Tre slags matematiske opgaver

Udgangspunktet for matematisk aktivitet er en opgave, som deltagerne i aktiviteten skal løse. Her tænkes først og fremmest på matematisk aktivitet i undervisningssituationer, men også i videre forstand – fx i forskerens eller ingeniørens matematiske aktivitet – kan vi sige, at aktiviteten er motiveret af en 'opgave' forstået som en matematisk udfordring, som det fint kan være deltagerne selv, der formulerer og udvikler. Det sidste er selvfølgelig ikke så almindeligt i undervisningsmæssig sammenhæng, om end det kan forekomme ifm. projektopgaver (se nedenfor).

Opgaven kan være let eller svær for deltagerne – det afhænger af den matematiske viden, de har i forvejen. Vi bruger sommetider andre udtryk, fx 'problem', 'oplæg' eller 'spørgsmål'. Vi vælger her at bruge ordet opgave i alle tilfælde. Men vi giver til gengæld navne til tre forskellige slags opgaver, som bruges i matematikundervisningen: 

• Typeopgave, hvor eleverne uden anstrengelse kan genkende opgaven som værende af en bestemt type og kender en teknik, der kan løse opgaver af denne type. 

Eksempel 1: Find arealet af en cirkel med radius 5.  

Forudsætning: Eleverne kender og kan bruge formlen $A = πr^2$ .

• Problemopgave, som ikke er en typeopgave, men hvor eleverne alligevel har viden, som sætter dem i stand til at forstå, hvad opgaven går ud på, og derefter til at tilpasse og evt. kombinere kendte teknikker til at løse opgaven. 

Eksempel 2: Hvor stort areal kan et rektangel have, når omkredsen skal være 5?

Forudsætning: Eleverne kan beregne omkreds og areal af rektangler med givne sider, men det er ikke nok – prøv selv! 

• Projektopgave, der typisk involverer arbejde med en eller flere problemopgaver, men hvor det tillige er nødvendigt for eleverne at opsøge ny viden for at forstå og/eller løse opgaven, ligesom de undertiden selv deltager i opgavens formulering. 

Eksempel 3: Hvordan bestemmes arealet af en trekant ud fra sidelængderne? 

Forudsætning: Eleverne kender arealformlen $A = {\frac{1}{2}}hg$ og Pythagoras’ sætning, men ikke Herons formel. 

Eksempel 4: Hvordan vil jordens folketal udvikle sig i fremtiden? 

Forudsætning: Eleverne kan opsøge data og modeller vedr. jordens folketal, og de kan afgrænse og præcisere opgaven, fx ift. hvilken tidshorisont der kan eller skal arbejdes med, antagelser som må gøres, præcision der er mulig, osv. 

Kategoriseringen ovenfor er inspireret af den antropologiske teori om det didaktiske (Kilde 1)
I den matematikdidaktiske litteratur findes der andre måder til at navngive og klassificere 'matematikopgaver' i bred forstand.  

Bemærk: Hvilken slags opgave vi taler om, afhænger både af opgaven og af eleverne. Samme opgave kan fx være en typeopgave for en universitetsstuderende og en projektopgave for gymnasieelever. En opgave kan også let være af forskellig type for to elever i samme klasse. 

Alle tre slags opgaver kan være nyttige i undervisning på alle niveauer. Fælles for dem er, at eleverne, når de arbejder med at løse dem, er engagerede i en matematisk aktivitet. 

Se eksemplerne yderligere udfoldet i Matematiske aktiviteter.