Klæd eleverne på til gymnasiets abstrakte matematiksprog

D. 12.11.2021 

Der er en verden til forskel på grundskolens konkrete regnestykker og gymnasiets abstrakte symbolverden. Og eleverne har bare en sommerferie til at omstille sig til det helt nye matematiksprog. Gymnasielærer og ph.d. Marit Hvalsøe Schou giver gode råd til, hvordan lærerne i hver sin ende kan lette overgangen.

$y=ab + c$! - Når de nye gymnasieelever tager hul på matematikundervisningen, mødes de af en verden fuld af symboler. Og særligt bogstavsymbolerne volder problemer for mange af de nye elever. For mens bogstavsymbolerne er fast inventar i gymnasiets matematikundervisning, fylder de tilsyneladende ikke meget i grundskolen.

Det fortæller Marit Hvalsøe Schou, der i 2019 forsvarede sin ph.d. om gymnasieelevers udvikling af symbolkompetence i matematik.

"I grundskolen er det primært de numeriske symboler, der præsenteres. Hvis man for eksempel har brug for at vise et eksempel på en beregning af en størrelse, hvor værdien egentlig ikke er interessant, bruger man ofte alligevel et tal. Det ville man aldrig gøre i gymnasiet. Her bruger man tal om noget konkret og bogstaver, hvis der er tale om en variabel størrelse eller noget generelt," siger Marit Hvalsøe Schou og forklarer, at eleverne på den måde – hen over en sommerferie – skal vænne sig til et helt andet og langt mere abstrakt matematiksprog.

Og det stopper ikke her. For også formen på undervisningen i gymnasiet er væsentlig anderledes end den, eleverne kender fra grundskolen. I forbindelse med sin ph.d. lavede Marit Hvalsøe Schou observationer i fire 9. og 10. klasser og tre 1. g-klasser, og her kunne hun konstatere, at mens meget af tiden i grundskolens matematikundervisning går med at regne opgaver på egen hånd, er det teori og begrundelser, der fylder mest i gymnasiet.

"Man kan ikke stille meget op med de matematiske symboler, hvis man ikke er klar over, hvilken kontekst de indgår i."    

"I grundskolen skal eleverne oftest regne noget ud – ud fra nogle givne oplysninger. Der er fokus på, at eleverne skal forklare, hvordan de når frem til resultatet, og at de skal gøre rede for deres mellemregninger, men jeg så sjældent, at læreren samlede op og pegede på mønstre i elevernes aktiviteter," siger Marit Hvalsøe Schou og fortsætter: "I gymnasiet var der derimod fokus på begrebslære. Læreren brugte meget tid på at forklare teori – og på at vise, hvordan man bruger den rigtigt, mens der ikke blev brugt så meget tid på at lade eleverne selv erfare, hvor teorien kommer fra," siger Marit Hvalsøe Schou.

Eleverne skal forstå symbolernes forskellige roller

En af vejene til at lette overgangen fra grundskolens konkrete regnestykker til gymnasiets mere abstrakte symbolverden er, ifølge Marit Hvalsøe Schou, at folde symbolsprogets betydninger ud. For som hun siger, kan man ikke stille meget op med de matematiske symboler, hvis man ikke er klar over, hvilken kontekst de indgår i – og hvilke roller, de spiller.

"I matematik kan symboler indtage flere forskellige roller, og det er noget af det, der kan være svært for eleverne at forstå. Særligt, hvis de ikke bliver gjort opmærksom på det. Nogle gange er symbolerne blot en etikette, der kan ændre betydning afhængigt af konteksten. Som når bogstavet $a$ nogle gange står for den ene katete i en retvinklet trekant og i andre tilfælde er hældningskoefficienten for en ret linje," siger Marit Hvalsøe Schou.

Hun fortsætter, "andre gange indgår symbolerne i det, jeg kalder et rollespil, hvor de kommunikerer en sammenhæng med andre symboler. Her er det deres indbyrdes placering og rækkefølge, der bestemmer deres betydning. For eksempel i en lineær funktion som $y = ax +b$, hvor vi straks fortolker $x$ som den uafhængige variabel, a som hældningskoefficienten osv. Navnet på symbolet er ikke vigtigt, og der kunne lige så godt stå $a$ og $b$ som $y$ og $x$. Hvad, der derimod er vigtigt, er, at man holder sig til det symbol, man har valgt, når man arbejder videre," siger hun og forklarer, at symboler herudover også kan bruges til at udtrykke matematiske sandheder. Hun bruger Phytagoras sætning som eksempel:

"Phythagoras sætning, $a^2 + b^2 = c^2$, er kun opfyldt, når $a$, $b$ og $c$ er længderne på sider i en retvinklet trekant. Udsagnet er altså ikke sandt for enhver trekant og dermed for alle mulige valg af $a$, $b$ og $c$ ."

"Som lærer er man nødt til at forklare eleverne, hvilken rolle symbolerne spiller hver gang, man stiller dem en opgave."

Endelig peger hun på, at symboler kan benyttes ved omskrivninger, hvor man kan manipulere med dem, og på den måde skaffe sig ny viden.

"Det kender vi blandt andet fra ligninger. Afhængigt af konteksten kan beregninger føre til ny viden, for eksempel kan ligningen $2x - 6 = x - 2$ omformes til $x = 4$, og hvis de to sider i ligningen beskriver prisen på $x$ vare i to forskellige prismodeller, ved vi nu, at prisen er den samme, når man køber 4 styks," siger hun og fastslår, at man som lærer er nødt til at forklare eleverne, hvilken rolle symbolerne spiller hver gang, man stiller dem en opgave.

"Mange gymnasielærere er frustrerede over, at eleverne ikke forstår symbolerne, men de overser, hvor vigtigt det er eksplicit at gøre dem opmærksomme på, hvilken type symbol, de har med at gøre. Ved eleverne ikke det, kan de heller ikke vide, hvilke handlemuligheder de har."

Mere algebra i grundskolen

Mens den eksplicitte forklaring på symbolernes forskellige roller i høj grad hviler på gymnasielærernes skuldre, peger hun på, at grundskole-matematiklærerne kan hjælpe med at lave det forberedende arbejde.

"Hvis matematiklærerne i grundskolen i højere grad stoppede op og samlede op på de opgaver, eleverne løser – og talte om de mønstre og systemer, der er, så ville eleverne have et andet fundament at stå på," siger Marit Hvalsøe Schou.

Hun fremhæver desuden, at algebra ikke fylder så meget i grundskolen. En opprioritering af den ville også klæde eleverne bedre på til gymnasiets matematikundervisning.

"Med mere algebra ville eleverne blive introduceret til symboler og en mere abstrakt tilgang til matematikken allerede i grundskolen," siger hun og fremhæver, at hun i de senere år har set takter i retning af en mere abstrakt tilgang til matematikken i grundskolen. Blandt andet har opgaverne i afgangsprøven ændret sig. Og der er, ifølge Marit Hvalsøe Schou, nu fine eksempler på opgaver, der indeholder symbolske udtryk, som eleverne skal forholde sig til.

Mens grundskolen kan blive bedre til at forberede eleverne på gymnasiets abstrakte matematikundervisning, mener hun, at gymnasiet kunne lære noget af grundskolens mere induktive tilgang til matematikken.

"Mange af de funktioner, vi introducerer eleverne for i gymnasiet, har deres udspring i virkelige situationer, som man kan måle på og opleve på egen krop, men der er en tradition for, at vi i gymnasiet definerer dem helt abstrakt og først bagefter viser deres anvendelse i forskellige situationer. Det kunne man godt vende om."

Endelig peger hun på, at et bedre samarbejde på tværs kunne lette overgangen:

"Jeg har en drøm om, at grundskole-matematiklærerne kommer med, når der er brobygningsforløb på gymnasiet, så der kan udveksles viden om, hvordan man arbejder henholdsvis i grundskole og gymnasium. Mange gymnasielærere har ikke megen viden om, hvilket niveau de elever, de modtager, er på. Vi kender meget lidt til den matematikundervisning, de har fået. Og omvendt ved rigtig mange matematiklærere i grundskolen ikke, hvad de sender eleverne hen til. Jeg vil mene, at det er en lavthængende frugt at skabe et stærkere samarbejde," siger Marit Hvalsøe Schou.

---

af journalist Eva Frydensberg Holm

Få nyheder om ny matematikdidaktisk forskning i din indbakke - tilmeld dig NCUM's nyhedsbrev her

NY FORSKNING

ABC - Aktører på matematikkens scene
v. Marit Hvalsøe Schou, Ph.D. og Lektor
Find afhandlingen: 
ABC - Aktører på matematikkens scene