Tidlig algebra: ”De kom til at løse ligninger på 9. klasses-niveau”

Hvordan underviser man elever i 2.-3. klasse i tidlig algebra?

Det spørgsmål satte Thomas Kaas sig for at undersøge i sin ph.d.-afhandling, som han forsvarede i begyndelsen af året.

Han havde selv arbejdet mange år som matematiklærer i folkeskolen og gennem årene revet sig i håret. For hvordan pokker kunne man få elever i 7. klasse til at begribe ligninger og funktionelle sammenhænge?

Inspireret af særlig amerikansk forskning i tidlig algebra kastede han sig således ud i at undersøge, hvordan man kan introducere algebraen tidligere i skoleforløbet.

”Det har været et problem verden over, at elever, når de forlader grundskolen, ikke rigtigt er blevet i stand til at tænke algebraisk. I USA har det ligefrem været et demokratisk problem, fordi det kræver algebra at kunne læse videre på en del uddannelser, og mange elever forlader high school uden at mestre det. Tilbage i 90’erne pegede nogle forskere så på, at der måske kunne være nogle læringsmæssige fordele i at flette algebraen sammen med de andre fagområder i matematik og arbejde med det igennem hele skoleforløbet, fremfor at undervise isoleret i det på de ældste klassetrin,” forklarer Thomas Kaas.

I dag viser forskningsresultater, at det kan være en konstruktiv vej at gå. Og tidlig algebra bliver mere og mere udbredt, også i Danmark, men man mangler, ifølge Thomas Kaas, fortsat viden om, hvordan man underviser de yngre elever i algebra, og hvad man skal undervise i.

Undersøgende undervisning

Thomas Kaas’ ph.d.-afhandling tog sit afsæt i et designstudie, hvor han i samarbejde med folkeskolelærer og cand. pæd. Heidi Kristiansen designede og afprøvede tre undervisningsforløb i en 2.-3. klasse over 15 måneder. Undervejs justerede de løbende undervisningen og efterfølgende analyserede Thomas elevernes læring.

”Vi tog udgangspunkt i den viden, eleverne havde. De kunne lægge tal sammen, og de var begyndt at lære en lille smule om at gange, men det var det, og så lod vi eleverne gå undersøgende til værks. Målet var bl.a., at de skulle blive i stand til at identificere, symbolisere og begrunde funktionelle sammenhænge.”

”Det kunne for eksempel være, at vi præsenterede dem for et rektangel, hvor den ene side var 4, så skulle de selv bestemme højden på den anden side – og ad den vej opdage, at der er en sammenhæng mellem den højde, de vælger, og arealet. Hvis højden var 1, så blev arealet 4, hvis højden var 2, blev arealet 8 osv. Vi lagde vægt på at lade dem fortælle, hvad de tænkte undervejs, og løbende introducerede læreren så forskellige symboliseringer – for eksempel regneudtryk, så de fik et sprog for det, de opdagede,” fortæller Thomas Kaas.

Han forklarer, at den tilgang, de lagde sig op ad, kaldes realistisk matematikundervisning. Her arbejder man med det, der kaldes emergerende modellering. Først er der en undervisningssituation, og så skaber man en model, som man så bygger videre på.

De kunne løse ligninger

Thomas Kaas’ studie viste, at det faktisk er muligt at kaste elever i 2. og 3. klasse ud i algebra, hvis man, som han fremhæver, har optimale betingelser omkring undervisningen, blandt andet tid og ressourcer til forberedelse og analyse.

”Det lod sig gøre at lære eleverne at generalisere lineære sammenhænge. Og vi fandt også – meget overraskende – ud af, at de kunne skabe mening i variabelnotation, altså bogstaver i matematik. Og endelig kom de til at løse ligninger på et niveau som nærmest var på niveau med prøverne uden hjælpemidler i 9. klasse. Dvs. ligninger med ubekendte på begge sider af lighedstegnet. Og det var ikke bare en særlig gruppe, der kunne det. Det var alle elever, der på forskellige niveauer løste ligninger."

Selv om Thomas Kaas forud for studiet havde sat sig godt ind i forskningen i tidlig algebra og de læringsmæssige fordele, man mener knytter sig hertil, kom det alligevel bag på ham, hvad der faktisk lod sig gøre.

”Jeg havde jo læst meget om det, men det føltes markant anderledes at opleve det. At høre en 2.-3. -klasse-elev sige: ’Jamen er det ikke s lig med to gange r.’ Pludselig bliver man bevidst om, at det her kan faktisk godt lade sig gøre, ” siger Thomas Kaas.

Han peger på nogle af de gevinster, der er ved at introducere algebraen på et tidligere tidspunkt:

”Eleverne får tidligt mulighed for at opfatte matematik som andet og mere end beregninger. I algebraundervisning skal de undersøge generelle sammenhænge og løse problemer, der vedrører ukendte talstørrelser. Disse muligheder er en nøgle til dybere forståelse af matematik, og de kan være meget motiverende for elever - også for de elever, der slås med mere regnetekniske udfordringer.”

En anden gevinst kan være:

”Hvis man bruger de første mange skoleår kun på regning, så er rigtig mange elever, som kun opfatter bogstaver som noget, der hører til i dansk. Og så kan det blive rigtig svært, når de pludselig har en anden betydning. Der opstår nogle kognitive konflikter, som ikke er konstruktive, og som man ikke kan undgå, hvis man integrerer det tidligere. Det bliver mere naturligt – og man undgår de bratte overgange.”

Målet for Thomas Kaas har aldrig været at argumentere for, at man skal undervise i traditionel algebra så tidligt som muligt. Men derimod at undersøge, om børn skal være på et vist udviklingsniveau for at kunne forstå algebra, som man længe har argumenteret for.

”Man har tænkt, at børn skal have en udviklingsmæssig parathed for at forstå bogstavudtryk i matematik, og at det derfor først kunne introduceres, efter de har arbejdet med alle regningsarter. Men når børn i 2.-3. klasse faktisk godt kan begynde at skabe mening i funktioner, så ser det ikke ud til at være udviklingsmæssig parathed, der skal til, men bestemte måder at undervise på. Når jeg valgte af lave min undersøgelse i de yngste klassetrin, var det netop for at undersøge dette.”

Læreren må slippe kontrollen

Vil man som lærer gerne kaste sig ud i den tidlige algebra, kræver det, ifølge Thomas Kaas, først og fremmest, at man tilrettelægger sin undervisning undersøgelsesbaseret, og at man skaber tid og rum til det ved for eksempel kun at have en aktivitet på et helt modul.

Man skal, ifølge Thomas Kaas, introducere eleverne til opgaven, så de virkelig kommer til at eje problemstillingen. Derefter skal de have plads til at undersøge, gerne i grupper. Han foreslår, at læreren går rundt og lytter til samtalerne i grupperne – og skubber til den.

”Læreren skal bruge de forståelser, hun eller han støder på til efterfølgende at orkestrere en fælles samtale. Og langsomt skal hun eller han bringe et stillads på banen med nye modeller, der giver eleverne en ny platform at tænke ud fra.”

Han peger på, at man som lærer nok skal sætte rammer og samle op, men man skal også turde miste kontrollen og lade eleverne komme til.

”Det vigtige er, at eleverne selv opdager generaliseringerne. At der er noget, der går igen. Kun ad den vej kan man sikre forståelsen.”

---

af journalist Eva Frydensberg Holm

Få nyheder om ny matematikdidaktisk forskning i din indbakke - tilmeld dig NCUM's nyhedsbrev her