Tilgang – At løse ligninger

Læringssporet er inspireret af nyere forskning i tidlig algebra (se Grundlag). Her foreslås, at den første undervisning i ligninger og ligningsløsning tager udgangspunkt i de uformelle strategier, som en klasse udvikler, når de løser ligninger beskrevet som ligningssituationer (se Introduktion) på baggrund af deres erfaringer med de naturlige tal, regneudtryk og regning. Eleverne skal gives mulighed for at videreudvikle deres uformelle strategier til mere effektive løsningsstrategier og at skabe mening med at løse ligninger, bl.a. af de regler, der ligger bag. Her spiller ligningssituationer en central rolle, da eleverne kan leve sig ind i en situation og handle med den på måder, der er meningsfulde for dem. Det kan støtte eleverne i at forstå ligninger, og hvordan de kan løses. Derudover er det vigtigt, at klassen taler om relationer mellem tal og ubekendte og udvikler algebraisk notation i sammenhænge, der er meningsfulde for dem. Meget tyder på, at elever kan lære at løse ligninger med forståelse i en sådan undervisning.

De to vigtigste idéer i læringssporet er:

1. De strategier til ligningsløsning, som en klasse i fællesskab kan udvikle.
2. De repræsentationer, der kan støtte eleverne i at udvikle deres tænkning om ligninger og i at udvikle løsningsstrategier.

Elevers succes med at løse ligninger hænger sammen med deres syn på lighedstegnet. Elever, der ser lighedstegnet operationelt, svarer fx ofte, at løsningen til $8 + 4 = \_\_ + 5$ er $12$ eller $17$. Eleverne ser altså lighedstegnet som en opfordring til at udføre operationen $8 + 4$. Hvorimod elever med et relationelt syn ser, at der er en relation mellem dets to sider; den ene side skal være ’ens’ med den anden. Fx skal hver side – det vil sige hvert af de to regneudtryk – i eksemplet give $12$. Fase 1 og fase 2 i læringssporet lægger op til, at elever skal se relationelt på lighedstegnet ved at fokusere på relationerne mellem tallene og de ubekendte i en ligning. De strategier, som klassen udvikler gradvist igennem læringssporet, bygger på denne opfattelse af lighedstegnet.

I starten af læringssporet udvikler klassen strategier ud fra ligningssituationer som fx denne:

Ea har fem lakridsstænger. Per ved, at han har lige så mange lakridsstænger, som Ea. Per har en stang og to poser, hvor der er lige mange stænger i. Hvor mange stænger er der i hver af Pers poser?

Det er ofte disse tre uformelle strategier, som eleverne udvikler – her eksemplificeret for situationen med Ea og Per og deres lakridsstænger:

Fælles for de tre uformelle strategier er, at de er vanskelige for elever at bruge, når tallene i en ligning er store, og/eller den ubekendte optræder på begge sider af lighedstegnet. Eleven, der i eksemplet sammenligner Ea og Pers lakridsstænger, ser visuelt, at Ea og Per vil have lige mange stænger, hvis eleven ser bort fra de stænger, de begge har. Eleven markerer dette ved at sætte en ring om en af Eas stænger og en ring om Pers ene stang. Derved bliver problemet nemmere for eleven at løse. Denne del af sammenlign-strategien – at se bort fra det, som både Ea og Per har – er vigtig, da den kan bane vej for, at elever kan udvikle fjerne-strategier.

I læringsporet udvikler klassen gradvist fjerne-strategier. Først ved konkret at fjerne noget baseret på deres sammenlign-strategier og senere ved at fjerne tal og ubekendte i en ligning ved at subtrahere dem på begge sider af lighedstegnet. Det er sigtet, at klassen sidst i læringssporet kan fjerne ved både at subtrahere, dividere og addere, og at klassen på et senere klassetrin, fx i forbindelse med brøker, også kan fjerne ved at multiplicere. Når eleverne fjerner i fjerne-strategier, bruger de reglerne for ligningsløsning, mens de visuelt ser bort fra noget uden at være bevidste om disse regler, når de sammenligner. I den forstand er de to strategier forskellige.

Det er afgørende, at klassen udvikler fjerne-strategier i læringssporet. De er nemlig en central del af den metode, der er sporets mål, kaldet fjern og isoler. 

Det er vigtigt, at klassen udvikler fjern og isoler ud fra deres erfaringer med at løse ligninger og lærer at bruge metoden reflekteret og ikke som en opskrift, de skal følge. Fokus er således på, at eleverne reflekterer over, hvad der er smart at fjerne, og om de kan løse en omskrevet ligning uden at fjerne og gøre det, hvis de kan, fx ved at bruge uformelle strategier eller andre strategier. Det kan fx være, at en elev efter den første omskrivning i eksemplet kan se, at $3x = x + 4$, når $x$ er $2$, eller at en elev kan se, at der er $2x$ og $4$ i forskel mellem de to sider i ligningen $3x – 1 = x + 3$, og at $x$ derfor må være $2$. Ved at deltage i udviklingen af fjern og isoler får klassen mulighed for at skabe mening med metoden og forstå de regler, den bygger på. Det giver også klassen mulighed for at lære uformelt om algebraiske strukturer, fx at brug af omvendte regningsarter giver identiteter. I eksemplet fjern og isoler ovenfor bruges fx, at $1-1=0$ og $2:2=1$, hvor $0$ er identiteten for addition, og $1$ er identiteten for multiplikation, da $0$ adderet til ethvert tal er tallet selv, og $1$ multipliceret med ethvert tal er tallet selv.

I begyndelsen af læringssporet arbejder klassen med at modellere ligningssituationer som fx situationen med Sofus og Alma og deres karameller med brug af konkrete materialer. De konkrete materialer, der foreslås i læringssporet, er:

1. Papirposer eller andre ugennemsigtige beholdere, der kan indeholde det samme ukendte antal fysiske genstande.
2. Karameller eller andre fysiske genstande, som kan puttes i poserne.

Poserne repræsenterer den ubekendte, og karamellerne repræsenterer tallene (se fase 1 i Oversigten). Andre tilsvarende konkrete materialer kan også bruges, fx kuverter og kort, tændstikæsker og tændstikker eller sparegrise og penge. Det kan også være materialer, der kan illustrere lighed ’i virkeligheden’, såsom vægte (findes i både fysiske og digitale udgaver) eller vipper på legepladser. Hvis disse materialer bruges, skal ligningssituationerne tilpasses, så de handler om at skabe ligevægt.  

Når klassen er fortrolig med at bruge de konkrete materialer, kan materialerne med fordel erstattes af tegninger (eller skitser), fx af poser og karameller, og elevernes fysiske handlinger – at holde hånd over eller fjerne poser og karameller kan erstattes med at strege eller viske ud. Når eleverne tegner deres løsninger (uden at viske), kan de fastholde deres tanker og løsningsproces på en anden måde, end når de bruger konkrete materialer og fysisk fjerner nogle. Tegninger kan således støtte eleverne i at udvikle nye strategier, og de er derfor en central repræsentation i læringssporet.

Klassen vil i starten bruge tegninger til at modellere ligningssituationer, men det er tanken, at tegninger efterhånden skal blive et redskab, som eleverne kan bruge til at støtte deres tænkning om ligningsløsning. Fra at bruge tegninger til at beskrive og skabe overblik over en ligningssituation er det altså tanken, at eleverne også kan bruge tegninger som støtte til at tænke over, hvordan en situationen eller en ligning kan løses. Når tegninger er ved at skifte karakter på denne måde for de fleste elever, kan læreren introducere og begynde at bruge algebraisk notation i tæt tilknytning til elevernes tegnede repræsentationer. I løbet af de to sidste faser er det idéen, at klassens tegninger af poser gradvist erstattes af bogstavssymboler og deres tegninger af karameller af tal, så fx ligningen i situationen med Sofus og Alma skrives som $2x + 10 = 30 + x$ og dens løsning som $x = 20$.

I en periode kan klassen støtte sig til tegninger, algebraisk notation og evt. konkrete materialer, så de ser repræsentationerne side om side. Det hjælper eleverne med at skabe mening med de algebraiske udtryk. I nye typer af problemer kan eleverne have behov for at bevæge sig baglæns og oversætte fra algebraisk notation til tegninger (og evt. helt tilbage til konkrete materialer). Eleverne skal dog gradvist løsrive sig fra tegningerne og sidst i læringssporet kunne løse ligninger med støtte i bogstavsymboler og tal.

I fase 1 arbejder klassen med ligninger, der er beskrevet som ligningssituationer, og løser dem med støtte i konkrete materialer, dvs. poser og karameller eller andre genstande, der kan puttes i en pose, fx centicubes. Ved at beskrive og gengive situationerne med disse materialer kan klassen repræsentere ligningerne fysisk og løse dem ved at gøre noget med materialerne såsom at tælle og samle dem i bunker og flytte genstande. Derved kan eleverne udvikle uformelle strategier, der er tæt knyttet til situationerne, og som trækker på deres tidligere erfaringer med tal, regneudtryk og regning. I fasen er det vigtigt, at eleverne forklarer, taler om og sammenligner deres uformelle strategier, og det er særligt vigtigt, at en af disse strategier er sammenlign-strategien. Denne strategi kan nemlig bane vej for klassens udvikling af fjerne-strategier i den næste fase 2, da strategien lægger op til visuelt at se bort fra det, som er ’fælles’ i en ligningssituation. Hvis ingen elever foreslår sammenlign-strategien, må læreren bringe strategien på banen.

I fasen arbejder klassen først med ligningssituationer, der er knyttet til ligninger på formen $ax+b=c$, hvor $x$, $a, b$ og $c$ er naturlige tal. Senere knyttes situationerne til ligninger på formen $ax + b = cx + d$, hvor $x,a,b,c$ og $d$ er naturlige tal, men hvor den ubekendte optræder netop én gang mere på den ene end på den anden side, så den ubekendte er let at isolere (jf. situationen med Sofus og Alma, der er knyttet til ligningen $2x+10=30+x$).

I fase 2 arbejder klassen fortsat med ligninger beskrevet som ligningssituationer, men de løser dem med støtte i tegninger. Klassen slipper altså de konkrete materialer fra fase 1. I løbet af fase 2 kan klassens tegninger skifte fra at være tegninger af de konkrete materialer, fx en tegnet pose, til at være mere skitseagtigt, fx en firkant for posen (se fase 1 og 2 i Oversigten). Lighedstegnet og tal introduceres også som en del af tegningerne.

I fasen videreudvikler klassen deres uformelle strategier fra fase 1 – mere specifikt udvikler de at sammenligne til at fjerne. Det kan være et stort spring for eleverne fra at se bort fra noget, når de visuelt sammenligner to mængder af genstande, til at fjerne nogle af disse genstande. Dette spring støttes i fasen ved at koble ligningssituationerne tæt til elevernes tegninger, så det giver mening for eleverne at fjerne set i forhold til situationen, men også matematikfagligt. I eksemplet ligningsløsning med støtte i tegninger nedenfor synes det fx at give mening for eleven at fjerne en pose fra begge sider, fordi der er lige mange karameller i hver pose.

I fase 2 udvikler klassen fjerne-strategier ved at subtrahere det samme på begge sider, og de fjerner ved at strege (eller viske) det fjernede ud. Klassen begynder også at udvikle metoden fjern og isoler ved at fjerne tal og ubekendte, indtil de kan løse ligningen som i eksemplet. I fasen fjerner klassen først én tegning af den ubekendte eller tal fra begge sider; senere fjerner de flere tegninger af det samme fra begge sider.

Klassen arbejder fortsat med ligningssituationer, der er knyttet til ligninger på formen $ax+b=cx+d$, hvor $x,a,b,c$ og $d$ er naturlige tal, og hvor den ubekendte optræder netop én gang mere på den ene end på den anden side og derfor er lettere at isolere som i ligningen $4x+13=27+3x$.

I fase 4 arbejder klassen med ligninger skrevet som algebraiske udtryk og løser dem med støtte i noter, der kan være en blanding af algebraisk notation og tegninger. Den grundlæggende idé i læringssporet er, at klassen i løbet af de første tre faser har udviklet så robuste forståelser af ligninger og fjerne-strategier, at de i fase 4 vil kunne udvikle disse forståelser og strategier til ligninger, hvor den ubekendte og/eller tal subtraheres som i $3x-5=2x+7$ og $5x+2=-3x+18$. Sådanne ligninger er nemlig vanskelige at beskrive med konkrete materialer, ligningssituationer og tegninger, og algebraisk notation bliver derfor påtrængende på en anden måde end i de første tre faser.

Idéen er, at klassen videreudvikler deres fjerne-strategier, der i de første tre faser handler om at fjerne ved at subtrahere og dividere med det samme på begge sider af lighedstegnet til også at kunne fjerne ved at addere – men altså med brug af algebraisk notation. Det er en fordel, hvis klassen først arbejder med ligninger, hvor et tal subtraheres (som i den første ligning ovenfor), og senere arbejder med ligninger, hvor også den ubekendte subtraheres (som i den anden ligning ovenfor). Samtidig hermed videreudvikler klassen fjern og isoler-metoden med et fokus på, hvad det er smart at fjerne og i hvilken rækkefølge. Det er fx ikke smart at fjerne $5x$ i ligningen $5x+2=-3x+18$, da antallet af $x$’er så bliver negativt.

Sigtet er, at klassen kan bruge fjern og isoler reflekteret til at løse ligninger skrevet som algebraiske udtryk, som kan indeholde subtraktion af tal og den ubekendte, og som har et naturligt tal som løsning (ligningerne har altså ikke negative tal eller brøker som løsninger). Det vil sige, at ligningerne i fase 4 er på formen $ax+b=cx+d$, hvor $a, b, c$ og $d$ er heltal, $x$ er et naturligt tal, og $|a-c|$ går op i $|d-b|$ (for at sikre at løsningen ikke er en brøk).  

I læringssporet udvikler eleverne forståelse for egenskaber ved ligninger. Samtidig hermed udvikler de metoden fjern og isoler ved at videreudvikle deres uformelle strategier og fjerne-strategier, så de kan løse ligninger på formen $ax+b=cx+d$, hvor $a,b,c$ og $d$ er heltal, og $x$ er et naturligt tal (ligningerne har altså ikke negative tal eller brøker som løsning). Eleverne kan altså forstå og bruge fjern og isoler til at omskrive ligninger ved hjælp af fjerne-strategier knyttet til reglerne for subtraktion, division og addition.

Den grundlæggende idé i læringsssporet er, at klassen med dette fundament vil være i stand til at videreudvikle deres forståelser og færdigheder til at løse ligninger på formen $ax+b=cx+d$, hvor $x,a,b,c,d$ og $d$ er rationale tal, som fx $2=6-\frac{1}{4}x$, $\frac{3}{4}x+7=-5$ og $2(x+9)=x+6$. Det vil altså sige ligninger, der kan indeholde negative tal og/eller brøker og kan have dem som løsninger. Det kræver, at eleverne udvikler metoden fjern og isoler til også at kunne fjerne ved at multiplicere med det samme på begge sider, og derudover at eleverne udvikler forståelse for negative tal og brøker. Det er oplagt at arbejde videre i denne retning efter dette læringsspor.

Andre forslag til videre arbejde er at løse uligheder, fx $5x \leq x+8$, og at løse ligninger, der enten ikke har nogen løsning, fx $3x-1=4+3x$, eller mange løsninger, fx $7(x+4)-8=7x+20$. Det vil bidrage til at styrke elevernes forståelse af variabelbegrebet, som i dette læringsspor kun er knyttet til variable som en ubekendt, altså som en pladsholder for et tal. Det er også oplagt at arbejde videre med ligninger, der er skrevet mere kompliceret som $(4+x)7+3=3x+39$.