Multiplikation og division - hvordan?
En række forskningsresultater underbygger argumenter for, at undervisning i beregninger med flercifrede tal bør sigte på, at eleverne kommer til at kunne bruge regnestrategier fleksibelt og/eller på, at elever selv deltager i udviklingen af metoder til at regne med flercifrede tal (se også Hvad siger forskningen?). Sådanne tilgange til undervisning i beregninger står i modsætning til undervisning, hvor eleverne får vist en algoritme, som de efterfølgende træner.
Mange matematiklærere føler sig imidlertid ikke så godt hjulpet til at undervise i fleksibelt brug af regnestrategier og i udvikling af metoder til beregninger. Hvordan kan en sådan form for undervisning se ud, og hvilken progression kan den følge? Denne tekst beskriver de grundlæggende træk i en række forskeres bud på undervisning i flercifret multiplikation og division (kilde 1, 2 og 3).
-
En regnestrategi er den måde, man håndterer de tal, der indgår i en beregning, med henblik på at finde frem til et resultat (kilde 1).
-
At en person kan bruge regnestrategier fleksibelt vil sige, at personen råder over forskellige mulige strategier til beregninger og kan vælge en strategi, der er hensigtsmæssig for hende/ham i en bestemt beregning (kilde 1).
-
En metode til at regne med flercifrede heltal opfattes i denne sammenhæng som en på forhånd fastlagt strategi og skrivemåde, der kan bruges generelt i forbindelse med en regningsart.
Problemstillinger fra elevernes nære omverden
Undervisning i flercifret multiplikation og division kan begynde efter, at eleverne har arbejdet med flercifret addition og subtraktion. Det er også som en forudsætning, at eleverne har erfaringer med at multiplicere etcifrede tal. Undervisningen bygger i høj grad videre på disse erfaringer.
Problemer fra elevernes hverdag er et godt udgangspunkt (kilde 2). Udgangspunktet er altså ikke regneudtryk med talsymboler, men snarere problemer, som læreren formidler mundtligt til klassen. På den måde kommer undervisningen også til at belyse, hvad det er for typer af problemer, regningsarterne kan bidrage til at løse. Samtidig kan selve problemerne give ideer til, hvordan man kan tænke for at løse dem. I forbindelse med multiplikation kan problemerne bl.a. dreje sig om et antal lige store mængder eller om sammenligninger. I forbindelse med division kan det dreje sig om ligedelinger, men det kan også dreje sig om situationer, der vedrører måling. I temaet ’At regne med etcifrede tal er der en oversigt over de forskellige typer problemer, som multiplikation og division er forbundet med, de såkaldte multiplikative situationer.
Eksempel 1, lige store mængder, multiplikation:
I en biografsal er der 16 rækker med sæder. I hver række er der 12 sæder.
Hvor mange sæder er der i alt?
Eksempel 2, sammenligning, multiplikation:
I den mindste biografsal er der 36 sæder. I den største biografsal er der 12 gange så mange sæder. Hvor mange sæder er der i den største biografsal?
Eksempel 3, ligedeling, division:
Overskuddet fra en skolefest var 726 kr. 6 af skolens klasser skal dele pengene lige.
Hvor mange penge får de hver?
Eksempel 4, måling, division:
Der er 300 personer, som skal sidde ved borde til skolefesten. Ved hvert bord kan der sidde 12 personer. Hvor mange borde bliver der brug for?
TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET
- Har I ideer til problemstillinger, der involverer multiplikation eller division med flercifrede tal, og som elever i 3.-6. klasse vil kunne ’se for sig’? Se evt. oversigten i teksten ’Additive og multiplikative situationer’ fra temaet ’At regne med etcifrede tal'
En model af problemet
For at løse de problemstillinger, der danner udgangspunkt, kan eleverne støtte sig op ad illustrationer, noter eller en blanding af disse dele. I den sammenhæng anbefaler forskning nogle bestemte illustrationer eller modeller, som læreren med fordel kan introducere. Disse modeller omfatter en rektangelmodel, en dobbelt åben tallinje og en ’kassemodel’. (Kilde 1 og 2)
Eksempel 1
En rektangelmodel af 16 ∙12.
Eksempel 2
En dobbelt åben tallinje som model af 12 ∙ 36. Tallene over linjen viser det antal gange multiplikanden (36) forekommer. Tallene under linjen viser det samlede antal.
Eksempel 3
En ’kassemodel’ af 726 : 6.
Eksempel 4
En dobbelt åben tallinje som model af 300 : 12. Tallene over linjen viser det antal gange divisoren (12) forekommer. Tallene under linjen viser det samlede antal.
Hvis eleverne har tilstrækkelig forhåndsviden, kan de bruge tegninger og noter til at finde resultatet ud fra den viden og kunnen, de har i forvejen. I den forbindelse kan de bruge forskellige strategier.
Det kan fx tænkes at en elev løser problemet om antal sæder med rektangelmodellen fra eksempel 1 (16 ∙ 12) ved at tænke:
’Hvis 1 række er 12, så er 2 rækker 24, 4 er 48, 8 er 96, og 16 er 192’.
Det kan tænkes, at den samme elev løser problemet med ligedeling fra eksempel 3 (1446 : 6) ved at støtte sig til tegningen og tænke:
’Først giver jeg dem 200 kroner hver. Så har jeg brugt 1200 kroner, og der er 246 tilbage. De kan få 20 mere… så er der 126 tilbage. Jeg kan give dem 20 mere… og så 1 krone. I alt har hver fået 200 + 20 + 20 +1. Det er 241 kroner.’
Regnestrategier
De forrige eksempler illustrerer, at man kan bruge flere forskellige strategier til multiplikation og division. Ligesom i forbindelse med addition og subtraktion kan man skelne mellem tre typer:
- Sekventielle strategier (også kaldet hoppestrategier)
- Opdelingsstrategier
- Varierende strategier (også kaldet kompensationsstrategier)
Ofte begynder elever at løse multiplikations- og divisionsproblemer med sekventielle strategier: Deres tænkning kan opfattes som bevægelser på en tallinje - også selv om de måske ikke bruger en tallinje, men fx rektangelmodellen. I beregningen af 16 ∙ 12 tænker de måske ’16 gange skal jeg tage 12, dvs. 12, 24, 36…’, osv. op til 192. Senere kan de skyde genveje og tage større ’hop’ og fx tænke 16 ∙12 som sekvensen 12, 120, 180, 192. I beregningen af 300 : 12 kan en sekventiel strategi fx være knyttet til kassemodellen, hvor eleverne deler ’lidt ud ad gangen’. Sekvensen kan fx begynde i 300 og være 300, 180, 60, 0. Her tænker eleven i to hop á ti 12´ere og et hop á fem 12´ere.
De følgende to eksempler viser opdelingsstrategier:
Jeg kan først tænke $10 · 12$.
Det er $120$. Så mangler jeg $6 · 12$.
Jeg ved, at $6 · 10$ er $60$, så $6 · 12$ må være $72$.
I alt bliver det $120 + 72 = 192$.
Eksempel (726 : 6), opdelingsstrategi, division:
Jeg deler først 726 op i 600 og 126. Så giver jeg 100 til hver.
Der er 126 tilbage. Dem deler jeg op i 120 og 6. De kan få 20 og 1 hver. I alt får de 121 hver.
Hvis eleverne først får ideen, kan de i sammenhæng med både rektangelmodellen, kassemodellen og den dobbelte, åbne tallinje udvikle varierende strategier. I de følgende eksempler er tankegangen illustreret med den dobbelte, åbne tallinje.
Eksempel, varierende strategi, multiplikation 18 ∙15
Jeg regnede først 10 ∙15. Det er 150. Så 20 ∙15. Det er 300. Så går jeg to 15´ere ned til 18 ∙15. Det bliver 270.
Eksempel, varierende strategi, division 882 : 9
Jeg ved, at 9 gange 100 er 900. Så regnede jeg baglæns. Det bliver 98.
I forskningen er der bred enighed om, at det er hensigtsmæssigt at støtte elever til at bruge strategier fleksibelt (kilde 1, 2 og 3). Tanken er, at eleverne skal komme til at råde over flere forskellige strategier og gradvist blive i stand til at vælge en strategi, der er hensigtsmæssig til netop det problem, de skal løse. Samtidig er elevernes tænkning direkte forbundet med deres forståelse.
Det er værd at være opmærksom på, at strategier til division kan have forskellige udgangspunkter. I divisionen 882 : 9 kan eleverne fx tage udgangspunkt i 882 og tænke, ’jeg skal finde ud af, hvor mange gange, jeg kan trække 9 fra 882’ eller ’jeg skal finde ud af, hvor mange der bliver i hver bunke, hvis 882 skal deles i 9 lige store bunker´. Eleverne kan også tage udgangspunkt i 9 og tænke, ’ ’jeg skal finde ud af, hvor mange gange 9 kan være i 882’. Den sidstnævnte måde at tænke på omtales som indirekte multiplikation. Forskning tyder på, at mange elever har lettest ved flercifret division, når de tænker det som indirekte multiplikation (kilde 3, 4 og 5).
Elevernes udvikling af fleksibelt brug af strategier kan bl.a. støttes ved at
- vælge problemstillinger, der lægger op til forskellige typer af tænkning
- vælge repræsentationer, der støtter forskellige typer af tænkning
- eleverne forklarer og sammenligner deres forskellige strategier
- eleverne diskuterer, hvilken strategi der er smartest i forskellige beregninger
- læreren kommer med forslag til strategier, som eleverne skal følge og vurdere.
TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET
- Overvej, hvordan I kan støtte forskellige strategier til multiplikation og division med udgangspunkt i hhv. en rektangelmodel, en kassemodel og en dobbelt åben tallinje.
Metoder
En (eller flere) af de strategier, som eleverne udvikler, kan udgøre en metode, det vil i denne sammenhæng sige en fremgangsmåde, der kan bruges til enhver beregning med naturlige tal inden for en regningsart.
Et første træk i retning af en sådan metode kan bestå i, at eleverne skal notere det, de tænker, når de regner, og/eller at de bliver opfordrede til kun at skitsere de modeller, de ’tænker i’, efterhånden som de ikke længere har brug for detaljerede tegninger.
Eksempler (16 ∙12), skitseret rektangelmodel, opdelingsstrategi:
Eksempel (726 : 6), skitseret kassemodel, sekventiel strategi.
Eksempel (726 : 6), skitseret kassemodel, opdelingsstrategi.
Et næste træk kan være, at klassen diskuterer, om der findes strategier, der kan bruges ’hver gang’, dvs. til en vilkårlig beregning inden for multiplikation eller division med flercifrede tal. Eksemplerne herover illustrerer sådanne strategier. Hvis man bruger en opdelingsstrategi til multiplikation, kan man altid dele flercifrede tal op i 1´ere, 10´ere, 100´ere osv. - og tit (men ikke altid) gør det beregningerne effektive. I division kan man altid ’tage lidt ad gangen’, uanset om man tænker i en sekventiel strategi eller i en opdelingsstrategi. Læreren kan udvælge sådanne strategier, som eleverne afprøver på forskellige beregninger, for at undersøge, om de kan ’bruges hver gang’.
Et sidste træk kan være, at læreren støtter eleverne til at bruge en overskuelig og korrekt skrivemåde. Sådanne skrivemåder kan både være lodrette eller vandrette. I lodrette skrivemåder står tallenes 1´ere, 10´ere, 100´ere … under hinanden. Nogle lærere betragter dette som en fordel, fordi det gør beregningerne mere overskuelige for elever. Andre lærere betragter det snarere som en ulempe, fordi det kan bevirke, at eleverne helt holder op med at tænke i de værdier, som cifrene repræsenterer. Risikoen er altså, at eleverne slipper deres talforståelse, når de regner. Vandrette skrivemåder samler ikke på samme måde tallenes 1´ere, 10´ere og 100´ere… Skrivemåden lægger på den måde mere op til at tænke i de værdier, som cifrene repræsenterer. Nogle fortalere for denne skrivemåde lægger også vægt på, at den vandrette skrivemåde står i tættere forbindelse med de udtryk, eleverne skal lære at håndtere senere i deres skoletid.
Eksempler, multiplikation (kilde 3):
Eksempler, division (kilde 3):
Eksemplerne herover udgør såkaldte talbaserede metoder til hhv. multiplikation og division. Forskning tyder på, at sådanne metoder kan støtte elevers forståelse af titalssystemet, og på at elever har lettere ved at forstå og anvende talbaserede metoder frem for cifferbaserede metoder (kilde 1 og 3). Talbaserede metoder giver også ofte eleverne mulighed for en vis fleksibilitet i deres tænkning. Det er fx ikke noget brud på divisionsmetoden, hvis eleverne vælger at foretage beregningen med andre ’skridt’ (fx 726 : 6 = 600 : 6 + 60 : 6 + 66 : 6) eller i en anden rækkefølge.
Læg også mærke til, at metoderne ligger i direkte forlængelse af de forrige eksempler, og at det er muligt at tænke på flere måder i forbindelse med dem. I tilknytning til divisionsmetoden, kan man fx både tænke i sekvenser og i opdelinger. Man har også tænke indirekte multiplikation. Metoderne er med andre ord helt tæt knyttet til de fleksible strategier - de er en del af dem.
Progressionen frem mod fleksibelt brug af regnestrategier, der inkluderer en metode, er tænkt som en slags kæde:
I talbaserede metoder håndterer man tallene i overensstemmelse med den værdi, de repræsenterer (tallet 75 kan fx opdeles i 70 og 5). Sådanne metoder står i modsætning til cifferbaserede metoder, hvor man håndterer cifrene i tallene uden at tænke på den værdi, de repræsenterer (tallet 75 kan fx opdeles i cifrene 7 og 5).
Problemerne i (1) giver baggrund for, at eleverne kan bruge modeller (2). Modellerne giver baggrund for, at eleverne, med lærerens støtte, kan udvikle forskellige regnestrategier (3). Udforskning af forskellige regnestrategier danner baggrund for, at elever kan bruge disse regnestrategier fleksibelt (4). Strategierne inkluderer en metode.
Undervejs i kæden introducerer læreren forskellige repræsentationer, som eleverne kan støtte sig op ad. I begyndelsen løser eleverne problemer fra deres hverdag ved at bruge tegninger som modeller. Senere er det hensigten, at de gradvist erstatter tegningerne med skitser/noter og regneudtryk - men på en sådan måde, at tegningerne, skitserne, noterne og regneudtrykkene hænger helt tæt sammen og ofte er til stede i undervisningen på samme tid. Eleverne behøver slet ikke at slippe tegningerne, skitser og noterne, hvis hensigten alene er, at de skal kunne regne fleksibelt. Hvis hensigten derimod også er, at eleverne skal blive i stand til at ’tænke i’ matematiske udtryk, er der imidlertid grund til, at undervisningen går i den retning.
Bevægelsen i kæden foregår grundlæggende ved, at klassen undersøger ’leddet’ før, og i den forbindelse bringer læreren ofte noget nyt på banen, som eleverne kan bruge til at støtte og beskrive deres tænkning. Bevægelsen fra (1) til (2) foregår fx ved, at læreren introducerer nogle tegninger og (senere) regneudtryk, som eleverne kan bruge til at støtte og beskrive deres løsning af problemer. Bevægelsen fra (2) til (3) foregår ved, at læreren introducerer nye problemstillinger og beregninger i en ren matematisk kontekst. Klassen undersøger, hvordan tegningerne, skitserne, noterne og regneudtrykkene kan bruges på forskellige måder til at multiplicere og dividere.
Kæden af undervisning bygger konstant på elevernes faglige ideer, hypoteser og argumenter. De faglige pointer bygger på elevernes input, og det er elevernes input, der er afgørende for, hvornår læreren ’rykker videre’ i kæden. I den forstand deltager eleverne i udvikling af fleksibelt brug af regnestrategier, herunder i udviklingen af metoder.
Det er vigtigt at være opmærksom på, at en metode ikke udgør et slutmål i undervisningen i flercifrede beregninger. Hovedsigtet er, at eleverne udvikler forståelse for tallenes og regningsarternes egenskaber samtidig med, at de lære at regne fleksibelt. Forskning tyder på, at når elever først har lært en beregningsmetode, er der en risiko for, at de mister blik for andre strategier (kilde 3). Fx kan det i forbindelse med beregningen af 19 ∙ 14 være mere hensigtsmæssigt at tænke ’20 gange 14 er 280, så 19 gange 14 er 280 minus 14, altså 266, fremfor at bruge en bestemt metode. Med andre ord: En metode bør (kun) opfattes som en del af de fleksible strategier.
TIL OVERVEJELSE I FAGTEAMET
- Diskuter hvordan I gennem skoleforløbet vil arbejde med multiplikation eller division af flercifrede tal. Lav en plan for arbejdet.
til: GRUNDSKOLE - Indskoling og mellemtrin
emne: ALGEBRAUDGIVET: 2022
Forfatter
Thomas Kaas
Lektor, ph.d.
Professionshøjskolen Absalon
Udgiver
Temaer på matematikdidaktik.dk udvikles i tæt samarbejde mellem forskere og praktikere og udgives af NCUM.
Se redaktionen og vores redaktionelle retningslinjer
Kilder
- Verschaffel, L., Greer, B. & DeCorte, E. (2007). Whole Number Concepts and Operations. I F. Lester (red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 557-628). Charlotte, NC: Information Age Publishing
- Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (red.) (2001). Adding it up. Helping children learning mathematics. National Research Council. Washington, DC: National Academy Press.
- Hickendorff, M., Torbeyns J. & Verschaffel L. (2019). Multi-digit Addition, Subtraction, Multiplication, and Division Strategies. I Fritz A., Haase V.G., Räsänen P. (Red.) International Handbook of Mathematical Learning Difficulties, 543-560. Switzerland: Springer. Doi: 10.1007/978-3-319-97148-3_32
- Børne- og Undervisningsministeriet (I tryk). At multiplicere flercifrede tal. Strategisk indsats for tal- og algebraundervisning i Danmark.
- Børne- og Undervisningsministeriet (I tryk). At dividere flercifrede tal. Strategisk indsats for tal- og algebraundervisning i Danmark.