Hvad er en brøk, og hvorfor kan den være svær at forstå?

Figur 1: Billede lavet af Clemens Merker med inspiration fra et Facebookopslag. I vores oversættelse til dansk lyder det: ”I 1980’erne prøvede A&W at konkurrere med McDonald's kvartpunds-burger (altså en burger med $\frac{1}{4}$ pund kød) ved at sælge en tredjedels-pund-burger (altså en burger med $\frac{1}{3}$ pund kød) til en billigere pris. Kampagnen mislykkedes, da de fleste kunder troede at $\frac{1}{4}$ pund var større (end $\frac{1}{3}$).”

Åbenbart fik butikskæden A&W, som konkurrerede med McDonald's, ikke succes med deres $\frac{1}{3}$-pundsburger, selvom den var både større og billigere end  $\frac{1}{4}$-pundsburger hos McDonald's. De allerfleste mennesker ved, at 4 er større end 3. Desværre er der mange, der ikke ved, at $\frac{1}{3}$ er større end $\frac{1}{4}$, så butikskæden fik ikke succes med sit tilbud.

Vi konstaterer, at der er mange påfund med brøker på Facebook, blandt andet med misvisende udtalelser om brøker. Vores tolkning af, at der er så mange påfund, er, at der faktisk er mange mennesker med god forståelse af brøker, som synes, at brøker er sjove.

En brøk er et tal, der betegnes med symbolet $\frac{a}{b}$, hvor $a$ og $b$ er hele tal $(a,b \in \mathbb{Z})$ og $b≠0$. Tælleren, $a$, angiver antallet af dele taget af en bestemt enhed, mens $b$ angiver det samlede antal, som en enhed består af.

• Hvis tælleren er 1, kalder man det en stambrøk eller en enhedsbrøk.
• Hvis tælleren er mindre end nævneren, er der tale om en ægte brøk.
• Hvis tælleren derimod er større end nævneren, kaldes det en uægte brøk. Men en uægte brøk er altså stadig en brøk, selvom navnet er lidt forvirrende.

Hvordan laver elever udregninger med brøker? Ifølge Hallett et al. (2010) er der studier af børn, der viser, at den konceptuelle forståelse er en forudsætning for den procedurale. Konceptuel forståelse betyder, at eleven forstår et begreb i dybden mht. dets betydning og sammenhænge med andre begreber, mens procedural forståelse handler om både at kende og kunne anvende nogle regneregler korrekt i de rigtige situationer. Andre studier viser, at børn kan løse brøkopgaver korrekt med procedural forståelse og kun meget lidt konceptuel forståelse, og andre studier igen viser, at procedural og konceptuel forståelse udvikles parallelt, uden at den ene nødvendigvis kommer før den anden. Som forklaring på disse modstridende resultater skriver Hallett et al. (2010), at disse blandede og selvmodsigende resultater skyldes individuelle forskelle hos børnene. Vi vurderer, at dette også er tilfældet for unge og voksne. Nogle fæster mere lid til begreber, andre til procedurer og andre igen til begge. Forfatterne skriver, at hvis lærerne ved mere om, hvilken type elever de har i henhold til disse ting, kan de nemmere tilrette en undervisning, der passer til disse elever.

I erhvervsuddannelserne må man som lærer interessere sig både for, hvordan lærerens elever opfatter brøker, og hvordan de regner med brøker.  

1. Streefland, L. (1991). Fractions in realistic mathematics education: A paradigm for developmental research. Kluwer.
2. Hallett, D., Nunes, T., & Bryant, P. (2010). Individual differences in conceptual and procedural knowledge when learning fractions. Journal of Educational Psychology, 102, 395–406.