Rundt omkring i verden bruger skolebørn en del tid på at lære beregninger med papir og blyant. Det gælder bl.a. i Danmark, hvor de skriftlige beregninger typisk kommer ind i billedet i 2. klasse, når talområdet er blevet udvidet fra etcifrede til flercifrede tal. I begyndelsen handler det om addition og subtraktion med flercifrede tal. I løbet af 3. klasse og mellemtrinnet kommer de øvrige regningsarter på banen (kilde 1).
Et relevant spørgsmål er naturligvis, hvad dette arbejde skal gøre godt for. Giver det overhovedet mening, at nutidens børn skal kunne udføre beregninger med flercifrede tal med papir og blyant? Denne tekst giver mulighed for at diskutere hensigten med dette regnearbejde. Den præsenterer tre mulige formål, som har været fremført i debatten om skolens arbejde med beregninger, og som kan vægtes på forskellige måder. Overvej undervejs I læsningen, hvad du er enig i, og hvad du er uenig i.
Et argument for, at eleverne skal lære flercifrede beregninger med papir og blyant, kan være, at det er hensigtsmæssigt i et hverdagsperspektiv. Selv om de fleste mennesker har adgang til fx lommeregneren på en mobiltelefon, kan man mene, at det fx i forbindelse med spil, håndværk eller indkøb er fornuftigt, hvis man i et vist omfang er i stand til at foretage beregninger uden disse hjælpemidler, evt. med noter på et papir. Kan vi forestille os en hverdag, hvor voksne mennesker ikke er i stand til at finde ud af, hvem der har vundet i yatzy uden at finde en lommeregner frem? Eller finde ud af, hvor mange fliser der skal bruges til terrassen?
Mod dette argument kan man hævde, at vi reelt ikke længere har brug for at kunne regne præcist i hånden. Situationen var anderledes for 50 år siden, hvor lommeregneren endnu ikke var så udbredt, og hvor det derfor var helt anderledes vigtigt at kunne regne korrekt med papir og blyant. I stedet for kan energien lægges i hovedregning og i overslagsregning, som i hverdagssituationer gør det muligt for os at skønne, fx hvor lang tid bilturen vil vare, hvor meget indkøbet cirka kommer til at koste eller hvor meget garn, der skal bruges. Overslagsregning kan samtidig bidrage til at sikre os mod fejltastninger i præcise beregninger med regnetekniske hjælpemidler.
Et andet argument kan være, at flercifrede beregninger med papir og blyant giver mulighed for at lære algoritmer, og at algoritmer er et vigtigt aspekt af matematik.
Styrken ved algoritmer er bl.a., at forskellige problemers struktur kan ’løsrives’ fra deres umiddelbare kontekst og løses inden for matematikken med den samme algoritme - selv om de umiddelbart kan opfattes som forskellige. Fx kan en problemstilling, der handler om forskellen mellem størrelsen af to pengebeløb, og en problemstilling, der handler om, hvor mange penge der er tilbage, når en del af et beløb er brugt, løses med den samme (subtraktions-) algoritme. Det er vigtigt, at eleverne får dette indblik i matematikkens væsen.
Modstandere af dette argument påpeger bl.a., at elever på mellemtrinnet sjældent opnår egentlig forståelse for, hvorfor de forskellige algoritmer til beregninger virker, og at algoritmerne derfor kan blive et skrøbeligt redskab, som eleverne ofte glemmer og reelt ikke har brug for. Hvis undervisningen sigter entydigt på, at eleverne lærer algoritmer udenad, risikerer de samtidig at gå glip af de forståelser for tallene og regningsarterne, som arbejdet med beregninger giver mulighed for.
Man kan også hævde, at andre stofområder end beregninger med flercifrede tal kan bidrage til at illustrere den samme side af matematikken lige så tydeligt som algoritmerne. Tænk fx på elever, der løser hverdagsproblemer med etcifrede tal i hovedet eller på elever, der løser algebraiske problemer ved at opstille en ligning. Disse tilfælde kan også sætte fokus på det karakteristiske træk ved matematik, at man kan løse problemer ved at ’oversætte’ forskellige situationer til den samme matematiske model, arbejde inden for modellen og tolke resultatet i forhold til den oprindelige situation.
En algoritme til en beregning består af faste trin-for-trin-handlinger, der viser, hvordan man kan håndtere de tal, der indgår, for at finde frem til et resultat (kilde 2).
Et tredje argument for at fastholde et fokus på flercifrede beregninger med papir og blyant kan være, at arbejdet kan bidrage til faglig udvikling på andre stofområder end lige netop det at gennemføre beregninger. Især er det blevet fremført, at undervisning i flercifrede beregninger kan bidrage til elevernes udvikling af forståelse for de naturlige tal og regningsarterne, hvis undervisningen ikke alene sigter på, at eleverne kan gennemføre beregninger, men også fokuserer på, hvorfor metoderne virker (kilde 3).
I forbindelse med forståelse for de naturlige tal er det især positionssystemet, som eleverne kan blive fortrolige med igennem arbejdet med flercifrede beregninger. Fx kan eleverne lære, at naturlige tal kan opdeles på forskellige måder, herunder i 1´ere, 10´ere, 100´ere osv., og at denne egenskab gør det muligt at lette beregningerne.
I forbindelse med regningsarterne kan eleverne bl.a. få begyndende forståelse for den kommutative, den associative og den distributive lov.
$2 + 3 = 3 + 2$
$2 · 3 = 3 · 2$
$(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)$
$(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4)$
$2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4$
I tillæg kan man argumentere for, at arbejdet med flercifrede beregninger ’i hånden’ kan give eleverne mulighed for at løse problemer og ræsonnere. På den måde kan arbejdet bidrage til, at eleverne udvikler vigtige matematiske kompetencer. Disse muligheder opstår dog ikke, hvis eleverne udelukkende får vist metoder, som de skal efterligne. Mulighederne kan fx opstå, når eleverne tager stilling til påstande om regnestrategier, eller når de udforsker forskellige regnestrategier (Se eksempler med Addition og subtraktion og Mulitplikation og division)
En regnestrategi er den måde, man håndterer de tal, der indgår i en beregning, med henblik på at finde frem til et resultat (kilde 4)
Modstandere af disse argumenter kan fx hævde, det er en urealistisk forventning, at eleverne igennem arbejdet med flercifrede beregninger kan opnå den form for talforståelse og de kompetencer, der er omtalt i det forrige. De peger bl.a. på, at det er vanskeligt at rette undervisningen mod forståelse og kompetencer, når eleverne i en normal klasse typisk har meget forskellige forforståelser.
til: GRUNDSKOLE - Indskoling og mellemtrin
emne: ALGEBRAUDGIVET: 2022
Lektor, ph.d.
Professionshøjskolen Absalon
Børne og Undervisningsministeriet (2019). Matematik. Faghæfte 2019. Hentet fra GSK_Faghæfte_Matematik.pdf (emu.dk)
Verschaffel, L., Greer, B. & DeCorte, E. (2007). Whole Number Concepts and Operations. I F. Lester (red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 557-628). Charlotte, NC: Information Age Publishing.
Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (red.) (2001). Adding it up. Helping children learning mathematics. National Research Council. Washington, DC: National Academy Press.
Hickendorff, M., Torbeyns J. & Verschaffel L. (2019), Multi-digit Addition, Subtraction, Multiplication, and Division Strategies. I Fritz A., Haase V.G., Räsänen P. (Red.), International Handbook of Mathematical Learning Difficulties, s. 543-560. Switzerland: Springer. Doi: 10.1007/978-3-319-97148-3_32