Grundlag – At løse ligninger

Nyere forskning i tidlig algebra foreslår, at eleverne tidligt i et skoleforløb lærer at tænke algebraisk (Araujo et al., 2018; Brizuela & Schliemann, 2004; Kaas, 2021; National Research Council, 2001; Radford, 2022). Specifikt i forhold til ligninger og ligningsløsning er forslaget, at den første undervisning tager udgangspunkt i de strategier, som eleverne udvikler intuitivt og uformelt, når de modellerer og løser ligningssituationer og bruger deres tidligere erfaringer fra tal og regning. Eleverne skal gives muligheder for at videreudvikle disse uformelle strategier til mere effektive strategier, samtidig med at de udvikler forståelse af ligninger og skaber mening med ligningsløsning og reglerne bag (Araujo et al., 2018). 

I en sådan undervisning skal der lægges særlig vægt på, at eleverne får muligheder for at diskutere relationer mellem tal og ubekendte og at udvikle algebraisk notation i sammenhænge, som giver mening for dem (Brizuela & Schliemann, 2004; Radford, 2022). Studier viser, at hvis eleverne gives disse muligheder, så kan selv 10-årige elever løse ligninger skrevet som algebraiske udtryk med ubekendte på begge sider af lighedstegnet (Brizuela & Schliemann, 2004; Radford, 2022). Disse elever kan også bruge algebraisk notation ikke kun til at udtrykke, hvad de forstår, men også til at strukturere og udvikle deres tænkning og fx lave følgeslutninger, som de ellers ikke ville have kunnet (Brizuela & Schliemann, 2004). Læringssporet bygger på denne nyere forskning i tidlig algebra; særligt på idéerne i Brizuela og Schliemann (2004) og Radford (2022).

Denne tilgang til undervisning i ligninger og ligningsløsning er relativ ny og ikke almindelig i en skolesammenhæng – hverken i Danmark eller andre vestlige lande. Den står i modsætning til en udbredt tilgang, hvor eleverne i grove træk præsenteres for en formel metode til at løse ligninger, som kan bruges generelt, og som består af en sekvens af trin-for-trin handlinger (Araujo et al., 2018; Brizuela & Schliemann, 2004; Vlassis, 2002). Der ses en tendens til, at metoden ikke kobles til elevernes tidligere erfaringer eller deres omverden, og at eleverne forsøger at huske trinnene i den i højere grad end at skabe mening med den og de bagvedliggende faglige idéer. Dette har en række uheldige konsekvenser, bl.a. at eleverne ofte glemmer et eller flere trin, laver usystematiske fejl, er afhængige af visuelle tegn og foretager dårlige strategiske valg (Araujo et al., 2018; Vlassis, 2002).

Flere studier identificerer aspekter af det at løse ligninger, som er særligt vanskelige for eleverne at lære. To af disse aspekter er centrale for opbygningen af læringssporet. Det første aspekt handler om, at det er svært for eleverne at gå fra at løse aritmetiske ligninger til at løse ikke-aritmetiske ligninger (Filloy & Rojano, 1989). Hvis aritmetiske ligninger beskrives som ligningssituationer, så tyder meget på, at eleverne ofte udvikler de tre uformelle strategier – gæt og tjek, beregn og sammenlign – når de løser ligningerne (Brizuela & Schliemann, 2004; Kaas, 2021). Hvis aritmetiske ligninger derimod beskrives med algebraisk notation, ser det ud til, at eleverne ofte udvikler en af disse to strategier, der her er eksemplificeret ved $2x + 1 = 5$. Operationerne omgøres på venstre side en for en, startende med 5 (Filloy & Rojano, 1989; National Research Council, 2001): 

Læringssporet tager udgangspunkt i aritmetiske ligninger beskrevet som ligningssituationer, fordi det giver klassen mulighed for at udvikle sammenlign-strategier. Denne uformelle strategi er central i læringssporet, da den baner vej for fjerne-strategier, der spiller en afgørende rolle i metoden fjern og isoler. Eleverne vil dog ofte også løse disse aritmetiske ligninger ved at gætte og tjekke og beregne. For at tilskynde en udvikling af sammenlign-strategier introduceres ikke-aritmetiske ligninger beskrevet som ligningssituationer allerede i fase 1, da disse er vanskelige at løse ved at gætte og tjekke og beregne. Dette kan, ifølge Radfort (2022), bidrage til at mindske det gab, eleverne ofte oplever, når de går fra at løse aritmetiske til ikke-aritmetiske ligninger.

En anden måde at mindske gabet på er at støtte en samtidig udvikling af klassens strategier og brug af specifikke repræsentationer (Radfort, 2022), dvs. konkrete materialer (poser med genstande i), tegninger (heraf) og algebraisk notation. Det betyder, at algebraisk notation introduceres relativt sent i læringssporet. Begrundelsen er, at klassen skal være fortrolige med at løse simple ligninger – både aritmetiske og ikke-aritmetiske – ved at fjerne og at fjerne og isolere, så eleverne kender de grundlæggende idéer i disse strategier og denne metode, når algebraisk notation introduceres. Der lægges desuden op til, at algebraisk notationen introduceres gradvist og i tæt relation til klassens brug af konkrete materialer og tegninger, så eleverne kan skabe mening med den nye notation ud fra de repræsentationer af den ubekendte og handlinger med den og tallene, som de kender. Det kræver også, at læreren støtter klassen i at forstå, hvordan strategierne skal fortolkes og bruges i algebraiske udtryk, fx at det at fjerne ved at strege ting ud i en tegning skal fortolkes som at subtrahere det samme på hver side af et lighedstegn. En sådan samtidig udvikling af strategier og repræsentationer antages at støtte klassen i at udvikle forståelse af ligninger og løsning af dem – også i en algebraisk kontekst.

Det andet aspekt ved ligninger og ligningsløsning, som typisk er vanskeligt for elever, er at forstå og løse ligninger med negative tal og ubekendte og med negative løsninger (Vlassis, 2002). Vlassis (2002) viser fx, at hollandske 8. klasseelever har store problemer med at løse ligninger beskrevet algebraisk, når enten et af tallene eller den ubekendte er negativ. Dette gælder for både aritmetiske og ikke-aritmetiske ligninger. En typisk fejl, som eleverne gør, er at løsrive minustegnet fra tallet eller den ubekendte og at handle med tallet eller den ubekendte, som var de positive. En anden typisk fejl er at fjerne et negativt tal ved at subtrahere det fra begge sider af lighedstegnet, hvilket kan ses som en overgeneralisering af at fjerne med støtte i konkrete materialer. Elevernes vanskeligheder skyldes ofte, at de ikke forstår disse typer af ligninger, at de ikke kan modellere dem med konkrete materialer, og at de ikke kan løse dem ud fra deres erfaringer med tal og regning (Filloy & Rojano, 1989; Vlassis, 2002).

For at imødekomme disse vanskeligheder er læringssporet bygget op på den måde, at klassen i løbet af de første tre faser opbygger erfaringer og fortrolighed med at løse ligninger ved at fjerne ved at subtrahere og dividere og at isolere. Klassen kan i disse tre faser støtte sig til konkrete materialer, tegninger, noter og algebraisk notation. Det er altså først i fase 4, at subtraktion indgår i de ligninger, klassen arbejder med (klassen arbejder ikke med ligninger med negative løsninger). Den grundlæggende idé i læringssporet er altså den, at klassen opbygger så robuste forståelser af ligninger og fortrolighed med at løse dem, at dette fundament i fase 4 kan videreudvikles til at forstå ligninger skrevet som algebraiske udtryk, hvori subtraktion indgår, og til at løse dem ved at videreudvikle deres fjerne-strategier til også at kunne fjerne ved at addere i en algebraisk kontekst. Læringssporet sigter således på, at klassen kan løse ligninger på formen $ax + b = cx + d$, hvor $a, b, c$ og $d$ er heltal, og $x$ er et naturligt tal, skrevet som algebraiske udtryk ved at fjerne og isolere.

Det er en antagelse i læringssporet, at for at klassen kan nå dette mål, er det hensigtsmæssigt at fokusere på regningsarten subtraktion og ikke på negative tal. Når klassen senere introduceres til negative tal og brøker, er det tanken, at de med fundamentet fra dette læringsspor vil være i stand til at videreudvikle deres forståelser og færdigheder til ligninger med negative tal og brøker. Det kræver bl.a., at klassen videreudvikler deres fjerne-strategier fra dette læringsspor til også at kunne fjerne en brøk ved at multiplicere med den reciprokke brøk på begge sider. Sigtet er, at dette læringsspor kan give klassen et fundament, der senere kan støtte dem i også at kunne løse mere komplicerede ligninger med forståelse.