Grundlag – At sammenligne lineære funktioner

Forskningsfeltet omkring elevernes læring af funktionsbegrebet er omfattende og vokser stadig. Det skyldes, at funktioner er et af de mest centrale matematiske begreber, og samtidig er det et vanskeligt begreb at lære. Thompson og Carlson (2017) sammenfatter en stor del af denne forskning og peger især på to resultater. Det ene resultat er, at det at forstå variabelbegrebet er afgørende for at kunne forstå funktions­begrebet. Ifølge Thompson og Carlson (2017) omfatter det at forstå variable, at en elev forstår at:

1. variable varierer inden for forskellige taldomæner,

2. variable kan betragtes som uafhængige eller afhængige variable,

3. variable tilskrives mening og fortolkes forskelligt i forskellige situationer,

4. variable kan navngives og repræsenteres algebraisk,

5. variable kan sammen­knyt­­tes algebraisk i ligninger.

En sådan forståelse af variabelbegrebet udvikles og støttes gennem et indledende arbejde med funktioner – specielt med lineære funktioner. Det er således ikke en forudsætning, at elever har stor forståelse for variable forud for arbejdet med lineære funktioner, da de får mulighed for at udvikle denne forståelse undervejs. Læreren skal derfor have fokus på at støtte elevernes forståelse af de 5 aspekter, når klassen arbejder med lineære funktioner. Denne støtte er indarbejdet i læringssporet, hvor talområderne for de variable gradvist udvides fra de naturlige til de reelle tal, og hvor det drøftes med klassen, hvad der i funktionssituationer kan opfattes som henholdsvis den afhængige og den uafhængig variable, og hvad relationen mellem dem er.

Det andet resultat er, at lineære funktioner kan ses som en sammenhæng på to forskellige måder; en korrespondancesammenhæng og samvariation (Stephens et al., 2017). Mens der i korrespondancesammenhæng er fokus på, hvordan $y$ afhænger af $x$, og at finde en regel, der kan beskrive denne sammenhæng, er man i samvariation optaget af at undersøge, hvordan de to variable udvikler sig sammen. Begge typer af sammenhænge er vigtige, for at elever kan udvikle forståelse af funktioner, og forskning viser, at samvariation kan støtte elever i at udvikle regler – eller forskrifter – for lineære sammenhænge (Stephens et al., 2017).

Udover disse to resultater bygger læringssporet også på resultater vedrørende begrebsdannelse og repræsentationers rolle. 

Der er udviklet flere teorier om, hvordan man lærer matematiske begreber. Sfard (1991) har udviklet en sådan teori ud fra studier af elevers og studerendes læreprocesser og den historiske udvikling af matematiske begreber. Teorien kan sammenfattes i en såkaldt proces-objekt-model. Vi beskriver teorien i forhold til funktionsbegrebet, men den gælder for matematiske begreber generelt. Ifølge teorien har funktionsbegrebet en indbygget dobbelthed mellem at være en proces og at være et objekt. En funktion udgør en proces, når man sætter værdier ind i dens forskrift for at beregne en funktionsværdi, eller når man lægger hældningstallet til en funktionsværdi for at bestemme den næste. Ser man derimod på den generelle forskrift $f(x) = a \cdot x + b$ som en familie af funktioner, hvis beliggenhed i koordinatsystemet afhænger af værdierne af $a$ og $b$, ja, så opfattes funktionen som et objekt. Objekter kan man handle på, og funktioner kan fx adderes eller multipliceres med en konstant. Det giver nye funktioner. Proces-objekt-modellen bygger på fire antagelser:

1. Procesforståelse går forud for objektforståelse ved læring af matematiske begreber.

2. Den læreproces, der danner et matematisk begreb, forløber gennem tre trin:

   1. Internalisering

   2. Kondensering

   3. Tingsliggørelse (reifikation) 

3. Fuld forståelse af et matematisk begreb omfatter både proces- og objektforståelse af begrebet og det at kunne skifte fleksibelt mellem dem.

4. Proces- og objektaspekterne kan ikke udvikles samtidig, men må opfattes som komplementære i læreprocessen.

Læringssporet støtter elevernes læreproces ved i faserne 1-3 at fokusere på elevernes internalisering af lineær funktion som en proces. Det gøres bl.a. ved at opfordre eleverne til at beskrive de lineære sammenhænge ved brug af de fire typer af repræsentationer og at arbejde med deres relationer. Det andet trin i læringsprocessen er kondensering. Det betyder, at eleven kan forstå en funktion som en proces – men nu som et hele og ikke blot som en serie af handlinger, der udføres for at lave en tabel eller tegne en graf. Her gives funktionen et navn, såsom $f(x)$, og forskellige repræsentationer kan forstås som netop repræsentationer af én og samme funktion. Denne kondensering af lineære funktioner støttes i fase 2 og 3. Det tredje trin er tingsliggørelse. Her tager eleven et erkendelsesspring for at kunne opfatte en funktion som et selvstændigt matematisk objekt, der kan repræsenteres på forskellige måder, og som kan indgå i nye processer, som fx bestemmelse af skæringspunktet mellem to rette linjer. Fase 3 og 4 forbereder hertil. Objektforståelse af (lineære) funktioner er et langsigtet mål, der rækker ud over grundskolen, men som kan grundlægges i arbejdet med lineære funktioner i udskolingen. Sfards teori er beskrevet på dansk fx i Blomhøj (2016), og hendes senere commognition-teori (Se webinar med Anna Sfard om commognition-teori her), der bygger på proces-objekt-modellen, er også beskrevet på dansk fx i Skott et al. (2018).

Forskningsfeltet understreger vigtigheden af, at der både i grundskolen og i gymnasiet er fokus på at arbejde med de fire repræsentationer – sproglig beskrivelse, tabel, graf og algebraisk notation – i forhold til lineære funktioner og funktioner generelt. Særligt fremhæves betydningen af, at elever omskriver inden for den enkelte repræsentation og oversætter mellem dem. Dette er indbygget i læringssporet.