Tælling som svar på 'hvor mange?'

Børn elsker at tælle ting, og med tiden lærer de, at det sidste tal, de siger, har en særlig betydning. Lisa sidder med en bunke klodser. Hun tæller: "Én, to, tre, fire, fem. Der er fem klodser." Lisa ved, at det sidste tal fortæller, hvor mange klodser der er i alt. For voksne er det logisk, og vi tænker slet ikke over det, men det er noget børn skal lære gennem erfaring.

Hvad er kardinaltalsprincippet?

Det tal, der kobles til det sidste objekt i en mængde, angiver, hvor mange objekter der er i mængden. Det er mængdens kardinaltal eller mængdetal. Kardinaltallet for Lisas klodsmængde er altså fem. Kardinaltalsforståelse handler ikke kun om at vide, at det sidst sagte talord er svaret på spørgsmålet "hvor mange?".

Det handler også om at kunne:

• Tage et korrekt antal, fx "Kan du give dukken tre kager?"
• Korrigere et antal, fx "Kan du tælle, om dukken har fået tre kager?" "Dukken ville have tre, kan du ordne det, så der er tre kager til dukken?"
• Udpege en bestemt mængde, fx mængden tre, når man kan vælge mellem fx en mængde på tre og en på fire.
• Koble talordet tre til fx en tegning med tre kager.

Børn med god kardinaltalsforståelse synes også at forstå, at når man lægger til mængden, bevæger man sig frem i talremsen, og når man fjerner fra mængden, bevæger man sig tilbage i talremsen, og det at lægge præcis én til mængden betyder, at man bevæger sig præcis ét trin frem i talremsen. Det er vigtigere, at barnet forstår alle aspekter af tælling og kardinalitet, end hvor store tal barnet kan håndtere (Kilde 1).

Udvikling af kardinaltalsforståelse

At kunne bruge tælling til at finde ud af, hvor stor en mængde er, kræver ikke blot en god kardinaltalsforståelse, men det kræver også, at børnene har tilegnet sig andre aspekter af tælling. Børnene må kunne talremsen, og de må kunne koble mellem netop ét objekt og ét tal (en-til-en-korrespondance).

Desuden må børnene kende talordene svarende til mængdens størrelse. Børn kan sagtens demonstrere begyndende forståelse for kardinalitet og samtidig tælle lidt forkert, fx ved at springe et talord over i talremsen eller ikke at få talt alle elementerne (Kilde 2)

Læs om en-til-en-korrespondance i Kan børn tælle, når de kan talremsen?

Kardinalitet udvikles tidligt

Børn udvikler forståelse af kardinalitet i 2½- til 5-årsalderen, og ved 4-5-årsalderen vil langt de fleste børn normalt vise en god forståelse af kardinaltalsprincippet. Her vil både talremsen og én-til-én korrespondance almindeligvis være så sikker, at barnet kan bestemme mængder op til ti korrekt.

Udviklingen følger en række typiske trin (Sarnecka og Carey, 2008):

1. Ingen eller ringe forståelse af, at talord angiver forskellige mængder (før 2½-årsalderen). Hvis man fx spørger: "Kan du give dukken to kager?", vil barnet altid give dukken et antal kager (en eller flere), men ikke nødvendigvis det korrekte antal.
2. Begyndende forståelse af én (omkring 2½ til 3 år). Fx kan barnet give dukken "én kage", men ved et hvilket som helst andet antal giver barnet to eller flere.
3. Forståelse af to og derefter tre og evt. fire (hurtigt efter forståelse af én).
4. Forståelse af de større tal fra fem og så langt, som barnet kan tælle. (Kilde 1)  

Hvorfor er kardinaltalsforståelse vigtig?

Forskningen peger på, at flere aspekter af det at kunne tælle er vigtig for barnets videre udvikling inden for matematik. Kardinaltalsforståelse har vist sig at være centralt for:

• At kunne sammenligne mængder, fx: "Søren har fire biler, og Lis har fem. Hvem har flest biler?", og for at kunne bestemme om to mængder er lige store.
• Den begyndende forståelse af at lægge én til
• Udvikling af forståelsen af talord i symbolsk kontekst.
• Udvikling af senere matematiske kompetencer og færdigheder i skolen.

Hvordan kan vi observere kardinaltalsforståelse?

Kardinaltalsforståelse kan ses ved, at barnet

• fremhæver det sidst sagte talord eller gentager det, når tælling anvendes til at finde "hvor mange". I det indledende eksempel sagde Lisa: "Én, to, tre, fire, fem. Der er fem klodser",
• kan finde det korrekte antal, fx "Kan du give mig fire klemmer?",
• kan udpege et korrekt antal, fx "På hvilket billede er der tre bamser?"

Det er vigtigt at være særligt opmærksom på børn, der må tælle igen for at finde ud af, hvor mange der er, eller som ikke ved det efter at have talt. Det kan være tegn på manglende forståelse af kardinalitet.

Et eksempel er Lisa, der leger med nogle små plastikfigurer.

Den voksne spørger: "Hvor mange er der?"

Lisa tæller: "Én, to, tre, fire, fem" og ser op.

Den voksne siger: "Ja, hvor mange er der så?".

Lisa ser på den voksne og tæller så igen: "Én, to, tre, fire, fem".

Her forbinder Lisa spørgsmålet: "Hvor mange?" med selve processen at tælle og ikke nødvendigvis med det at finde det endelige antal. I sådanne situationer kan det være en god ide at holde øje med, om børn som Lisa er udfordret på nogle af de andre områder inden for talforståelse og tælling og at støtte dem i deres videre udvikling. 

Hvordan kan udvikling af kardinaltalsforståelse støttes?

Aktiviteter, hvor børn skal koble tal og antal på forskellig måde, udvikler kardinaltalsforståelsen. Det kan være at tage et bestemt antal af noget, fx "Kan du tage fem tallerkener?", eller at flytte en brik lige så mange felter, som terningen viser i spil som fx Ludo.

• Fremhæv det sidste talord
  Når man tæller med børn, så kan det være hensigtsmæssigt at fremhæve det sidste talord og gentage det: "Én, to, tre biler. Der er tre."
• Tæl, før du siger tallet
  I starten er det bedst at tælle, før man siger antallet. Lad børnene selv sige antallet fx ved at spørge "Hvor mange?" efter tællingen.
• Lad barnet sige kardinaltallet selv
  Når man stiller børn spørgsmålet "hvor mange?", er det vigtigt, at de selv siger antallet. Hvis børn tæller: "Én, to, tre, fire", er der mange voksne, der efterfølgende siger: "Nårh, er det fire biler, du har?", eller "Ja, du har fire biler." Det er utrolig vigtigt, at den voksne ikke siger antallet, men at børn selv får muligheden for at finde antallet.
• Start med små tal/mængder
  Man skal være opmærksom på ikke at arbejde med for store tal og mængder. Man bør starte med helt små mængder, som børn kan finde antallet af uden at tælle. Forskning viser, at selv helt små børn kan genkende antal på en til fire uden at tælle. Det kaldes subitizing (Kilde 3).
• Større børn: Sig antallet først
  Med større børn, som allerede har udviklet en forståelse for kardinalitet, er det vigtigt ikke altid at tælle helt små mængder på en til fire. De skal opleve, at de ikke behøver at tælle, hvis de godt ved, hvor mange der er, så tælling ikke bare bliver en automatiseret reaktion på spørgsmålet "hvor mange?". De kan i stedet sige antallet først, og hvis der også er små børn, eller et barn virker usikker, eventuelt tælle efterfølgende: "Der er tre biler. Én, to, tre."
  
  

Læs flere eksempler på Aktiviteter og lege, der kan støtte børn i bl.a. at udvikle deres kardinaltalsforståelse.
Og se tema om matematisk opmærksomhed