Lektioner kan bygges op på utallige måder med forskellige kombinationer af de fem situationer. Se to vigtige og almindelige eksempler på struktur i en lektion.
De fem typer af situationer i en lektion kan bruges til at beskrive strukturen af en lektion som en sekvens af situationer. De fem typer er:
Se også beskrivelsen af de fem typer af Situationer i matematikundervisningen.
De fem typer kan bruges i planlægningen af lektioner til at klargøre:
Devolutionen er ofte vigtig for kvaliteten af elevernes arbejde. Hvis de ikke forstår opgaven eller mangler redskaber til at løse den, bliver handlingssituationen let domineret af lærerens råd og vink.
Overvejelse af formulerings- og valideringssituationer er særligt vigtige. Det handler fx om, hvordan elevernes præsentation af løsninger rammesættes? Er det bare noget privat mellem lærer og elev? Eller kan de lære mere af at præsentere løsninger for hinanden og således også se de andre elevers løsninger?
Allervigtigst er valideringen – som forudsætter en omhyggeligt planlagt ramme om formulering, så det er klart, hvad det er, der valideres. Også i denne fase kan lærerens rolle være mindre dominerende, hvis det, der valideres er tilgængeligt for andre elever end dem, der har frembragt løsningen. Des mere eleverne inddrages i validering, des større bliver deres indsigt i betydning og gyldighed af de matematiske metoder.
Tabel 3 viser en lektion, som er typisk for en mere generel struktur af lektioner, der handler om én problemopgave.
Devolutionen er særligt kritisk i en sådan lektion, for den skal sikre, at eleverne kan handle og formulere på egen hånd. Hovedparten af lektionen består i fælles formulering og validering af løsninger. Læreren organiserer denne, men bestræber sig på at eleverne ikke blot formulerer egne løsninger, men også forstår andres løsninger og deltager i valideringen af dem. Det kan være vigtigt at planlægge, hvordan de forskellige løsninger skal præsenteres, så eleverne har adgang til dem og kan sammenligne dem – fx ved omhyggelig brug af tavlen, online fildeling mm. (Se fx kilde 1 og 2)
| Læringsmål: Eleverne opdager og formulerer generelle mønstre i subtraktion af tocifrede tal og ræsonnerer om gyldigheden af disse vha. eksempler. | ||
|---|---|---|
| SITUATION | LÆRERROLLE | ELEVROLLE |
| Fælles HANDLING (5 min.) | Præsenterer ti kort med cifre, og lader udvalgte elever vælge to cifre A og B, og regne på AB-BA (fx 72-27). Skriver resultaterne på tavlen. Nøjes med 3-4 eksempler. | Deltager individuelt ved tavlen, eller fra deres plads, specielt i beregning af eksempler. |
| DEVOLUTION (2 min.) | Lærer: "Lægger i mærke til noget? Tal sammen to og to. Skriv ned, hvad I bemærker. I må gerne lave flere eksempler." | (Eleverne vil måske straks svare, men det skal helst forhindres, så de, der ikke straks har en idé får lejlighed til at overveje). |
| FORMULERING og evt. HANDLING (8 min.) | Sikrer sig alle er i gang og får lavet noget. Observerer, hvad eleverne skriver ned, men vejleder ikke. | Arbejder med formulering af hypotese to og to. Nogle laver måske flere eksempler. |
| FORMULERING | Kalder udvalgte elever til tavlen (to og to) for at formulere deres løsninger. Kan bede andre elever gentage hypotesen, evt. stille spørgsmål ift. hvad den betyder. | Formulerer deres hypoteser for hele klassen, fx "9 går altid op". De kan pege på eksempler på tavlen for at forklare, hvad de mener. |
| VALIDERING efter hver hypotese er formuleret. (FORMULERING OG VALIDERING varer i alt ca. 25 min.) | Lærer: "Gælder dette altid?" "Er I enige?" Beder andre forklare, hvorfor de mener hypotesen er rigtig/forkert. | Bruger eksempler til at begrunde om de mener hypotesen er rigtig/forkert. Evt. give argumenter baseret på mellemregninger i eksempler. |
| INSTITUTIONALISERING (5 min.) | Opsummerer validerede resultater på tavlen (skriftligt) | Noterer fra tavlen i deres notesbøger. |
Tabel 3 er et eksempel på en lektionsplan, som kan deles med andre som en slags køreplan for en matematiktime eller i forbindelse med et lektionsstudium.
Strukturen i tabellen matcher opgaven om differens af to tal beskrevet her: Gode matematikopgaver.
Se også tema om Lektionsstudier.
Mange matematiklektioner har en anderledes struktur end eksemplet ovenfor (tabel 3).
I et forskningsprojekt med 50 tilfældigt udvalgte danske matematiktimer i 8. klasse fandt man, at en overvældende andel af disse lektioner er domineret af "seatwork" (eleverne arbejder med opgaver ved deres borde, individuelt eller i grupper, mens læreren vejleder – fx validerer løsninger). (Kilde 3)
Det er en handlings- og formuleringssituation, som ofte udgør hovedparten af lektionen. Opgaverne er ofte typeopgaver, og der er flere af dem, med forskellig sværhedsgrad. Eleverne ser typisk kun de løsninger, de selv er involverede i. I starten af timen introducerer læreren nyt eller velkendt materiale (fx en metode), som eleverne skal bruge til opgaverne. I nogle af lektionerne er der en kort institutionalisering til sidst, men det er mere almindeligt, at lektionen slutter med handling og formulering ved bordene. Tilsvarende resultater er fundet i andre vestlige lande. (Kilde 4 og 5)
Vi kan tentativt fremstille den almindelige struktur (eller 'script') i mange matematiktimer vha. situationer, som vist i tabel 4. Det er selvfølgelig en grov forenkling, som ikke viser den variation, som faktisk kan observeres – men mange genkender nok alligevel strukturen.
| SITUATION | LÆRERROLLE | ELEVROLLE |
|---|---|---|
| INSTITUTIONALISERING | Lærer gennemgår teknik(ker) til at løse en eller flere typeopgave(r), giver eksempler | Lytter, noterer evt. |
| DEVOLUTION | Lærer stiller typeopgaver fx på opgaveark og angiver arbejdsform. | Lytter, flytter sig evt. til grupper. |
| HANDLING, FORMULERING OG VALIDERING | Underviser ved bordene: hjælper elever i gang, giver hints, validerer løsninger. | Arbejder med opgaver ved bordene, kaLder på læreren, hvis de er i tvivl om noget. |
Der arbejdes med én problemopgave i tabel 3 og (typisk) med flere typeopgaver i tabel 4.
I tabel 3 er hovedparten af undervisningen på klassen (alle elever ser alle løsninger og deltager i validering af dem alle), mens hovedparten af undervisningen i tabel 4 sker ved bordene (på engelsk: 'seatwork').
Ansvaret for validering er hovedsageligt lærerens i tabel 4, og hovedsageligt elevernes i tabel 3
Institutionaliseringen kommer først i tabel 4, og til sidst i tabel 3.
Den struktur af situationer, som er vist i tabel 3, kaldes sommetider 'Matematikundervisning baseret på problemløsning'. (Se en omfattende og letlæselig beskrivelse af, hvordan en sådan undervisning planlægges og gennemføres på grundskoleniveau, som indeholder mange eksempler på problemopgaver og tilsvarende lektionsplaner i kilde 2)
Omfattende empirisk forskning (fx kilde 4 og 5) har godtgjort, at denne type undervisning er almindelig i flere østasiatiske lande, fx Japan. Det forklares bl.a. med, at lærerne i disse lande regelmæssigt deltager i lektionsstudier, hvor lektioner observeres af mange lærere, og lektionsplaner (som tabel 3) deles. Lektioner kan selvfølgelig have andre strukturer end dem, som er vist i tabel 3 og 4 – og man kan finde eksempler på begge i både Danmark, Japan, og andre lande.
Læs også tema om Lektionsstudier.
Lektioner med hovedfokus på typeopgaver (som i tabel 4) findes i alle lande og har en væsentlig funktion ift. at indøve teknikker. De har også deres udfordringer: Det kan være svært for læreren at "nå rundt" til alle elever, når de arbejder ved bordene, og udgangspunktet bliver typisk, hvad den enkelte elev eller gruppe er nået frem til på egen hånd. Man vil desuden ofte komme til at forklare det samme mange gange. Lektioner af denne type kan under alle omstændigheder ikke stå alene, fordi de ikke i tilstrækkelig grad giver eleverne erfaring med problemløsning og validering – herunder også matematisk ræsonnement.
Mange lærere foretrækker, som nævnt, strukturen i tabel 4; den kan opleves som lettere at gennemføre, særligt hvis elevernes matematiske formåen er beskeden eller stærkt varierende. Men fordelen ved fælles formulering og validering, som indgår i tabel 3, er at eleverne trænes i at gøre rede for egen matematisk tankegang – til gavn både for dem, der er nået langt, og for dem, der måske kun har en delvis eller ligefrem forkert løsning. Modellen i tabel 3 er dermed også konsistent med læreplanernes krav om, at eleverne ikke blot bliver i stand til at løse typeopgaver hurtigt og korrekt, men også kan gøre rede for – og begrunde – deres løsninger, og at eleverne kan løse opgaver, som de ikke har set mage til før.
Alle nyere læreplaner betoner elevernes selvstændige problemløsning og arbejde med matematisk ræsonnement (formulering og validering). Her slår lektioner med strukturen fra tabel 4 ikke til. Dertil kommer, at overvejende fokus på 'vejledning ved bordene' i mindre grad gør ræsonnement og avanceret matematisk aktivitet tilgængelig for de elever, som har svært ved matematik. Der er faktisk betydelige læringspotentialer for alle elever i fælles deling og validering af løsninger.
Undervisning baseret på problemløsning stiller store krav til læreren. Det er krævende at udvikle eller finde egnede problemopgaver, der er relevante for, hvad eleverne skal lære. Det kræver øvelse at gennemføre situationer, som inddrager hele klassen, og som involverer løsninger og validering udført af mange elever (individuelt eller i grupper, forud for den fælles formulering og validering). For mange lærere kan manglen på individuel forberedelsestid også være en hindring ift. at planlægge lektioner, som muliggør sådanne situationer.
Den gode nyhed er, at der i de senere år er gennemført talrige udviklingsprojekter med problem- eller undersøgelsesbaseret matematikundervisning i såvel grundskole som gymnasium.
Find opgaveidéer og undervisningsoplæg, som er afprøvet af andre lærere her:
Samarbejde med kolleger, og deling af materialer, er en oplagt og velafprøvet vej til at gøre problembaseret matematikundervisning mere overkommelig og almindelig. At dele viden om lærerige opgaver, situationer, lektioner og forløb bliver da en central del af matematiklærerprofessionens udvikling.
Tilsvarende arbejdes der i matematikdidaktisk forskning med at udvikle og karakterisere forskellige typer af problemopgaver som kan anvendes som udgangspunkt for problembaseret matematematikundervisning. NRICH-projektet ved University of Cambridge er et eksempel på et forsknings- og udviklingsprojekt med dette fokus.
til: GRUNDSKOLE, ERHVERVSSKOLE, GYMNASIE
emne: UNDERVISNINGSPLANLÆGNING