Praksis – At løse ligninger

Læreren kan starte med en ligningssituation i stil med denne:

Kates mor laver en gåde til Kate og hendes veninde Maja: ”I får lige meget slik. Maja, du får 7 stykker. Kate, du får 3 stykker og denne pose med slik i. Hvor mange stykker slik har jeg puttet i Kates pose?”

Den første gang, klassen arbejder med ligninger og ligningsløsning, kan læreren med fordel medbringe rigtigt slik og en pose med det korrekte antal slikstykker i og bruge det til at introducere problemet. Læreren kan iscenesætte situationen ved at lægge Majas $7$ stykker slik på et bord (eller på et stykke papir) og Kates $3$ stykker og pose på et andet bord (eller på et andet stykke papir) og spørge til, hvor mange stykker slik der er i posen. Efter klassen har arbejdet med at løse ligningen og kommet med deres bud på et svar, kan posen åbnes for at tjekke, hvilket svar der er korrekt.

Når eleverne, fx i makkerpar, løser sådanne problemer, er det en fordel, hvis hvert par kan bruge de konkrete materialer, her poser og slik (eller centicubes). Det er vigtigt, at eleverne viser og forklarer deres strategier til klassen, så de kan møde forskellige uformelle tilgange til ligningsløsning og udvikle nye idéer til løsninger. Et par kan fx have brugt en gæt og tjek-strategi til at løse slikproblemet: ”Jeg tænkte, der var $1$ stykke i den. Men det var for lidt. Så prøvede jeg med $2$, så med $3$ og så med $4$, og det passede”. En anden elev kan have beregnet: ”$3$ plus $4$ er $7$, så der er $4$ stykker i”. Et tredje par kan have sammenlignet Kate og Majas slikmængder: ”Kate har $3$ stykker slik. Det har Maja også. Så dem flytter vi her over. Så er der $4$ i posen” (se Figur 5). Klassen kan arbejde videre med sværere ligningssituationer, indtil de fleste er fortrolige med at modellere og løse denne type ligninger med konkrete materialer. 

Læreren kan fx starte med situationen med Sofus og Almas karameller fra Oversigten:

Sofus og Alma har samlet lige mange karameller til sidste skoledag. De lægger det samme antal karameller i 3 papirposer. Sofus tager 2 poser og har desuden 10 karameller mere, mens Alma tager 1 pose og har 30 karameller mere. De spørger klassen, om de kan finde ud af, hvor mange karameller der er i hver pose?

Dette problem er mere udfordrende, fordi både Sofus og Alma har et ukendt antal karameller som en del af de karameller, de har samlet. Læreren kan introducere problemet som i eksemplet Introduktion af ligninger som ligningssituationer ovenfor eller lade to elever spille situationen. Den ene elev har $2$ poser og $10$ karameller (evt. centicubes), mens den anden elev har $1$ pose og $30$ karameller (se Figur 6). De andre elever gætter på, hvor mange karameller der er i en pose, inden de selv i makkerpar skal finde ud af det med de samme konkrete materialer.

Efter et gruppearbejde kan læreren udvælge elever til at forklare, hvordan de løste ligningen. Et makkerpar kan fx have gættet og tjekket: ”Først tænkte vi, at der var $10$ i. Så havde Sofus $30$ og Alma $40$. Ikke rigtigt. Så prøvede vi med $20$. Og det passede”. Eleverne peger på poserne, mens de forklarer. Et andet makkerpar, Ea og Knud, har sammenlignet, hvor mange karameller de har hver især. Knud spiller Alma, og Ea spiller Sofus, og de har taget en pose og $10$ karameller i én af deres egne hænder. Knud siger: ”Så, disse [løfter de $20$ karameller i sin anden hånd] må være lig med denne [peger på posen i Eas anden hånd]” (se Figur 7). Hvis ingen elever sammenligner de karameller, Sofus og Alma har, må læreren bringe en sammenlign-strategi på banen, fx ved at bede klassen om at sammenligne Sofus og Almas karameller og at tænke over, om man kan se bort fra noget, så problemet bliver nemmere at løse.

To pointer kan være vigtige for læreren at fremhæve. Den første pointe knytter sig til Ea og Knuds sammenligning-strategi – eller en anden sammenlign-strategi – og det, at der ses bort fra noget. Pointen kan formuleres i stil med:

​​​​​​Lagde I mærke til, hvad Ea og Knud gjorde? De så først, at både Sofus og Alma har 10 karameller. Ea tog Sofus’ 10 karameller i sin venstre hånd, og Knud tog Almas 10 karameller i sin venstre hånd. De så også, at de begge, altså Sofus og Alma, har en pose med karameller. Ea tog Sofus’ pose i sin venstre hånd sammen med hans 10 karameller, og Knud tog Almas pose i sin venstre hånd sammen med Almas 10 karameller. Så Ea og Knud samler altså det, som både Sofus og Alma har i en af deres hænder, og så ser de bort fra det. Hvorfor mon de gør det? Jeg tror, at de ser bort fra de karameller og poser, som både Sofus og Alma har, fordi problemet så bliver lettere at løse. Nu har Sofus nemlig kun én pose tilbage [peger på Eas anden hånd], og Alma har 20 karameller [peger på Knuds anden hånd]. Så derfor må der være 20 karameller i Sofus’ pose. Kan I se det? I skal nu bruge Ea og Knuds måde at løse problemet på. I skal også tale om, hvorfor man kan se bort fra de karameller og poser, som Sofus og Alma begge har. Og om man altid kan se bort fra noget? Dernæst taler vi sammen om det, og vi ser også, om det er rigtigt, at der er 20 karameller i Sofus’ pose.

Den anden pointe knytter sig til de strategier, som klassen udvikler. Som nævnt i Tilgang er det vigtigt, at eleverne taler om og sammenligner deres strategier. Det er det i forhold til deres udvikling af strategier og deres udvikling af sprog i relation til emnet. En elev kan fx sige: ”Jeg kan altid gætte. Det kan bare tage riiiigtig lang tid at gætte rigtigt. Her var det nu hurtigt nok”. Her får eleven sprogligt formuleret nogle styrker og svagheder ved gæt og tjek-strategien, som det er væsentligt at hele klassen gøres opmærksom på.   

Læreren kan tage udgangspunkt i en velkendt ligningssituation for klassen, fx den om Sofus og Alma og deres karameller:

Sofus og Alma har samlet lige mange karameller til sidste skoledag. De lægger det samme antal karameller i 3 papirposer. Sofus tager 2 poser og har desuden 10 karameller mere, mens Alma tager 1 pose og har 30 karameller mere. De spørger klassen, om de kan finde ud af, hvor mange karameller der er i hver pose?

Fremfor at bruge poser og karameller kan læreren introducere problemet ved at skrive Sofus og Alma på tavlen og modellere deres karameller ved at tegne firkanter for poser og skrive 10 for 10 karameller (se Figur 8).

Dernæst kan læreren tegne et lighedstegn mellem Sofus og Almas karameller og spørge klassen: ”Hvad det er for et tegn? Hvad betyder det?”.

Svar fra eleverne, der handler om ”det er et lighedstegn”, ”de er lige store”, ”de er ens” eller ”de har lige mange karameller” er væsentlige at fremhæve og drøfte fælles i klassen.

Eleverne løser først problemet med strategier, de finder på. Dernæst kan læreren digte videre fælles i klassen for at fremskynde fjerne-strategier:

Lærer: Sofus og Alma har en lillebror, som ikke har samlet karameller. Det, synes de, er synd for ham, så de giver ham hver en pose med karameller. De to poser, som de giver til lillebror, visker jeg ud [Figur 9]. Hvor mange karameller har Sofus og Alma hver nu? Før havde de lige mange karameller. Hvad nu?

Knud: De har lige mange. De gav det samme til lillebror. 

Lærer: Ok, de har stadig lige mange karameller. Prøv igen at løse problemet. Hvor mange karameller er der i en pose?

Ea: Der er 20.

Lærer: Ok, samme løsning som før. Hvorfor får vi samme løsning? Hov, det var let at løse problemet nu. Hvorfor var det det?

Noa: Fordi der kun var en firkant.

Emilie: Kan man ikke også viske 10 karameller ud?

Lærer: Noa siger, at det var let at løse, fordi der nu kun er én firkant. Sofus og Alma gav hver en pose [peger på firkanterne i Figur 8] til deres lillebror. Vi ved, at der er lige mange karameller i hver af de to poser, så når vi visker dem ud – fjerner dem – så vil Sofus og Alma stadig have lige mange karameller. Men når vi fjerner dem, så bliver problemet lettere at løse.

Så foreslår Emilie, at vi også kan viske 10 karameller ud, altså fjerne dem. Hvad siger I til det?   

Det centrale i dialogen er, at klassen ud fra fortællingen i ligningssituationen kan skabe mening med at fjerne noget fra en ligning (her visker de det ud – senere kan de strege det ud for at fastholde løsningsprocessen). Det er således vigtigt, at læreren har fokus på at støtte klassens forståelse af, at det at fjerne det samme er meningsfuldt både ud fra fortællingen og set i forhold til matematikken. Dialogen vil selvfølgelig forløbe anderledes i praksis, så pointen er her at give læreren noget at guide efter i en fælles samtale i klassen; nemlig at skabe denne form for mening med at fjerne det samme på begge sider, og at det bevarer lighed mellem de to sider i ligningen.

Læreren kan iscenesætte denne ligningssituationen for klassen:

Kristina har 6 hårelastikker, og Sara har 2 hårelastikker. Deres mor laver en gåde til dem: ”Jeg vil give jer pakker med hårelastikker, sådan at I har lige mange elastikker. Hvis jeg giver Kristina 1 pakke og Sara 2 pakker med hårelastikker – og jeg lægger lige mange elastikker i hver pakke – hvor mange hårelastikker skal jeg så lægge i hver pakke?”

Sammen med klassen tegner læreren situationen på tavlen som i Figur 10.

Individuelt eller i makkerpar løser klassen ligningssituationen på tre forskellige måder:

Hvis eleverne foreslår noget i stil med disse tre eksempler, så er der (mindst) to pointer, som læreren kan guide efter. Den første pointe handler om at fjerne det samme på hver side af lighedstegnet, indtil den ubekendte står alene. Pointen kan formuleres i stil med:

Lagde I mærke til, at Bo og Lises gruppe tænkte næsten på samme måde. Bo så på tegningerne på hver side af lighedstegnet og satte ring om det, som både Kristina og Sara har, og som han kunne se bort fra [peger på ringene på Bos tegning]. Lises gruppe så også på begge sider af lighedstegnet, men de viskede det ud, der var ens. Så Bo så bort fra det, der er ens, mens Lises gruppe fjernede det, der var ens [peger på de to tegninger]. Kan I se det? Men det vigtige er, at når Bo og Lises gruppe ser bort fra eller fjerner det samme på begge sider, så kommer pakken til at stå alene på den ene side af lighedstegnet. Og så er det nemt at finde ud af, hvor mange elastikker der er i den. Hvor mange? [4 i kor]. Det er nemt, hvis vi kun behøver at tænke på én pakke på den side af lighedstegnet.

Herefter kan klassen bruge de to strategier på en ny ligningssituation og forsøge at begrunde, hvorfor man kan fjerne det samme på begge sider. 

Den anden pointe handler om at fjerne, indtil man kan løse ligningen:

Sørens gruppe gjorde næsten det samme som Lises gruppe. Sørens gruppe fjernede også en pakke fra Kristina og Sara; ikke ved at viske ud, men ved at stege ud. Men de fjernede kun én pakke fra hver side, fordi de så kunne se, at den sidste pakke må indeholde 4 hårelastikker. De kunne altså se eller regne sig frem til, at for at få 6 hårelastikker [peger på venstre siden i Figur 13] så må en pakke indeholde 4 hårelastikker, når der allerede var 2 elastikker i forvejen [peger på højre siden i Figur 13]. Men hvis I ikke lige kan regne jer frem til det i hovedet, så kan I fjerne 2 hårelastikker fra hver side, og så har I løst ligningen på samme måde, som Bo og Lises gruppe.

I stedet for eller i forlængelse af disse to pointer kan læreren vælge at introducere metoden fjern og isoler i tæt tilknytning til klassens forslag. Læreren kan fx foreslå at isolere pakken som antydet i følgende dialog, der er inspireret af en tilsvarende dialog i Radford (2022):

Lærer: Jeg vil gerne, at vi ser bort fra nogle af pakkerne og hårelastikkerne. Det er nemlig nemt, hvis vi kun behøver at tænke på én pakke på den ene side af lighedstegnet. Kan vi nøjes med at tænke på én pakke? Hvordan? Noa?

Noa: Jeg har visket dem ud [peger på en figur i stil med Figur 12].

Lærer: Ok, vent. Lad os viske dem ud én ad gangen. Vi fjerner en elastik [visker en cirkel ud ’under’ Sara], men det [peger på lighedstegnet] siger ’lig med’, at antallet af hårelastikker på begge sider er det samme. Så når du fjerner en elastik fra denne side, hvad skal du så også gøre?

Noa: Viske en elastik ud her [peger på Kristina].

Lærer: Så skal du også fjerne en hårelastik fra denne side [peger på højre side].

Noa: Så kan jeg fjerne en pakke fra Sara og en pakke fra Kristina [visker dem ud] og så…

Lærer: Ja, så du kan også fjerne en pakke fra hver side, for du ved, at der er lige mange hårelastikker i dem. Derfor er antallet af hårelastikker på hver side stadig det samme. Og hvad sker der så? Står pakken alene?

Eleverne: JA!

Noa: Så kan jeg tælle hvor mange elastikker der er… 4.

Lærer: Det betyder, at pakken [peger på Saras firkant] indeholder 4 hårelastikker [peger på Kristinas 4 cirkler]. 

En introduktion vil formodentlig ikke tage sig sådan ud i praksis, men læreren kan guide efter at give eleverne muligheder for at skabe mening med at isolere pakken og at indse, at løsningen så er let at finde.

Læreren tager udgangspunkt i en velkendt ligningssituation for klassen; nemlig den om Kristina og Sara og deres hårelastikker:

Kristina har 6 hårelastikker, og Sara har 2 hårelastikker. Deres mor laver en gåde til dem: ”Jeg vil give jer pakker med hårelastikker, sådan at I har lige mange elastikker. Hvis jeg giver Kristina 1 pakke og Sara 2 pakker med hårelastikker – og jeg lægger lige mange elastikker i hver pakke – hvor mange hårelastikker skal jeg så lægge i hver pakke?”

Dialogen skal antyde, hvordan læreren kan introducere algebraisk notation – særligt bogstavssymboler for den ubekendte:

Lærer: Kan I huske, at vi har arbejdet med en gåde, som handlede om to piger Sara og Kristina og deres hårelastikker? De havde begge nogle hårelastikker, og så fik de nogle pakker med elastikker, som deres mor havde lavet. Når Sara og Kristina lagde elastikkerne i pakkerne fra deres mor sammen med dem, de allerede havde, så havde de lige mange hårelastikker. Jeg har tegnet gåden her [peger på Figur 14].  Gåden var svært at løse, fordi vi vidste, at der var lige mange hårelastikker i hver pakke, men vi vidste ikke, hvor mange der var i én pakke. Det skulle vi finde ud af. Og det gjorde vi ved at tegne pakker og hårelastikker og fjerne nogle af dem. Kan I huske det? Og vi fandt, at der var 4 i hver pakke. Kan I også huske, at det var lidt svært at tegne, og at det tog lidt tid?

Nu vil jeg vise jer, hvordan man kan skrive gåden på matematiksprog. Det er nemlig lidt hurtigere. Jeg skriver $6 + p = 2 \cdot p + 2$ [skriver tal og symboler fortløbende, mens hun siger dem højt (se Figur 15)]. Synes I, det ser lidt mystisk ud? Det forstår jeg. Men prøv lige at snakke med jeres sidemakker om, hvordan det kan give mening? Og hvorfor har jeg skrevet 6 her og p her?

Eleverne kan sige noget med, at ”$p$ er $16$. Når man tæller $a$, $b$, $c$, $d$, …, $p$ [tæller på fingrene samtidig med, at alfabetet siges højt]”, eller ”$p$ er pakke. Du gad bare ikke skrive pakke” eller ”$6$, fordi der er $6$ hårelastikker” eller ”$p$ er elastikker i en pakke”. Pointen her er, at eleverne skal gives mulighed for at skabe mening med den ny notation. De gives sådanne muligheder, hvis notationen knyttes tæt til noget, de allerede kender og forstår, og hvis de kan drøfte meningen med den med hinanden og læreren. I eksemplet er det særligt de to sidste elevsvar, som lærerne bør fremhæve og sætte fokus på i klassens drøftelser. 

Når klassen har omskrevet en ligning til $2x = 12$ ved at fjerne og isolere, så skal de kunne isolere $x$ ved at dividere med $2$ på begge sider og på den måde fjerne $2$ fra venstresiden. Det er imidlertid vigtigt, at klassen udvikler denne fjerne-strategi ud fra deres tidligere forståelser og erfaringer. Når klassen skal isolere $x$ – eller få $x$ til at stå alene – i fx $2x = 12$, så vil nogle elever trække på deres forståelse af division som ligedeling og skal derfor have mulighed for at fordele $12$ på $2$ ubekendte, mens andre elever vil tænke i modsatte regningsarter, fx at når $2 \cdot 6 = 12$, så må $x = 6$. De ligninger, som klassen arbejder med, skal give eleverne mulighed for at tænke på sådanne måder og samtidig modsvare klassens faglige niveau. Klassen kan først arbejde med ligninger som $2x=12$, $5x + 3 = 9 + 3x$ og $9x + 8 = 5x + 16$ og senere med ligninger, hvor tallene er større, så det er vanskeligere at isolere $x$ uden at dividere, fx $45 + 15x = 2x + 162$. 

I en klasse har eleverne arbejdet med ligningen $9x + 8 = 5x + 16$. To af eleverne, Noa og Else, har løst den på hver sin måde som vist i Figur 16. Læreren kan sammenligne deres metoder og strategier og støtte klassens udvikling af algebraisk notation og strategier, fx på denne måde:

Lærer: Prøv at se på Noas og Elses løsninger. Hvis I ser godt efter, kan I se, at de har tænkt meget det samme. Men der er også forskelle.

En forskel er, at Else har været mere doven end Noa. Else har ikke gidet tegne alle firkanterne – altså $x$’erne – som Noa har gjort. I stedet har hun skrevet, hvor mange firkanter der er. Else har fx skrevet $9$ firkanter her og $5$ firkanter her [peger på Elses løsning]. Så har hun fjernet disse $5$ firkanter fra denne side og fra den anden – eller det vil sige, at Else har trukket $5$ firkanter fra på begge sider [peger på Elses anden omskrivning]. Noa har også fjernet $5$ firkanter fra hver side ved at strege dem ud [peger på Noas løsning].

Else og Noa prøver altså begge at få firkanterne – altså $x$’erne – til at stå alene på den ene side. Kan I se det? Kan I også se, at de begge fjerner $8$ – eller trækker $8$ fra – på begge sider [peger på Elses anden omskrivning]? De får begge, at $4$ firkanter – eller $4$ x'er – skal indeholde $8$ [peger på deres tegninger].

Her støtter læreren klassen i at udvikle deres måder at skrive ligninger på som algebraiske udtryk. Læreren fremhæver fx det tidsbesparende i at skrive antallet af firkanter frem for at tegne hver af dem og knytte firkanter til den ubekendte $x$. Læreren støtter også elevernes udvikling af at fjerne og isolere ved at fremhæve, at både Noa og Else forsøger at få tallene til at stå på den ene side af lighedstegnet og den ubekendte på den anden. Endelig støtter læreren som noget centralt elevernes videreudvikling af fjerne-strategier ved at beskrive det at fjerne som at trække fra. Dette skifte fra at fjerne til at trække fra er vigtigt, når ligninger har form som algebraiske udtryk. Det giver nemlig ikke matematisk mening ’at fjerne’ noget i et algebraisk udtryk – her benyttes regnearterne til at fjerne i overensstemmelse med reglerne for ligningsløsning (se Tilgang).

Med henblik på at støtte klassens videreudvikling af fjern og isoler-metoden og fjerne-strategier i relation til division kan læreren fortsætte:

Lærer: Nu bliver det spændende at se, hvad Noa og Else så gør. For det er nyt for os – vi plejer jo at få én firkant eller ét $x$ til at stå alene. Men nu har Noa og Else fået $4$ firkanter eller $4$ $x$'er til at stå alene. Noa har tegnet de $4$ firkanter, og han kan se, at hvis han samler cirklerne to og to, så kan hvert par være i en firkant [peger på Noas tegning]. Kan I se det? Else gør noget lidt andet. Hun får, at $4$ firkanter er lig med $8$. Hun kan så se, at én firkant, ét $x$, indeholder $2$, fordi $4 \cdot 2 = 8$, eller fordi $8$ divideret med $4$ er $2$. Både Else og Noa får det samme resultat; nemlig $2$. Det tyder på, at man kan gøre det på begge måder. I skal nu prøve både Noas og Elses måder på en ny ligning, $11x + 3 = x + 23$.

Ved at sammenligne og afprøve de to elevers måder at isolere den ubekendte får klassen mulighed for at udvikle fjerne-strategier i relation til division og kan i den proces trække på deres erfaringer og forståelser fra division med de naturlige tal. Det er vigtigt, at strategierne formuleres i relation til elevernes arbejde, så eleverne kan danne mening med dem.

Eleverne kan også udvikle deres fjerne-strategier, når de omskriver og reducerer en ligning ved at dividere med det samme på begge sider. Omskrivning er oplagt, hvis tallene i en ligning har samme divisor – fx går $2$ op i alle tallene i $14 + 8x = 6x + 20$. Læreren kan digte videre på situationen med Sofus og Alma, så Sofus’ karameller svarer til ligningens venstre side. og Almas karameller svarer til dens højre side, og fortælle, at både Sofus og Alma giver halvdelen af deres karameller til deres lillebror. Læreren kan dernæst bede eleverne om at løse begge problemer – både før og efter at Sofus og Alma har foræret deres lillebror halvdelen af deres karameller. Hensigten er, at eleverne kan forstå og skabe mening med, at man dividerer en ligning med 2 ved at dividere hvert led med $2$, så ligningen forenkles til $7 + 4x = 3x + 10$. Løsningen af denne ligning giver samme værdi af den ubekendte som løsningen af den oprindelige ligning. Pointen er, at klassen kan opdage, at rækkefølgen af deres brug af fjerne­-strategier – om de først fjerner ved at dividere og dernæst ved at subtrahere eller omvendt – ikke har betydning for resultatet, men at det kan betyde noget for, hvor nem en ligning er at løse. 

Eleverne løser ligningen $5x-4=10-2x$ individuelt eller i makkerpar. Læreren kan opfordre eleverne til at skrive ned, hvordan de fjerner fra den ene omskrivning til den anden – som i dialogen i eksemplet ovenfor med ligninger med negative tal. Dette kan hjælpe eleverne til at se, at man fjerner ved at bruge den modsatte regningsart til det, som man gerne vil fjerne, og at gøre dette på begge sider.

I Figur 18 ses Anton og Livs forslag, der er meget forskellige ift. brug af tegninger og algebraisk notation. Forslagene tyder imidlertid på, at både Anton og Liv forstår og kan bruge fjerne-strategier som en del af fjern og isoler-metoden.

Der er flere pointer i forhold til, hvad der er smart at fjerne først, som læreren kan støtte ved at sammenligne og drøfte disse to eller lignende løsninger med klassen:

• Støt klassen i at tegne mindre og bruge mere algebraisk notation. Lad evt. klassen skrive Antons løsning, som Liv har gjort, og omvendt, og brug det som udgangspunkt for en samtale om, hvad der er nemmest.

• Fremhæv, at i ligninger, hvori der indgår subtraktion af et tal eller en ubekendt, kan man fjerne ved at addere det samme på begge sider. Tag evt. udgangspunkt i, at både Anton og Liv fjerner ved at addere $4$ og $2x$, og drøft, hvorfor det er smart.

• Drøft, hvilke fjerne-strategier der er smartest, fx med udgangspunkt i spørgsmål som: "Hvorfor lægger både Anton og Liv to firkanter/$x$'er til? Hvorfor trækker de ikke fem firkanter/$x$’er fra?". Svar fra eleverne i stil med ”Det gælder om at omskrive så få gange som muligt”, ”Du skal tage det mindste tal eller mindste antal firkanter og så gøre det modsatte” eller ”Du må ikke få tal eller $x$’er, der skal trækkes fra” eller ”Man skal samle tal på en side og $x$’er på den anden side, så de er positive” er værd at fremhæve og drøfte i klassen.      

• Drøft rækkefølgen af Anton og Livs omskrivninger. De har begge fjernet på samme måder, men i forskellig rækkefølge: Hvorfor er det ok? Hvad er smartest at gøre? Er der fjerne-strategier, man bør bruge sidst? Eller først?