Det betaler sig at bruge tid på brøkerne

Naturlige tal distraherer

At forståelsen af de naturlige tal distraherer, når elever i fjerde klasse kaster sig over brøkerne, så Pernille Ladegaard Pedersen flere eksempler på. For eksempel viste mange af eleverne, at de troede $1/4$ var større end $1/3$, fordi deres erfaringer fra de naturlige tal sagde dem, at fire er større end tre.

Det har ikke tidligere været omtalt i litteraturen. Men mange af eleverne forstår ikke, at forskellige talsymboler kan være samme mængde.

"Eller de troede, at en halv kommer lige før en tredjedel, fordi eleverne er vant til, at man inden for de naturlige tal nøjagtig ved, hvilket tal som kommer efter. For eksempel efter 2 kommer 3. Men pludselig er der uendeligt mange tal imellem to tal. Det kalder man en density-knyttet natural number bias," siger Pernille Ladegaard Pedersen og fremhæver en særlig natural number bias eller på dansk en heltalsdistraktor, som hun fik særlig opmærksomhed på gennem sin ph.d.-afhandling. Nemlig en ækvivalens-distraktor.

"Det har ikke tidligere været omtalt i litteraturen. Men mange af eleverne forstår ikke, at forskellige talsymboler kan være samme mængde. At for eksempel $1/4$ og $2/8$ kan være udtryk for lige store mængder eller samme position på tallinjen."

Hun fortæller, at en af hendes teser var, at lod man sig distrahere af de naturlige tal inden for et område af brøker, så ville man nok også lade sig distrahere inden for de andre områder af brøker. Men sådan var det ikke.

"Det kan godt være, at man kan se, at der er uendelig mange tal mellem to brøker, men ikke forstår, at en $1/3$ er mindre end $1/4$. Der var ikke nødvendigvis en sammenhæng. I hvert fald ikke for eleverne i slutningen af 4.-klasse. Det kunne være interessant at undersøge, om mønsteret ændrer sig senere."

To forståelser af ækvivalens

I forbindelse med sin ph.d. introducerede Pernille Ladegaard Pedersen to forståelser af ækvivalens: proportional- og enhedsækvivalens. Begge forståelser er, ifølge Pernille Ladegaard Pedersen, vigtige og optræder forskelligt i forståelsen af brøker.

"Hvis man skal lægge brøker sammen, er det nødvendigt at have en enhedsforståelse. Hvis du og jeg begge spiser en kvart pizza, men din er en børnepizza og min en familiepizza, så giver det ikke mening at sammenligne de to stykker, fordi der ikke er enhedsækvivalens. Det er der mange børn, der ikke forstår," siger Pernille Ladegaard Pedersen og fortsætter:

"Når man arbejder med at genkende brøker, er det noget andet. Man behøver for eksempel ikke at have en enhedsforståelse for at forstå, at tre af de fem puder er gule, eller at tre ud af fem æbler er røde. Her er der kun fokus på proportionalækvivalens," siger hun og fremhæver, at man som lærer bør være bevidst om, hvornår man arbejder med det ene, og hvornår man arbejder med det andet. Og at man sørger for at arbejde med begge former for ækvivalens.

"Hvornår er det en additiv situation, hvor det er vigtigt, at det er den samme enhed? Og hvornår er det lige meget, fordi det handler om at genkende forskellige brøker i hverdagssituationer?"

Det er vigtigt at arbejde med den multiplikative forståelse samtidig med, at man arbejder med brøker.

I sin forskning fandt Pernille Ladegaard Pedersen desuden ud af, at den multiplikative forståelse knyttet til naturlige tal og forståelse af brøkbegrebet hænger tæt sammen.

"Hvis en elev kan løse en multiplikation, så er der større sandsynlighed for, at han eller hun kan løse opgaver med brøker. Har eleverne derimod kun den additive forståelse, vil de typisk sige, at $4/5$ og $5/6$ de er lige store, fordi tælleren er en mindre end nævneren i begge brøker og fordi de mangler en forståelse af proportionalitet" siger Pernille Ladegaard Pedersen. Hun fortæller, at det derfor er vigtigt at arbejde med den multiplikative forståelse samtidig med, at man arbejder med brøker.

"Jeg fulgte eleverne i 4.-klasse over et skoleår og her kunne jeg se, at når de højtpræsterende elever blev undervist i multiplikation og division, så udviklede de også deres brøkforståelse, mens de lavtpræsterende elever kun udviklede deres forståelse af brøker, når de fik direkte undervisning i brøker."

I det hele taget bør proportionalitetsforståelsen stå centralt, når eleverne skal lære brøker, fastslår Pernille Ladegaard Pedersen.

"Det kræver en veludviklet forståelse af proportionalitetsækvivalens at lære brøker. Og det er vigtigt at få det grundlag på plads, så man kan arbejde videre med det i blandt andet algebra, procentregning, statistik og sandsynlighedsregning. Eller bare det at forstå hvad en fællesnævner er."

Skab erfaringer

Pernille Ladegaard Pedersen opfordrer til, at man som lærer eksplicit fremhæver, at brøker kan ses som division.

"Særligt for elever med matematikvanskeligheder kan det være en hjælp at fremhæve, at er den eneste af de fire regneoperationer, der kan skabe en brøk, er division. Og at vi har brug for brøkerne. Vi kan godt dele otte boller mellem to personer, men ikke ni. Eller det kan vi godt, men så har vi brug for brøker, så vi får en halv mere," siger Pernille Ladegaard Pedersen.

Desuden opfordrer hun lærerne til at give eleverne mulighed for at udvikle en forståelse af forskelle og ligheder mellem de naturlige og de rationale tal i forskellige kontekster, så de forstår, forskellen mellem naturlige tal og brøker. På den måde kan de overkomme eventuelle distraktioner.   

"Rationale tal indeholder jo også de naturlige tal, men samtidig tilføjer rationale nye komplekse forståelser til talbegrebet, som adskiller sig fra forståelsen knyttet til de naturlige tal. Man skal simpelthen sætte dem i situationer, hvor de oplever, at rationale tal opfører sig anderledes end de naturlige og så italesætte det. Hvis de for eksempel siger: Jeg vil helst have $1/4$ af kagen, for det er mere end $1/3$. Så lad dem undersøge det, efterprøve det og skabe erfaringer."

Jeg ved godt, at der er stoftrængsel, særligt på 4. klassetrin, men der en tendens til, at man ikke giver nok tid.

Endelig peger Pernille Ladegaard Pedersen på tid som den helt afgørende faktor, når eleverne skal udvikle deres forståelse for de rationale tal.

"Jeg ved godt, at der er stoftrængsel, særligt på 4. klassetrin, men der en tendens til, at man ikke giver nok tid. Tænk på, hvor mange erfaringer, vi forsøger at skabe, når eleverne skal lære de naturlige tal. Vi tæller alting. Og hvis man så ser på hvor lidt tid, der bruges på at udvikle forståelsen for de rationale tal, der indeholder en langt større kompleksitet, så giver det ikke mening," siger Pernille Ladegaard Pedersen.

De lærere, hun fulgte, i forbindelse med sin ph.d. gav alle udtryk for, at det gjorde en forskel at sætte mere tid af. Nu kunne eleverne huske, hvad de havde lært, sagde de. Og de havde et fundament at bygge videre på, når de startede i 5.-klasse.

”Det kan godt være at man bruger mere tid på det på den korte bane, men det gør, at man ikke skal bruge så meget tid på den lange bane. Når basis er på plads, er der et fundament at bygge ovenpå, også når man skal lære sandsynlighedsregning og statistik.”