene.

I fase 2 er det hensigten, at eleverne dividerer flercifrede tal med støtte i disse repræsentationer. Samtidig skal de påbegynde deres udvikling af strategier til division.

I løbet af fasen fokuserer undervisningen i mindre grad på hverdagsproblemer og i højere grad på multiplikation i en ren matematisk kontekst. Repræsentationerne gør det muligt, at eleverne i princippet kan tælle sig frem til resultatet af en division, men samtidig åbner det for, at de kan ’skyde genveje’ ved at anvende andre strategier end tælling.

De strategier til division, som en klasse i fællesskab kan udvikle i læringssporet, kan generelt opdeles i tre typer (Hickendorff et al., 2019).

Fælles for de tre typer er, at division enten kan tænkes som direkte division eller som indirekte divison.

Tabellen herunder giver et overblik over de tre typer strategier med udgangspunkt i eksemplet $125 : 5$, og illustrationerne viser eksempler på, hvordan indirekte divison med en sekventiel strategi kan forbindes med tallinjen, og hvordan direkte division med en opdelingsstrategi kan forbindes med skålene.

I fase 3 udvikler eleverne fortsat deres strategier til division, således at de efterhånden kan dividere mere og mere fleksibelt. Det implicerer, at de kommer til at råde over et repertoire af forskellige strategier, og at de i enhver beregning med division overvejer, hvilken af de strategier, de råder over, det vil være smartest for dem at vælge. Samtidig er det hensigten, at eleverne – efterhånden som de hver især er klar til det – skal udvikle måder at repræsentere deres tænkning på. De behøver fx ikke nødvendigvis at tegne tallinjer, selv om de stadig forestiller sig tallinjen, når de løser målingsproblemer.

I fase 4 er det idéen, at eleverne bliver opfordret til helt at slippe tallinjen og skålene, efterhånden som de ikke længere har brug for dem. Det betyder, at eleverne ’skubbes til’ gradvist at bruge regneudtryk og omskrivninger som støtte for deres tænkning. I den forbindelse er det vigtigt at være opmærksom på, at eleverne i en klasse næppe på samme tid er klar til et skifte fra at tænke med støtte i billedlige repræsentationer til at tænke med støtte i regneudtryk og omskrivninger. Skiftet bør komme, når den enkelte elev ikke længere har behov for de billedlige repræsentationer. På den anden side foretager den enkelte elev formentlig ikke et sådant skifte på eget initiativ. Der er behov for, at læreren introducerer regneudtryk som måder at symbolisere elevernes matematiske tænkning på. Eleverne må have mulighed for at skabe mening i regneudtrykkene og for selv at bruge sådanne måder at symbolisere dem på.

I begyndelsen kan elevernes regneudtryk fungere som en slags ’forlænget hukommelse’ for dem. De er ikke nødvendigvis sammenhængende og overholder ikke nødvendigvis formelle regler. Læreren kan guide eleverne til gradvist at skrive regneudtryk, der afspejler deres egen tænkning, og hvor de matematiske tegn er brugt rigtigt. De følgende to eksempler antyder, hvordan elevernes brug af ’skåle’ og tallinjer gradvist – med læreres støtte – kan udvikle sig til brug af regneudtryk.    

Regneudtrykkene nederst i eksemplerne herover viser eksempler på såkaldte talbaserede metoder, der kan bruges i enhver division med flercifrede tal. Den ene metode skrives vandret. Den bygger på en opdelingsstrategi. Dividenden (203) opdeles i ’$10$ gange divisoren’ ($70$) så mange gange, det kan lade sig gøre.

Den anden metode skrives lodret. Den bygger på en sekventiel strategi. Der foretages så mange hop á ’$10$ gange divisoren’ ($70$), som det kan lade sig gøre.

Eksemplerne herover illustrerer, hvordan metoden med den vandrette skrivemåde er forbundet med ligedelingsdivision, og metoden med den lodrette skrivemåde er forbundet med målingsdivision. Efterhånden som en af metoderne bliver en del af elevernes repertoire af strategier til division, kan man dog opleve, at de forskellige måder at tænke division på ’smelter’ sammen, sådan at eleverne, afhængigt af problemstillingen, tænker målingsdivision og ligedelingsdivision sammen med begge repræsentationer og skrivemåder. På tilsvarende vis kan man opleve, at eleverne varierer mellem at tænke direkte og indirekte division i forbindelse med begge metoder.  

I læringssporet er det hensigten, at enten den ene eller den anden metode kommer til at udgøre en del af elevernes repertoire af strategier. For læreren er det dog vigtigt at være opmærksom på, at metoden ikke fremstår som en opskrift, der er afrevet fra eleverne forståelse, men snarere som et produkt, der ligger i naturlig forlængelse af en sekventiel strategi eller en opdelingsstrategi.

En metode udgør ikke et afsluttende mål for læringssporet. Som tidligere beskrevet er målene derimod, at eleverne kommer til at dividere fleksibelt på grundlag af forståelse. Elever, der råder over et stort repertoire af strategier, de forstår, og som vælger en strategi, der er hensigtsmæssig for dem i et givent divisionsproblem, opfylder derfor i højere grad målene end en elev, der konsekvent vælger en bestemt metode.

Eksemplet til højre med divisionsstykket $203 : 7$ viser et regneudtryk, der bygger på en kompensationsstrategi.

Cifferbaserede metoder indgår ikke i læringssporet.